温县第一高级中学 任利民
一、教材分析
1．教学内容
高中数学北师大版选修2—1第三章第4节圆锥曲线的共同特征。本节主要研究圆锥曲线的统一定义及其简单应用。
2．教材的地位与作用
本教科书对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识了圆锥曲线的概念,了解椭圆、抛物线、双曲线的内在联系,再运用方程思想分别研究了椭圆、抛物线、双曲线的几何性质, 本节正是在此基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们共同的性质，进而从总体上进一步认识圆锥曲线之间的关系。既巩固和加深了已学知识，又使所学知识前后联系，形成完整的知识体系。
二、学情分析
知识上已经掌握了椭圆、抛物线、双曲线的定义、方程和性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握等一些细节上仍不完备，反应在解题中就是思维不缜密，过程不完整；
能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性仍需进一步培养和加强；
情感上多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，少数学生的学习主动性仍需要通过营造一定的学习气氛来加以带动。
三、教学方法和手段
1．教学方法
前面学生对曲线和方程的概念有了一定的了解，并初步会求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质。所以本节课采用启发探索式、合作讨论式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主体能动性和教师的主导作用。在教学过程中，向学生提出具有启发性和思考性的问题，组织学生展开讨论。通过讨论，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
2．教学手段
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学的容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学目标
1．知识目标
圆锥曲线统一定义及其应用
2．能力目标
（1）通过分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
3．情感目标
（1）在探求圆锥曲线定义与解题方法共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观点分析事物。
（2）在讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
4．教学重点和难点
圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：
（1）引导学生围绕思考题展开讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
五、教学过程
1.创设情境，引入课题
椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称圆锥曲线。从方程形式看，三种曲线的方程都是二元二次的。
它们有没有一个统一的定义呢？
设计意图:引发好奇，激发兴趣
2．归纳探索，形成概念
我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L（F不在L上）的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线。
当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？
让学生带着问题阅读教材第86页例2及思考交流，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。
设计意图：通过阅读，提高学生探索、推理、想象、分析等方面的能力。
学生讨论得出结论：平面内，一个动点到定点F的距离与它到定直线L(FL)的距离之比为一个常数e的轨迹。当0 设计意图：通过分析讨论圆锥曲线之间的异同点，培养学生归纳总结的能力和分类讨论的思想。 3．应用举例，适当延展 （1）求参数范围 例1.已知动点P(x,y)满足，则动点P的轨迹为 . 分析：引导学生回忆所学知识进行分析：分子为到定点（2，2）的距离，分母为到定直线x+y+2=0的距离，它们的比值为定值，∈（0，1），所以点P的轨迹为椭圆。 变式1：已知动点P(x,y)满足，且动点P的轨迹为双曲线，求的范围。若轨迹为抛物线呢？ 设计意图： 通过方程的形式，考查学生对圆锥曲线统一定义的理解，在变式练习中，通过对例1问题的变动，引导学生探究出问题的本质，使学生对圆锥曲线的概念进一步加深印象。 （2）求距离 例2．椭圆上一点P到左焦点的距离等于3，求它到右准线的距离d. 设计意图： 利用圆锥曲线的统一定义，把椭圆上一点到直线的距离转化为到相应焦点的距离。培养了学生的转化化归能力和数形结合的思想。 解： 由椭圆的定义，有 又由椭圆的第二定义，有 思考：你还有其他解决的方法吗？ 另解：设点到左准线离为 由椭圆的第二定义，有 . 设计意图： 通过一题多解，培养学生思路的多元化。 变式2：已知双曲线上一点P到右焦点距离为14，求P到左准线距离。 设计意图： 进一步熟练利用统一定义，把圆锥曲线上一点到准线的距离转化为到相应焦点的距离。培养学生的类比联想能力。 （3）求最值 例3.已知定点A（），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时M的坐标。 分析：观察的结构和几何意义，是动 点到焦点的距离，它可以用动点到相应准线的距离来表示，2 有什么意义？恰好是椭圆离心率的倒数，正好是动点 到右准线的距离。 设计意图： 引导学生观察式子的结构和几何意义，把问题转化为椭圆上一点到定点和定直线的距离之和最小的问题。培养学生析问题和解决问题的能力、转化化归的思想和数形结合的思想。 x 解： 设右准线为L：，过M作MN⊥L于N，过A作AB⊥L于B， 根据圆锥曲线统一定义， , ， 当且仅当A、M、N三点共线时， 有最小值， 由方程组，得 抓住解题的实质，把曲线椭圆能否改为双曲线或抛物线？ 例4.已知定点A（3，2），M为抛物线上一点，焦点为F，最小时，求 M的坐标 （2，2） 例5.P为右支上一动点，F为右焦点，A(3,1)则最小值是 设计意图： 让学生进一步熟悉求最值的解题思路，深刻理解圆锥曲线的统一定义。培养学生的类比联想能力和转化化归能力。 课堂练习：根据以上方式，用类比形式，每人拟编一道试题，同桌之间相互解答。 设计意图：巩固加深本节知识和技能，培养学生的合作精神，提高学生学习数学的兴趣和自信心。 4.归纳小结，提高认识 本节课的主要内容是归纳圆锥曲线的统一定义及简单应用。熟练掌握利用圆锥曲线统一定义把圆锥曲线上一点到焦点的距离与它到相应准线的距离相互转化。应用的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想。下载本文
