线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

2、如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．

（1）求证：△AFN≌△CEM；

（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．

3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．

（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；

（2）求证：AE平分∠DAF；

（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．

4、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．

5、已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．

8、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．

（1）求证：△AEF是等边三角形；

（2）若AB=2，求△AFD的面积．

9、如图，在中，，，为边的中点，以为边作等边，连接，.

（1）求证：；

（2）若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值.

参

1、证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF．

2、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠AFN=∠CEM，

∵FN=EM，AF=CE，

∴△AFN≌△CEM（SAS）．

（2）解：∵△AFN≌△CEM，

∴∠NAF=∠ECM，

∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，

∴107°=72°+∠ECM，

∴∠ECM=35°，

∴∠NAF=35°．

3、解：（1）如图，作EG⊥AB于点G，

则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，

∴平行四边形ABCD的面积为60；

（2）延长AE交BC延长线于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，

∵E为CD的中点，

∴CE=ED，

∴△ADE≌△HCE，

∴AD=HC、AE=HE，

∴AD+FC=HC+FC，

由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，

∴∠FAE=∠CHE，

又∵∠DAE=∠CHE，

∴∠DAE=∠FAE，

∴AE平分∠DAF；

（3）连接EF，

∵AE=BE、AE=HE，

∴AE=BE=HE，

∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，

∵∠DAE=∠CHE，

∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，

由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，

∴∠CBA=90°，

∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，

解得：FC=，

∴AF=FC+CH=，

∵AE=HE、AF=FH，

∴FE⊥AH，

∴AF是△AEF的外接圆直径，

∴△AEF的外接圆的周长t=π．

4、证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，E是BC的中点，

∴AE=CE=BC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，

∴AC=，

∵，

∴AH=，

∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，

∴CD=CE=5，

∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，

∴EF=AH=．

5证明：（1）∵AB∥DC，

∴∠A=∠C，

在△ABE与△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，

∴ED=CD，

∵EG=5，

∴CD=10，

∵△ABE≌△CDF，

∴AB=CD=10．

6、（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥FC．BC=2DE，

又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）∵四边形CDEF是平行四边形；

∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB=2DC，

∴四边形DCFE的周长=AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，

∴BC=25﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，

解得，AB=13cm.

7（1）∵点O是AC中点，

∴OA=OC，

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

在△AOD和△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴AD=CE，

∵CE∥AB，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD=AD，

∴四边形AECD是菱形；

（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，

∴AC⊥ED，

在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，

设OD=3x，OA=4x，

则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：=24，

解得：x=1，

∴OD=3，

∵O，D分别是AC，AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴BC=2OD=6．

8（1）∵AB与AG关于AE对称，

∴AE⊥BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，

∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，

∴AF=EF=DF，

∵AE与AF关于AG对称，

∴AE=AF，

则AE=AF=EF，

∴△AEF是等边三角形；

（2）记AG、EF交点为H，

∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，

∴∠EAG=30°，AG⊥EF，

∵AB与AG关于AE对称，

∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，

∵AB=2，

∴BE=1、DF=AF=AE=，

则EH=AE=、AH=，

∴S△ADF=×．

9（1）证明：在中，，为边的中点，

∴，.

∵为等边三角形，

∴，，

∴，，

∴

∴

（2）解：如图，作点关于直线点，连接交于点.

则点即为符合条件的点.

由作图可知：

，，.

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

在中，，，

∴，，

∴,

∴的最小值为.下载本文