胡 涛
(武汉军械士官学校基础部数学教研室/助教)
摘要：极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文利用定积分的定义式来解决一些复杂的和式极限的问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解。
关键词：定积分 极限运算 和式极限
一 引言
极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，二者关系十分密切，其中定积分的概念由极限的思想引出，数学上具体表述如下：若函数在区间上连续，则在上可积，从而在上的任意积分和均以为极限，数学表达式为，其中，，为区间上的任意一点。本文将利用定积分的定义式，通过一些巧妙的构造，去解决一些复杂的和式的极限问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解，增强学生的解题反思能力。
二 算例分析
下面我们通过两个例子来引入本文的观点：
例1、求极限，其中为常数
解：首先将和式进行变形
对于上述和式中的变量，当时，其取值范围为区间。令，则上述和式可以看成是函数在区间上的一个积分和，即
。
又因为在区间上可积，于是：
例2、求极限
解：首先将上述和式变形
同上分析，显然上述和式是函数在区间上的一个积分和，
即
又因为在区间上可积，于是：
这样，我们将两个复杂的和式极限问题转化成了两个简单的定积分问题。
通过上述两个例子，我们不难发现，在求某些和式极限的时候，我们首先要对和式结构进行分析，找出该和式是哪个函数的积分和，然后确定被积函数和积分区间，再借助定积分求出和式的极限。由于定积分定义式中的是取自每一个小区间上的任意一点，且和式的极限值与定义区间的分割及的取法均无关，因此为方便计算，我们可以将定积分的定义区间分割成等份，取每个小区间的右端点，得到下面这个式子：
（1）
对于（1）式，只需确定式中和的值，就可以直接计算出和式的极限值。
三 应用
下面再通过两个例子来进行说明（1）式的应用。
例3、求极限
解：首先将求极限的式子进行变形
对照公式（1），我们不难发现这里. 于是：
例4、求极限
解：首先将原式进行恒等变形：
原式＝
＝
显然这里，即
原式＝＝＝
四 结语
和式极限的计算一直是极限运算中的难点问题。本文利用极限和定积分的密切关系，提出了用定积分的定义来求和式极限的思想，并抓住取值的任意性和区间分割的任意性的特点，构造出一种利用定积分求和式极限的计算式子，方法简单，计算方便，为和式极限的计算开辟了一条新的路子。下载本文
