㊀㊀１１０数学学习与研究㊀２０２１ ２７
专题复习圆中的相似
专题复习㊀圆中的相似Һ康㊀聪㊀（苏州高新区实验初级中学，江苏㊀苏州㊀２１５０００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ在几何教学中建立几何模型，类比迁移知识，能培养学生在复杂的问题中提炼几何模型㊁解决问题的数学意识，能培养学生的数学核心素养．
ʌ关键词ɔ几何模型；核心素养；圆；相似
数学是研究数量关系和空间形式的科学，作者通过对平面几何 圆 这一章的教学进行认真总结，发现教师若能从个别习题的指导跳出来，加以科学思维角度的分析㊁指导，学生可以从复杂的几何问题中抽象出基本图形，将更有利于学生今后的学习．
本节是复习课，复习课要根据学生的认知特点和规律开展教学．在复习阶段，教师应以巩固㊁梳理已学知识㊁技能为主，促进学生形成知识系统，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力．
圆是初中重要的几何内容，也是学生学习的难点，为加强学生理解图形的能力，本文从中考题中总结出以下基本图形，供读者参考．
基本图形一㊀引例：如图１，在☉Ｏ中，弦ＡＢ，ＣＤ相交
于点Ｐ，连接ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ，图中的相似三角形有
．
图１
解析：ȵＤＢ(
＝ＤＢ(
，
ʑøＤＡＢ＝øＤＣＢ．
ȵøＡＰＤ＝øＣＰＢ，ʑәＡＰＤʐәＣＰＢ．同理，әＡＰＣʐәＤＰＢ．
反思：圆内的相似三角形可以解决什么问题呢？练习１：如图２，在☉Ｏ中，弦ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｐ，ＢＤ是
☉Ｏ的直径．已知ＡＣ＝１，ＢＤ＝３，求ｃｏｓøＢＰＣ的值．
图２
解析：连接ＢＣ，ȵＢＤ是直径，ʑøＢＣＤ＝９０ʎ．
由引例可得әＡＰＣʐәＤＰＢ，
ＣＰＰＢ＝ＡＣＤＢ＝１
３，ʑ在ＲｔәＢＣＰ中，ｃｏｓøＢＰＣ＝ＣＰＰＢ＝１３
．反思：
利用上面的基本图形条件特殊化
}
ң由相似比得到线段
比，求出三角函数值．
变式：如图３，在☉Ｏ中，弦ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｐ，ＢＤ是☉Ｏ的直径．已知ＡＣ＝１，ＢＤ＝３，若Ｃ为ＡＢ(
的中点，求ＰＣ
的长
．
图３
解析：ȵＣ为ＡＢ(
的中点，ʑＡＣ＝ＢＣ＝１．
ȵ由练习１可得ｃｏｓøＢＰＣ＝
ＣＰＰＢ＝１
３
，在ＲｔәＢＣＰ中，设ＣＰ＝ａ，则ＰＢ＝３ａ，得ａ２＋１＝（３ａ）２，解得ＰＣ＝ａ＝
㊀
２４
．总结：在圆中借助三角形相似，可以求线段长㊁三角函数值（也是用线段表示）等，我们解决问题的常用工具为线段的转化㊁勾股定理等．
基本图形二㊀引例：如图４，在☉Ｏ中弦ＤＡ，ＢＣ的延长线交于圆外一点Ｅ，
图中的相似三角形有
．
图４
解析：ȵ四边形ＤＡＣＢ是圆内接四边形，ʑøＥＡＣ＝øＢ．
ȵøＡＥＣ＝øＢＥＤ，ʑәＥＡＣʐәＥＢＤ．
练习２：如图５，在☉Ｏ中，弦ＤＡ，ＢＣ的延长线交于圆外
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㊀㊀㊀
解题技巧与方法
１１１
㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２７
一点Ｅ，ＢＤ是☉Ｏ的直径．若ＳәＥＡＣ＝Ｓ四边形ＡＤＢＣ，求ｃｏｓＥ的值
．
图５
解析：连接ＤＣ，ȵＤＢ是直径，ʑøＤＣＢ＝９０ʎ．由引例可得әＥＡＣʐәＥＢＤ，ＳәＥＡＣＳәＥＢＤ＝ＥＣ２ＥＤ２＝１
２
，ʑＥＣＥＤ＝㊀
２２
．在ＲｔәＤＣＥ中，ｃｏｓøＥ＝ＥＣＥＤ＝㊀
２
２
．变式：如图６，在☉Ｏ中弦ＤＡ，ＢＣ的延长线交于圆外一点Ｅ，ＢＤ是☉Ｏ的直径．若Ｃ为ＡＢ(
的中点，ＢＤ＝５，ＢＣ＝３，求四边形ＡＣＢＤ的面积．
图６
解析：连接ＤＣ，ȵＣ为ＡＢ(
的中点，ʑøＥＤＣ＝øＢＤＣ．
ȵＤＢ是直径，ʑøＤＣＢ＝９０ʎ，ʑøＥ＝øＢ，ʑＤＥ＝ＤＢ＝５，ＥＣ＝ＥＢ＝３，ʑＳәＥＤＢ＝１２，由引例可得әＥＡＣʐәＥＢＤ，ʑＥＣ２ＥＤ２＝ＳәＥＡＣＳәＥＢＤ＝９
２５
，ʑＳәＥＡＣ＝
１０８
２５
，ʑＳ四边形ＡＤＢＣ＝１２－
１０８２５＝１９２
２５
．小结：利用相似，给出相应面积关系，可求三角函数值．反之，给出一定的线段长和条件，可求图形面积的大小，万变不离其宗．
基本图形三㊀
引例：如图７，☉Ｏ是әＡＢＣ的外接圆，
ＡＢ是直径．过点Ｃ作☉Ｏ的切线交ＢＡ的延长线于点Ｐ，
写出图中的相似三角形．
图７
解析：连接ＯＣ，ȵＰＣ是☉Ｏ的切线，ʑøＰＣＯ＝９０ʎ．ȵＡＢ是直径，ʑøＡＣＢ＝９０ʎ，ʑøＰＣＡ＝øＯＣＢ．ȵＯＣ＝ＯＢ，ʑøＯＣＢ＝øＯＢＣ，ʑøＰＣＡ＝øＰＢＣ．ȵøＣＰＡ＝øＢＰＣ，ʑәＣＰＡʐәＢＰＣ．
练习３：如图８，☉Ｏ是әＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是直径．过点Ｃ作☉Ｏ的切线交ＢＡ的延长线于点Ｐ，已知ＰＣ＝４，
ｔａｎøＰＣＡ＝１
２
．
图８（１）求证：øＰＣＡ＝øＡＢＣ；（２）求☉Ｏ的半径．解析：探究问题（２）．
ȵＡＢ是直径，ʑøＡＣＢ＝９０ʎ．
在ＲｔәＡＢＣ中，ｔａｎøＢ＝ＡＣ
ＢＣ．ȵøＢ＝øＰＣＡ，ʑｔａｎøＢ＝ｔａｎøＰＣＡ＝
１２＝ＡＣ
ＢＣ
．由引例可得әＣＰＡʐәＢＰＣ，得ＰＡＰＣ＝
ＰＣＰＢ＝ＡＣ
ＣＢ
，ʑ
ＰＡ４＝４ＰＢ＝１２
，ʑＰＡ＝２，ＰＢ＝８，ʑＡＢ＝６，ｒ＝３．反思：题中只有一个线段长条件ＰＣ＝４，若求半径ｒ，仅
有ｔａｎøＰＣＡ＝１
２
的条件是不够的．挖掘题目中的隐含条件
әＣＰＡʐәＢＰＣ，可将øＰＣＡ转化成øＰＢＣ，借助直角三角
形，得线段比ＡＣＣＢ＝１
２
，再次利用相似，得到相似对应边连等
式，ＰＡＰＣ＝
ＰＣＰＢ＝ＡＣ
ＣＢ
，
从而求出半径长．㊀图９
变式：如图９，☉Ｏ是әＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是直径．过点Ｃ作☉Ｏ的切线交ＢＡ的延长线于点Ｐ，已知ＡＢ＝１０，
ｔａｎøＰＣＡ＝３
４
，求ＰＡ的长．解析：由әＣＰＡʐәＢＰＣ，得ＰＡＰＣ＝
ＰＣＰＢ＝ＡＣＣＢ＝３
４
，ȵＡＢ＝１０，ʑ
ＰＡＰＣ＝ＰＣＰＡ＋１０＝３４
，得４ＰＡ＝３ＰＣ，４ＰＣ＝３ＰＡ＋３０，
{
求得ＰＡ＝９０７．
圆的学习是学生学习强度的分水岭，主要看学生在学习几何图形时能否找到突破口把未知转化成已知，体现了数学的价值观念．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养．
解题的关键是找到题中的线索，利用基本图形所对应的基本结论，打通思路，使解题方法 水到渠成 ，这里的 水 是指特征条件， 渠 就是指基本图形，审视到 水 ，就会联想到 渠 ，从而达到 水到渠成 的效果．
一个几何综合题的图形包含多个基本图形或基本图形的一部分元素，如果从中提炼基本图形，或补充㊁构建完整的基本图形，解题效率可大大提高．
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