一、【概念速记】
（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（2）（2）记作: ≥0
（3）代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
二、【定义延伸】
如果a＞0，那么|a|＝a，如果a＜0，那么|a|＝－a，如果a＝0，那么|a|＝0，两个负数比较，绝对值大的反而小。
三、【绝对值非负性】
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若，则，，
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；
（2）若，则或；
（3）；；
（4）；
（5），
对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；
对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．
绝对值几何意义
当时，，此时是的零点值（就是值为0的时候未知数的值）．
四、【例题精讲】
一、绝对值的非负性
例1 如果，
求++…+ ．
例2若与互为相反数，求的值
例3 若，则的值是多少？
例4 若，则.
例5已知、、都是负数，并且，则．
二、绝对值的化简
例1、．，则； ，则．
．如果，则，．
例2 化简的结果为___________
例3去掉下列各数的绝对值符号：
(1)若x<0,则|x|=________________；
(2)若a<1,则|a-1|=_______________;
(3)已知x>y>0,则|x+y|=________________;
(4)若a>b>0,则|-a-b|=__________________.
例4 如果，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
例5化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2.
例6 若=-1,求x的取值范围。
例7若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例8 下列各组判断中，正确的是 ( )
A．若，则一定有 B．若，则一定有
C. 若，则一定有 D．若，则一定有
例9 如果＞，则 ( )
A． B．＞ C． D ＜
例10 非零整数满足，所有这样的整数组共有
例11 已知且，那么
例12 （4级）若且，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数
【巩固】下列式子中正确的是 ( )
A． B． C． D．
例13数在数轴上对应的点如右图所示，试化简
例14实数在数轴上的对应点如图，化简
例15 若均为非零的有理数，求的值
例16 若，求的值．
三、绝对值的几何意义
我们由|x－a|的值是数轴上表示x的点与表示a的点之间距离，推而广之可知|x－a|＋|x－b|的值是数轴上表示x的点到表示a的点的距离与该点到表示b的点的距离之和。 一些用零点分段法计算量比较大的题目，用几何意义来解，却更加直观简捷，事半功倍。
例1 已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.
例2 已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值.
【总结归纳】
通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:
如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.
如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.
练习：
1.求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
2． |x-2|-| x-5| 的最大值是_______，最小值是_______.
3.|x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4.阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若|x-3|=|x+1|，则x=______；
（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值为______；
（3）请说出|x-3|+|x+1|=7所表示的几何意义，并求出x的值．
【大题狂练】
例18 阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：·
⑴当时，原式
⑵当时，原式
⑶当时，原式
综上讨论，原式
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
⑴分别求出和的零点值
⑵化简代数式
