本科毕业论文

论文题目：      关于热传导问题         

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学号：       *********058          

专业：          物理学             

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学    院：    物理与电子科学学院       

2010年5月20日

毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计）

姜丽丽

（山东师范大学物理与电子科学学院  济南  250014）

摘要：传热是普遍的自然现象。只要有温差的存在，热量的传递就是不可避免的。或者有热量输入或输出时，总会引起温度响应，造成温度的不均匀分布。热传导的基本理论就是确定介质内的温度分布。分析求解所提供的结果有助于人们去理解影响传热过程的各种因素。本文主要通过对热传导过程的理论分析，总结出热量与温度的关系，然后分析热传导温度的变化规律。

关键词：热传导，热量，温度

Problems on the heat conduction

Jiang Lili

(College of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan, 250014)

Abstract: Heat is a common natural phenomenon. As long as the existence of temperature, the heat transfer is inevitable. Or a heat input or output, will cause the temperature response, causing the temperature of the uneven distribution. Heat conduction of the basic theory is to determine the temperature distribution within the solid. Analysis of the results provided by the solution helps people to understand the impact of heat transfer process of the role of various factors. In this paper, the heat conduction through the process of theoretical analysis, summed up the relationship between heat and temperature, and then analysis the changing law of temperature.

Keywords:  heat conduction; calories; temperature

一、引言

热传导研究介质内部的热量传输，主要是固体内的热量传输，分析固体表面与环境进行热交换时，其内部的温度变化规律。研究各种导热现象的规律与发展国民经济有着直接的联系。例如，研究大地的温度变化，食品的冷冻过程，金属材料在铸造, 焊接，锻压等热加工过程中内部温度分布；材料结构热应力计算等。学习与研究导热的重要意义还在于：它是深入学习与研究各种导热现象乃至工程热物理各专门学科的重要基础之一。为了对热传导中热量和温度之间的关系有一个更深刻的认识，本文从理论方面给出一些分析。热量传递是在温差作用下出现的能量转移现象。自然界中到处都存在着温差,因此传热现象随时随地都可能发生。众多的传热现象中,热量传递被归纳为热传导、热对流和热辐射三种基本方式。热传导是热量传递的基础,热传导理论在科学研究与工程技术各领域有着广泛的应用。它的重要意义在于：通过对各类热传导问题的求解，可得到有实用价值的结果。热传导理论最基本的任务就是确定介质内的温度分布。这就需要一个可求解的方程，而确定的这个方程要想有解必须有确定的边界条件。对于一个给定的问题，我们可以先确定边界条件，然后代入热传导方程，进而求出温度的宏观分布情况。这些问题包括齐次非齐次问题等。将这些结果应用于一维，二维等实际情况，从而解决实际中遇到的问题。

二、热传导理论基础

（一）热传导的概念

1.由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。热传导是热传递三种基本方式之一。它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。

2.固体、液体以及气体热传导

热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在低温部分，微粒振动动能较小。因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。在固体中热的传导，就是能量的迁移。在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量传递。

（二）温度场与温度梯度

物体或系统内各点间的温度差的存在是产生热传导的必要条件。由热传导方式引起的传热速率（称为导热速率）决定于物体内温度的分布情况。

1、温度场：任一瞬间物体或系统内各点的温度分布总和。

一般,即某点的温度是空间和时间的函数。

稳定温度场        ，

不稳定温度场        

一维稳定温度场    ， ，

t仅沿等温面：温度场中同一时刻下相同温度各点所组成的面，彼此不相交。（同一瞬间内空间任一点不可能同时有二个不同的温度值）。

2、温度梯度

Δt—两面温差 Δn—两面间垂直距离 

                                （2-1）

温度梯度是矢量，既有大小，又有方向（正法线方向，即指向温度增加的方向）

对于一维稳定温度场：

                                        （2-2）

（三）热传导方程

热传导的起源是温度的不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示。对均匀的各向同性材料，在热稳定条件下，根据实验结果，Fourider定律是

                                                    （2-3）

其中k热传导系数。热传导系数是材料固有的属性。

在热力学第一定律基础上，结合Fourider定律，即可得到导热方程式，介质内部导热过程中的热力学第一定律可写成简明的数学形式：

                                                （2-4）

其中为单位时间体系通过界面获得的热量，为单位时间体系内部产生的热量，为单位时间体系内能的变化量。

将Q，，分别代入热力学第一定律可得

                                            （2-5）

运用高斯定理，=

则2-5式可改为：

-+=                        （2-6）

由于不随时间而变化，2-6式可写为

=            （2-7）

根据微分的中值定理（Lagrange定理）可知：

                            （2-8）

代入2-7式即得：

可写为：

                        （2-9）

再根据积分的中值定理，上式可写成：

即：

                                （2-10）

在各向同性物体内、温度场连续的点上，Fourier定律成立，将Fourier公式代入，得：

对一般固体材料而言，与c影响远小于k因此，方程可简写成：

                                    （2-11）

当导热系数随温度不很敏感的条件下，才能近似地认为导热系数在整个区域内为常数，所以上式可以写成：

或

                                            （2-12）

其中=

在稳定导热问题中，物性量失去了作用：，若温度场内没有热源，，则式可进一步化简成：

                                                    （2-13）

称为Laplace方程。

下面我们以一根均匀细杆内热量传播为例，建立热传导方程。设细杆的横截面积为常数S，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，我们可以近似的认为，在任何时刻，横截面上的温度视为相同。这样就是一维情况．

图1  均匀细杆内的热传导

如图1所示，建立坐标系，以T(x,t)表示x点在时刻得t的温度，问题就是要确定函数T(x,t)，为此，把细杆加以细分，拿x+x这段为代表加以研究。在t到t+t时间内，自A流入B的热量为

                                        （2-14）

自B通过C流出的热量为：

                                                （2-15）

那么热量的净流出量为：

                                （2-16）

由于：            ,      

所以 ：                                         （2-17）

上述净流入的热量Q使区间内的物质温度升高，设物质的比热为C，细杆的密度为。则：

，     

若k为常数，则：

    ---------热传导方程

如果细杆内存在热源(发出热或吸收热)，设热源的密度为F(x,t)，(单位时间内和单位长度上所放出的热量)，那么在时间t到内，微元段,热源所产生的热量为：

方程变为：

                                    （2.18）

取k为常数，则：

=+ f(x,t)                                            （2.19）

导热方程的意义：得出了导热微分方程就得到了支配导热现象的一种数学描述。这个方程的基本含义是，把温度场在空间与时间领域内的各点的值内在的联系起来。它指出了存在物体内的各种导热现象必须遵循的客观规律，存在于导热物体内部的各种温度场，都必须满足导热微分方程，但导热微分方程并不能给出各个具体的，存在于导热物体内的温度场。只有具备足以现象能单一地确定下来的各种条件，才能使物体内的温度场被唯一地确定下来。

三、固体、液体、气体热传导及热源的影响

热传导是热在固体中传递的主要方式。从分子运动的观点看，热传导的实质是分子在相互碰撞时传递能量的过程。各种物质导热性不同。各种物质导热性能是不同的，有的导热性能好，有的导热性能差。固态物质中金属导热性能好，其中又以银、铜导热性能最好；木头、玻璃、皮革、陶瓷导热性能差。液体除了水银和溶解了的金属外，导热性能都差。气体的导热性能比液体更差。羊毛、棉花、羽毛、泡沫塑料的导热性能都很差，这是因为它们是膨松的，在纤维和孔隙中有很多不流动的空气。真空是最不导热的，这是因为热传导是依靠分子的碰撞来实现的。固体热传导的状态,一般分为两种,第一为稳定状态下之热传导情形，即固体之温度分布不随时间而变。另一种为非稳定状态下之热传导，即温度分布随时间而变。如果由于微分方程中出现热源项，或者由于非齐次的边界条件，或者两者兼而有之，则热传导问题就是非线性的了。

当实际问题不能完全符合上述关于Fourier方程适用性的四个条件时，导热方程必须采用其它形式。

（一）无源热传导温度的变化规律

在实际解决各种导热问题时，常常会遇到一些复杂的因素需要考虑。例如，如何准确地确定环境条件；如何处理复杂的几何形状；如何处理热物性参数随各种因素的变化；以及如何处理复杂的材料结构等等。

下面就在其他条件均相同，只是由于物体几何形状不同的情况下对物体温度分布的影响进行讨论。

（1）无内热元常物性平板导热

内热源q（x）为零，导热系数k为常数的平板导热，代入Laplace方程

                                                    （3-1）

这个二阶齐次方程的一般解为：

T=Cx+C

这是一个直线方程，说明无源、常物性平板的内部温度沿厚度是线性分布。C与C这两个待定常数由平板所处的边界条件来决定。

（2）圆柱体导热

热导率为常数的用柱坐标表示的通用热传导方程由Laplace方程给出，将能量守恒原理应用于用柱坐标定义的微分单元就可推导出这个方程：

                        （3-2）

当没有轴向温度变化而只存在稳态热传导时，该主导方程简化为

（3）球状固体

可以把球坐标中所用的相同的推理推广到球坐标。热导率为常数的球坐标中通用热传导方程为：

                            （3-3）

例如一个半径的实心球，初始时温度为；时间t>0时，处的边界面以对流方式向温度为零度的周围介质放热。试求时间t>0时该球内温度分布T(r,t)表达式。

本问题的数学描述为：

                                        （3-4）

T=F(r)                    

用对上式进行变换，得：

U=0                        

                                （3-5）

然后把转换为以后，得到：

    （3-6）

式中：。的值是下面方程的解：

                                        （3-7）

如果bk>―1,则该超越方程的根是实数。把K代入不等式bk>―1,得

（bH-1）>―1

这就意味着H>0。因此，系数可以是负值，但Hb总是正值。

（二）有源热传导温度的变化规律

用分离变量的方法求解含热源的热传导问题并不是很方便的。但是，若通过对因变量作适当的变化能把含热源的热传导边值问题转化为不含热源的热传导边值问题。则最终得到的问题就可用分离变量法求解。这个过程等价于寻找非齐次热传导微分方程的一个特解而使整个问题转化为齐次形式。下面讨论的是含热源的稳态问题。

（1）有源平板导热

平板材料的导热系数是常数，平板内含有热源，即方程中。在以下分析中，不管热源产生的具体原因，只是简单地把认为一个常数，它既不随温度而变，也不随地点而变。在这种情况下，方程式可写成：

                                                （3-8）

方程的一般解为：

                                        （3-9）

根据具体情况代入边界情况即可确定常数C和C。

（2）矩形区域导热

有一矩形区域，，域内有强度为（常数）的发热源。则该区域的稳态热传导问题：

    ；                        （3-10）

    ；    

发热强度为常数的方程（上面第一个方程）的特解可从表中查出得，则新变量可定义为：

                                （3-11）

将此式代入发热强度方程，得到如下有关的问题；

    ；)        （3-12）

    ；            

这里，若选常数A为：

A=                                            （3-13）

则式变为：

    ；)                        （3-14）

    ；    

式中：

对于的稳态热传导问题，只有一个处的非齐次边界条件，因此，可用分离变量法求解。在求得之后，发热强度为常数的温度分布即可由下式求得：

                        （3-15）

四、影响热传导的因素

影响热传导的因素有温度差、导热系数、导热物体的厚度（距离）和截面积等。温度差是热传导的推动力。热量总是从温度较高的部位传向温度较低的部位。温度差越大，单位时间内传输的热量越多。导热系数（也称热导率），是指导体温度差为１摄氏度时，在1秒钟内通过厚为1厘米、截面积为1平方厘米的热量，单位。物体导热系数越大越容易传导热量。比如木材的导热系数很小，木材的导热系数随木材的含水量增加而增加，随木材的温度增加而增加。随木材的密度（比重）增加而增加。导热物体的厚度（距离）越小，截面积越大，传导的热量越多。通常认为热传导在林火蔓延中所起的作用较小。由于森林可燃物热传导传递的热量缓慢，致使可燃物表面的温度上升很快，容易引起燃烧，并且燃烧持续时间增加，因此一些燃烧的树桩、朽木能长时保存火种，在干旱大风的情况下，引起森林火灾。

五、热传导的应用

传热学在生产技术领域的许多部门应用十分广泛。在能源、化工、冶金、动力机械等部门中广泛采用的换热器和专用换热设备都以传递热量为其主要功能，它们的设计、制造、运行和提高工作效益都要大量运用到传热学的知识。此外，电气工业中部位温升的控制，电子工业中电子元件的散热，建筑工程中建筑物的隔热、保温、供热和空调等建筑热工问题的处理，以及农业、生物、环境保护和气象等部门中的热量传递问题，无一不需要用到传热学的知识。还值得指出的是，传热学的应用不仅范围广泛，而且有时还起着关键的作用，例如，在控制机床热变形是达到高级加工精度的先决条件，把热流密度控制在“烧毁点”之内是原子能反应堆安全工作的保障，而耐超高温隔热板的研制成功解决了飞行器重返大气层而不致融化的难题等。近几十年来，现在科学技术的进步特别是高参数大容量发电机组的发展，原子能、太阳能、地热能等新能源的开发利用，航天技术的飞速发展，超导和大规模集成电路等一系列现代科学技术的进步推动了传热学学科的迅速发展。它的理论体系日趋完善，内容不断充实，已成为现在技术科学中充满活力的主要学科之一。

六、总结

本文主要从热传导的基本概念出发介绍有关热传导的基本理论，然后引入热传导基本方程，在掌握热传导方程的推导及物理意义的基础上将其用于各种实际情况，分别从直角坐标，柱坐标，球坐标系下热传导方程的形式出发研究多种几何形状的固体热量和温度分布的关系。通过对各类热传导问题的分析，可得到有实用价值的结果。

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