编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅
目标认知
考试大纲要求：
1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；
3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；
4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；
5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；
6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点：
1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。
2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。
知识要点梳理:
知识点一：极坐标
1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对
就叫做点的极坐标。
（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
当时表示极点；
当时，点的位置这样确定：作射线，
使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。
（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，
即，, 均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：
直角坐标化极坐标：；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.
（2）过垂直于极轴的直线：
5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点为圆心，为半径的圆：.
（2）若，，以为直径的圆：
知识点二：柱坐标系与球坐标系：
1. 柱坐标系的定义：
空间点与柱坐标之间的变换公式：
2. 球坐标系的定义：
空间点与球坐标之间的变换公式：
知识点三：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，）；
其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中，点对应的角为（过作轴，
交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：
（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；
（2）摆线的参数方程 （是参数）。
规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
经典例题精析
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。
解析：它们依次是或；；（）.
示意图如下：
总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。
举一反三：
【变式】已知点，则点
（1）关于对称点的坐标是_______，
（2）关于直线的对称点的坐标为________ 。
【答案】
(1) 由图知：,，所以；
(2) 直线即，所以或（）
2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。
解析：
（1）方程变形为,
∴或，即或，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得,即，
故原方程表示直线。
(3) 变形为, 即，
整理得，
故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。
（4）变形为,
∴,即,
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。
总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)； (2), 其中；
(3) (4)
【答案】：
(1)∵ ，∴即,
故原方程表示是圆.
(2)∵, ∴，
∴，∴或，
∴或
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得即，整理得
故原方程表示抛物线.
(4)由得,
∴，即
故原方程表示圆.
【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.
【答案】将代入方程得.
3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。
解析：
（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.
举一反三：
【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
【答案】：。
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，
则原点（极点）到该直线的距离是 ；
（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，
极点到直线的距离为。
【变式2】解下列各题
（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的切线方程为____；
（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆的圆心为________。
【答案】
（1）（方法一）
设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为和。
（方法二）
圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.
（方法二）圆即的圆心为，
圆即的圆心为，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆即的圆心为，即.
类型二：参数方程与普通方程互化
4．把参数方程化为普通方程
(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；
（3） (,为参数)； （4） (为参数).
思路点拨:
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。
解析：
（1）∵，把代入得；
又∵ ,, ∴,,
∴ 所求方程为：(,)
（2）∵,把代入得.
又∵，
∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
（3）（法一）：,
又，,
∴ 所求方程为(,).
（法二）：由得,代入,
∴（余略）.
（4）由 得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一:，
即（），故所求方程为（）
法二: 由 得，代入得，即
∴再将代入得，化简得.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.
【答案】：
（1）由得，代入化简得.
∵, ∴,.
故所求方程为（，）
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵ ，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点
C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点
【答案】：
（1）
其中，，∴ 半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】：
（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，
∵，∴ 倾角为，选C。
5．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）
取两式的平方和，得
曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得，即,
曲线是过点且斜率的直线。
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：
【变式】已知圆锥曲线方程为。
（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为
消去,得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
∴曲线为椭圆，其中，，，从而。
类型三：其他应用
6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。
解析：设椭圆上第一象限的点，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：
【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
【答案】：已知圆方程为，
设其参数方程为（）
则圆上的点到直线的距离为
，即
∴或
又 ，∴，从而满足要求的点一共有三个.
【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.
【答案】：
（1）由已知，
设圆的参数方程为（为参数）
∴
∵，∴
（2）
∵，∴. 下载本文
