聚焦小学数学系列一：小学数学要注重长远与长效

     从整体上把握小学数学，着眼点很多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。

放眼长远是核心

长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目标相距尚远，但却是整个基础教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。

　　然而，现实情况不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再见。这样的数学谈何长远？

　　毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了培育兴趣、应用、应变、自信、求实、责任、想象和创造的环境。我们是不是摆脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让他们能够地去想一想、试一试，而不是完全按照老师的理解，或是书本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。

　数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈一再强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。

　　注重长效是关键

　　小学数学的长远目标能否落实，关键是要为长效提供支撑。

　　有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的结果与预期的教学目标匹配程度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简单地说，管长远、能一生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同时，眼前和长远相互依托，缺一不可。

　　那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书可能就想不起来。然而，探索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒可能会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了一些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长久地驻留在学生心中，并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“探索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。

　　因此，短效虽然易得，但长效更是关键，短效要为长效服务，要以长效为目标。一方面把“过程与方法”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学的视野。同时，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特征的教学策略要有个清醒的认识。

　　练就注重长效的“独门功夫”

　　举“测量”为例。当学生认识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量认识角的主题，包括单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是大家都认可的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位本身是规定的结果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和探索空间。在教学上下点功夫，能帮助学生认识单位的标准作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，知道如何在估计与精确之间作出选择，逐步认识到数学为什么需要抽象，等等，而这些都有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐步导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的方法，逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近直至能够达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。学生不仅要知道如何量，还要知道量的方法从哪里来，知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，知道测量的意义。

　　如果小学阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学，只是采取多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就可能浪费了这一题材的教育价值。如果因为测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，结果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。

　　小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生探索与发现准备的沃土。它提供给学生通过自己的眼和手去发现与认识世界的机会，它能自然地沟通过程与结果之间的联系，能把学生探索的目光从书本、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让他们“真刀真”地解决几个真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着儿童的成长淡淡隐去，而伴随着一连串“为什么”发现的规律、道理和方法倒有可能长久留存，成为伴随学生一生的本领。

　　放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推进的质量。当前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推进的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行。

原文载《中国教育报》2009年2月13日第5版

聚焦小学数学系列二：别让数学教学沦为解题教学

    实际教学中，数学教学目标常常被简单地理解为数学知识的掌握。以知识掌握的数量和牢固程度作为唯一标准的教学评价，引导着师生对知识的单一追求。为了便于学生理解和接受，抽象、严谨且具有广泛应用性的数学知识经常被教师们分解为一道道数学题，解题成了数学教学活动的重要组成部分，引导学生解题成了数学教学的一种重要形式和手段。

　　理论上，所有人都知道数学的教学目标是多元的，远不只是掌握知识和解题那么简单。然而，具体到教学一线，教师们总希望能抓住一些有形的、易于测量的东西来操作。于是，解题成了一线教师教学评价的抓手。的确，面对一道数学题，学生能否调用相关的数学知识来解决，可以折射出学生相关数学知识的掌握情况。学生能灵活调用数学知识来解决相关的问题，也表现为数学能力。于是，解题就成了教师衡量学生学习水平的重要标尺，学校也通过编写试卷，让学生解答批量的数学题来呈现学生的学习状况，了解、检验教师的教学。

　　说到底，还是评价的导向在起决定作用。如果高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评价的方式一天不改变，教师和学生们追逐成绩、把解题能力当作数学教学最高目标的现状也将很难改变。

　　华罗庚说过：“学数学不做题目，等于入宝山而空返。”这说明，数学教学离不开解题，但是解题只能作为数学学习的重要途径，而不是数学学习活动的全部。数学教学对解题的依存关系表现为：

　　数学学习过程需要解题这一重要的手段。解题作为数学学习过程的重要手段，其作用可以归结为以下几点：首先，解题过程引导学生逻辑思考。许多数学知识之间的关系非常严谨，知识的起源、认识、理解和掌握蕴含着严谨的推理、推断过程。这一过程往往是通过解决一个个数学问题来完成的。数学解题过程是若干数学知识的综合调用和一系列逻辑推理的组合，是一项重要的数学思维活动。所以数学解题过程成了数学学习活动的重要组成，成了一次次逻辑推证的过程。其次，解题是引导学生有步骤地走进数学的过程。数学知识本身是一个逻辑链，数学知识被分解为一系列相关联的问题，数学教学就是通过这些问题串，以旧引新，层层深入，引导学生逐渐走进数学的内核。再其次，数学问题直接挑战学生的智慧。数学知识以问题的形式呈现，在解题过程中学生首先要直面问题，有价值的数学问题能很好地挑战学生的智慧、激活学生的思维，更大限度地激发学生的创造潜能。

　　解题不能准确地反映学生的全部学习状况。解题的过程受各种因素的影响，学生在解题过程中的表现也可能是片面的，只能反映学生数学学习的部分情况。人们对知识调用的速度和思维的灵活度与心情好坏、注意力集中程度等都有密切的关系。解题也会受题目质量的影响，如问题的呈现方式、表达习惯、定位的明显程度。个人的经验和成长历程以及对问题及其情境的熟悉程度，也决定个人对问题的适应性和感受性。许多老师要求学生“多做题”，认为多做题目就增长了见识。正是这种“一回生，二回熟”的信念，造成了对解题结果的过分追求，对提高解题能力手段的过度研究，使得解题成了操练的工具，解题也因此失去了呈现学生真实学习水平的意义。

　　准确把握数学教学的目标与价值。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。学习数学的重要目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养。这需要每一位教师准确地把握数学教学的目标与价值，让数学课堂教学成为学习者思维活动交流的过程。

　　充分发挥解题教学在数学教学中的功能。要想让数学教学不沦为解题的教学，就要帮助教师正确定位解题在数学教学中的意义和作用。一是要选择有教学价值的典型问题。二是要把问题的教学价值发挥到极致。充分挖掘问题的教学价值，适当安排时机发挥题目资源的效用，尽可能一题多用。三是在评价解题时，把通法（一般的普通方法）放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要关注解题过程反馈的价值信息。在关注解题结果的同时，考虑给过程分，关注解题过程中的各种表现，收集有效信息，帮助诊断教学，发现、利用有价值的教学资源。一方面引导学生重视解题过程，另一方面提醒教师从过程中收获信息的教学价值更甚于结果。教师应允许学生采用不同的思路，鼓励学生大胆发表见解，教师在理解的基础上应尊重各种合理的解题思路，并给出中肯的评价。五是要重视解题后的反思。解题过程中的试误过程和成功经验都值得反思。回顾自己如何经历“山穷水尽疑无路”，又如何达到“柳暗花明又一村”的境地，分析解题过程给带来的认识上的得与失。这些收获不亚于题目本身带给我们的价值。

　　在数学学习中，我们既要扎扎实实地学好数学知识和技能，又要牢固地掌握数学思想和方法，而且要能灵活应用数学知识和技能解决实际问题。学习数学需要解题，但不取决于解题的多少，而在于解题前的分析、探索和解题后的反思。我们要让学生要成为解题的主人，要从解题中吸取解题的方法、思想，锻炼思维。

　《中国教育报》2009年2月13日第6版

聚焦小学数学系列三：什么是真正“用教材教”

　　“用教材教”时下已成为教师们经常挂在嘴边的一句话。“教教材”与“用教材教”在语意上并无多大差别，但“用教材教”反映了教材观的转变，即视教材为主要的课程资源、教学线索，激活了教师的专业自主性，让教师以教材开发者的姿态，将个人特质、教学经验、教学才能融入到对教材的加工、改造之中。

　　历史地看，过去我们也反对照本宣科，追求用活教材，现在提倡“用教材教”，似乎是旧话重提，但其中的必要性却不容小视。社会与教育的发展在为教学提供新条件的同时，也对教学提出了更高的要求。要求教学更加关注学生的个性发展，要求教材多样化，要求教学手段不再只是一张嘴巴、一支粉笔。因此，传统的话题势必会在新的历史条件下，寻求新的诠释与表达。

　　目前，有种观点认为，“教教材”与“用教材教”是教师教学水平提高的两个阶段。论据一是目前尚有不少教师的教学连忠实执行教材还没做到，论据二是“教教材”要作为“用教材教”的基础。这样的看法有一定的道理。但需要明确的是，它只是举出了特定背景下的真实个案，不能据此认为它就概括出了教师提升教学水平的一般规律。同时，我们也确实应当先深入教材，再跳出教材，否则难免会出现对教材的误读和背离。

　　事实上，要有效地用教材教，除了正确理解、准确把握教材之外，还必须深入分析学生的学习特点，了解他们的真实情况。教材再好，通常也只能根据一般情况为教与学提供一个思路和一种设计方案，不可能完全适应每个学校、每个班级、每个学生的具体情况。用教材教，要求教师具备解读教材、解读学生的智慧。解读教材、解读学生与加工教材，都可以在备课过程中，即在课前一次完成，实际的备课过程，也常常是将三者结合起来进行的。不能因为它们需要分别展开研究，就听任目前的教学停留在“教教材”的水平上。同时，对三者的钻研应该是教师永无止境的追求，都有待深化，需要经验的逐渐累积，不必人为地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教这样的阶段。任何时候，调整、加工教材都是教师的权利，也是教师备课的内容之一。

　　如何“用教材教”？需要探讨和解决的问题很多。这里笔者仅就使用新教材以来教师在课前预设环节遇到的一些问题进行讨论。

　　复习铺垫的设计。现在新编的教材，基本上不再出现新知识前的复习、准备或过渡内容。以致有教师问：是不是数学课堂上不要需要复习环节了？

　　教材直接以问题开始，有利于扩大思维和探索空间，有利于学生问题意识的培养。在这个过程中，学生在新问题的基础上联想回忆出已学知识。当然，如果学生自己联想有关知识有困难，或者出现夹生、遗忘现象，教师先行组织复习也是可取的。

　　新授前设置复习、准备环节的初衷，一是为了通过再现激活学生头脑中已有的相关知识；二是为探究铺设台阶，分散新授的难点。第一点无可厚非，问题在于第二点。以往的课堂教学实践中，教师常常铺垫暗示过度，或者人为地设置了一条狭窄的思维通道，学生无须探究，或稍加尝试，结论就出来了。这显然不利于学生主动学习能力的发展。但我们也不必就此因噎废食。应当承认，这类教学铺垫有很多合理的成分。

　　比如，教循环小数前，很多教师喜欢先以学生熟知的一年四季周而复始的实例，让学生感知“依次不断重复出现”的周期现象，以此作为同化新知识的认知框架。有了这一铺垫，原本很抽象的循环小数，通过学生自发的类比，大大降低了理解的难度。

　　教学手段的选择。一般认为，选择教学手段的依据是教学内容、学生以及教师自身的特点。除此之外，还应考虑什么？

　　以教学长方体的认识为例。现在多数教材提供的现实模型是城市建筑、冰箱、纸盒等图片，人民教育出版社的教材考虑到农村和边远地区，给出的素材里还有长城的图片和其中一块放大了的砖。教师可以选择一个或几个实物抽象出长方体的图形，并进一步介绍长方体的面、棱和顶点等。目前在有条件的学校，教师大多采用多媒体课件演示长方体的形状。此外，还能选择什么教学手段呢？30年前笔者在江西教学时，曾用当地的白萝卜作为教具。在东北，教师的创意是让学生用小刀削土豆。在上海，老师们让学生用小刀削橡皮泥。这不正是因地制宜选择教学手段最生动的诠释吗？

　　巩固练习的补充。经常听到教师抱怨新教材配备的练习偏少。不可否认，教材需要修改、完善，但教材不是题库，面对减轻学习负担的社会诉求，教材中的习题必须严格精选。因此，即便改进之后，还会众口难调。比如20以内退位减法，可以用“破十法”，也可以用“连减法”。诸如此类的针对性练习，教材难以一一提供，只能由教师为学生“量身定制”，自行补充，当然教学参考书可以也应该给予提示。

　　此外，学生的学习有缺漏必须弥补，同时要满足学有余力的学生兴趣拓展和提高的需求，教师适当的增补练习，也是因材施教的内涵之一。另外，一些乡土素材、社会时事、学校正在开展的活动，等等，都可以用来编成数学的实际问题，使数学应用练习更贴近学生的生活和时代的脉搏。

《中国教育报》2009年2月20日5版

聚焦小学数学系列四：什么才是有效的开放

　　新一轮课程改革提出了自主、探究、合作、生活数学、信息技术、算法多样化等一系列新名词，这些都体现出开放的教学内容、教学方式和教学理念。在过去的探索中，我们既出现了小组围坐其乐融融、合作交流热热闹闹、动手操作红红火火的景象，也出现了因交流挤掉学生思考的时间，因空间开放未能完成当堂练习的现象。于是，有人开始怀疑开放的教学是否影响学习效率，甚至开始怀念传统教学中环环相扣的高效率、高质量。

　　开放的教学过程改变了传统封闭式教学中“把信息从一个地方传递到另一个地方”的单向过程，使教学交流更加多元、立体，更能促进学生充分、全面地发展。封闭式教学追求的是让学生在有限的时间内掌握更多的知识，而开放式教学的价值取向则在于追求自主与创新。应该说，开放与封闭、有效与无效是不同维度的对立面，如果我们将这两组矛盾各为横轴、纵轴的话，会出现“有效的开放”、“无效的开放”、“有效的封闭”、“无效的封闭”这四个象限，以自主学习、合作学习为主要方式的开放式教学和以讲授式为主要方式的封闭式教学都存在着有效和无效的问题。值得思考的是：何谓有效的开放？

　　特级教师魏洁谈到她在美国听的一节小学六年级的方程课：上课开始，教师在黑板上写出：x＋３＝５，未作任何暗示，只给学生们提供一些方格纸、小方块和白纸，让孩子们解答。有的孩子左边摆3个方块、右边摆5个方块，然后从5个方块中挪出3个，找到了答案“２”。有的孩子借助方格纸，先画5个方格，再圈掉其中的3个，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5”上写了“3”并做了一个删除的记号，虽然没有规范的格式，但是他也愉快地找到了答案。还有一类孩子，想不到任何方法，就伸长了脖子看周围的同伴在忙什么，看看用方格的，好像不能理解，于是就选择了一个用方块的作为学习对象。人家怎么做，他就怎么做。等到孩子们全部完成后，老师组织全班学生进行了交流。接着，没有任何的解释和总结，写出第二题：５-ｘ＝２，让孩子们自己做。有意思的是，第四类孩子这时也跟着他的学习对象改用方格来帮助解决问题了。更有意思的是，课后魏老师采访了这个孩子，问他：“会了吗？”孩子高兴地回答：“会了！”再问：“过两天还记得吗？”孩子回答：“肯定忘了。”追问：“那你怎么办？”孩子很爽快地指指小组的伙伴：“有他！”这是典型的美国课堂，也许正是不少人认为低效的课堂。折腾了一节课，学生连基本的解方程格式都不会。但这类“低效”课堂何以受到美国教师的青睐？国际相关的比较研究提醒我们，我们的孩子在解决封闭性问题时，往往强于美国学生，而在解决开放性的实际问题时，美国学生却表现出较明显的优势。

　　教育家波兰尼有个观点说,显性知识只是冰山的一角，而缄默知识则是隐藏在冰山底部的大部分。缄默知识只有通过个体的实践与体悟才能获得。如此说来，看似松散的学生探求解决办法的过程，也正是他们进行底部积累的过程。站在关注每一个个体学习历程的角度看，以上案例中孩子们对不同方法的选择与改变，让我们看到了孩子们的思维由具体到抽象的变化过程，看到了孩子们积累数学活动经验逐步形式化的过程，看到了不同的孩子在自己最近发展区的成长，看到了孩子遇到困难时寻求帮助的“智慧”之举……

　　这样看来，关注学生在教学中是否成长和发展是我们评价现代课堂有效性的核心。除了知识的掌握，学生数学学习经验的积累、数学思想方法的感悟、数学基本技能的训练，数学学习情感的丰富，这些都应该成为考量课堂有效性的重要维度。评价开放性的课堂除了必须保持开放的心态，还必须采用开放的评价指标和评价方法。这方面的工作，无疑已成为摆在我们眼前的重要任务。

　　近年来，我们的教育教学工作者在追求有效开放的探索中积累了很多宝贵经验。有的老师注重小组建设，从评价入手，努力营造组内合作、组间竞争的学习氛围，为建立有效合作提供了一种范式。有的老师注重同伴交流的实效，从“如何听、如何说”的指导入手，甚至为每个小组配备录音笔，即时记录交流情况，从而实现有针对性的指导工作。还有不少教师认为开放式教学要因“材”而为，结合教学内容，在适于探究、适于合作之处予以放手，把“挖掘教材、吃透教材，做一名能够整合教材、个性化实施课程的教师”作为自己追求的理想。有的教师背下12本教材上的所有例题和习题，以自己对小学知识的通透把握，达成课堂上充分探索、思辨练习、课外不留作业的高效教学。这些都显示出教师们为积极探索有效开放教学策略所做的不懈努力。这些理论与实践相结合的鲜活研究，为我们从模仿开放之形到把握开放之神提供了坚实的基础。

　　我们有理由相信，随着我们视界的敞亮、理论的完善和探索的深入，开放而有效的课堂必将越来越成熟。

《中国教育报》2009年2月20日6版

聚焦小学数学系列五：有过程的教学促进高水平的理解

　　常听一线老师诉苦说：现在的学生真难教，水平参差不齐。的确，在学习新知识前，学生早已不是一张“白纸”。作为教师，该怎么办？

　　知道事实不等于真理解

　　面对学生已经知道“答案”时，我们需要追问：有多少学生知道答案？有多少学生真正理解要学习的内容？

　　例如，对于“长方体的体积=长×宽×高”，如果学生通过背诵记住这一公式，那么他获得的知识仅仅是“事实性知识”。

　　如果学生通过拼摆单位小正方体而得到“大长方体”的体积就是单位小正方体的个数，即数小正方体的个数就能求出长方体的体积，但是“数”比较麻烦，再进一步发现大长方体的体积是“长×宽×高”，这时他对长方体体积公式的理解就达到“概念性水平”。

　　如果学生能进一步深入分析，就会发现长方体的体积与长方体的一个面的面积以及对应这个面的高有关。在教师的引导下，学生综合应用所学知识，得出长方体的体积还可以通过“一个面的面积乘以这个面所对应的高”来求出，这时学生对该公式的理解就达到了“方法性水平”，因为这个公式不仅仅适用于长方体而且适用于一切柱体。学生不但了解了公式产生的来龙去脉，并且能在所涉及的概念与概念之间，以及概念与已有的经验之间建立起联系，并能根据不同的条件灵活选择公式解决问题。

　　在此基础上，学生还能进一步解释“长方体的体积等于一个面的面积乘以这个面上的高”吗？在教学中，有个学生这样回答：我把长方体看成是“底面”这样的小薄片一片一片垒起来的，那么长方体的体积不就是这个“小薄片”的面积乘以垒的“高度”吗？这名学生所获得的知识就已经达到了“主体性水平”，他所获得的这一知识，是通过反思“创造”出来的。

　　学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”的理解上。在教学中，我们必须辨别出学生的理解所达到的程度，设计恰当活动促进学生对知识的高水平理解。

　　有过程的教学促进学生高水平的理解

　　“数学是系统化了的常识。”小学数学中的很多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。从理论上说，学生认识这些朴素的思想应该很容易，但为什么学生学习“课本上的数学”就有很多困难呢？

　　原因主要在于数学的学科定义高度概括、抽象，教材不易呈现其形成与发展的过程，直接学习现成的结论不符合小学生的思维水平与认知特点。因此，弗罗登塔尔认为“教材是教学法的颠倒”。如果教师的教学没有过程，而只是简单的模仿、记忆、背诵、训练，则容易使学生的理解仅仅处于事实性水平。

　　教师无过程教学的根源主要有两点：一是缺少追问学科概念的本质，二是没有真正了解学生的思维特点与已有的知识经验储备。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储备。当教师对这两个根源有深入的思考后就能设计出有过程的教学。

　　设计有过程的教学，需要教师关注数学概念、思想的本质以及发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，关注学生的思维过程，利用思维过程中的冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力，激发学生学习的愿望与动机，体会到创造的乐趣。

　　下面是一位教师教学“减法的初步认识”时发生的主要事件，该课就是一节过程充分的课：

　　教师先利用电脑动画设计了一个停车场的情境，学生很快发现了信息并提出了问题：停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，问停车场还剩几辆小汽车？学生顺利地列出算式并计算。教师请学生利用手中的学具，自己动手创造一个用减法解决的问题，并列式解决。这一环节的设计目的是让每个学生都亲历减法意义的感知过程，并板书出学生所出现的各种不同的减法算式，为后续观察、比较、总结减法的意义作素材准备。

　　但在交流汇报时，一个小女孩到实物展台前，一边演示“小水果”学具，一边介绍自己刚才的操作过程：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个，问我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。”话音刚落，另一位男孩喊到：“怎么还是5-2=3啊？重复了！不能写到黑板上。”展台前的女孩不服气地为自己辩解：“我没重复，这次不是汽车，是水果。”坐在下面的男孩竟站起来反驳：“反正你的算式是5-2=3，还说不重复？”女孩一脸疑惑地看着教师。

　　教师首先请学生发表自己的看法，大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出结果。这时教师问：“你还能想一件‘事情’，也用5-2=3来表示吗？”孩子们的思维活跃了起来，编出了很多的情境。例如：教室有5个小朋友，走了2个，还剩下3个。草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，还剩下3朵。5支铅笔，丢了2支，还剩3支……这时刚刚发完言的一个学生不肯坐下：“我还能说这样的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本领真大呀！”

　　教师继续捅破“窗户纸”：“有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一样的事，却能用同一个算式来表示呢？”学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的。这时，教师趁热打铁，又问：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一个数‘8’都可以表示什么？”学生脱口而出：“那太多了！”看到孩子们意犹未尽的样子，教师又问：“你现在有什么想法？”其中一个学生说：“我觉得‘数’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物。”

　　小学生对所学知识不能都达到高水平理解

　　由于数学的学科特点及小学生的思维特点、生活经验，学生对所学习的内容不能都达到高水平的理解。我们应该允许学生先处于事实性水平的理解，随着经验的增加、思维水平的提高，逐步对所学内容达到高水平理解。

　　小学阶段所学习的数学概念有一些是“高通达力”的概念，即不是教师能教会的，理解这些概念需要学生认知水平的提高。例如，分数、字母表示数、正反比例关系、方程、极限、平均数等概念和思想。学习这些概念时，我们应当适当允许学生在理解上的反复，因为要达到高水平的理解既需要教师设计有过程的教学，也有待学生年龄的增长。教师能做的，就是提供有价值的问题或任务，促进学生的思维投入，而不是把现成的知识灌输给学生。

（作者为北京教育学院数学系副教授）

聚焦小学数学系列六：训练也是学习

      竖式除法是学生学习运算中的一个难点。余数问题、商的数位问题、单位问题等类似错误常常出现在学生的作业中。表面看这些错误各不相同，细细分析会发现，这些错误的根源在于不理解竖式算法的意义。有研究发现，学生虽然会用竖式计算，但６５％的学生不明白竖式除法为什么从高位算起，５１％的学生不清楚竖式除法的算理。这种情况下，提高学生的运算能力，就不能只是让学生反复操练。

　　训练是提高计算能力的技术手段，但并不一定是科学手段。教师应当改进教学，关注学生的已有经验，关注学生的困惑，在此基础上设计教学。寻“根”究“理”，让学生真正参与到知识的探索中。

　　情境设计，让学生钟情练习

　　将学习中的模仿、训练转化为学生的内在需要，是我们教学设计的追求。

　　有这样一道题：“地球赤道周长４万千米，设想用铁丝沿赤道扎紧，然后把铁丝接长１０米，问铁丝和地面之间能出现多大空隙？”这道题对学生来说是很有趣的。但怎样让学生对题目“一见钟情”呢？有位教师作了如下改进：

　　地球的环境日益恶化。地球大吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦！”玉皇大帝听到后很着急，心想：要是地球真的爆裂了，那全部生灵就会被毁灭。于是他决定沿地球的赤道加一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球却直喊：“太紧了，我喘不过气。”玉皇大帝只好把铁箍松了一下，使得它处处离地球１米。可是松一下，铁丝不够长了，需要再加一段，请你帮玉皇大帝算一下需要加多长的一段铁箍？

　　这样的题目有故事情境，符合小学生的心理，能很好地调动学生的参与愿望。研究发现，进行情境问题测试的学生，其成绩和个体情感的投入都优于进行传统题目测试的学生。在之后的问卷调查中，进行情境问题测试的学生有９４．７％选择“以后还希望再做这样的测试”。而进行传统题目测试的学生选择该项的只有２２．５％。这就要求教师改进学习内容和形式，尽量避免重复，多让学生主动创造而减少灌输。“凡是能传给他人的，一定是可以重复的，而可以被他人重复的则一定不具有创造性。”这启发我们，为了增加学生的主动性，除了教学方式、教学方法方面的改进外，还需要结合学生的现实背景，设计现实的、有意义的、富有挑战性的情境性问题，避免训练中的简单重复。

　　适时点拨，增强练习实效性

　　练习要让学生明了目的，不能盲目。练习中，需要教师及时分析学生的错误成因，适时介入，并根据学生的不同情况安排有针对性的练习。

　　有一道找规律题目如下： ２０００，４００，８０，（）。有个学生说：“前面的数除以５，就得到后面的数，所以８０÷５就可以得到答案１６。”另一个学生说：“老师，我算出的答案也是１６。可是，我找的规律跟他们的不一样。我是这样算的：２０００＋２０００＝４０００，去掉一个０，就是４００。４００＋４００＝８００，去掉一个０就是８０。８０＋８０＝１６０，去掉一个０就是１６。所以，最后一个数是１６。”

　　这个学生的规律，其他学生是不是听懂了？他与别人的规律是不是真的不一样？如果不一样，有什么联系和不同？教师在这儿引导其他学生探讨这个学生的算法，是非常自然而必要的。

　　这个学生用到的“加法”是第一级运算，运算程度最低，也最简易，在说到除时，用到的是动作“去掉０”，而不是“除以１０”，表达很通俗，且形象、生动。而其他同用的是第二级运算“除法”，方法相对抽象。对这两种思路的对比分析在这一节课中非常重要。

　　跟上时代，不做超标练习

　　在计算教学的问题上，一直有人批评课改过了头。诚然，素质教育并不排斥计算上的高技能，但是，计算技能需要高到哪种程度，则是需要画个问号的。

　　两位数的除法在教学中是重点，而瑞典教材是不作要求的。像４４８÷３２，他们只要求学生能估算４４８÷３０就可以了，不要求笔算。２００８年，我们与瑞典教育代表团交流时，瑞典教育代表团团长多丽丝教授反问我们：“时间很宝贵，长大以后这些题目都可以用计算器去解决，你们为什么要花费这么多的时间用于计算？”这个问题促使我们不得不思考：我们让孩子花费这么多的时间，究竟有什么价值？为什么我们让学生做超出课标要求的大量练习？而我们的课标本来就远超出国际一般要求。

　　有位教师说：“有一道题：桃树２３棵，杨树是它的３倍少６，桃树、杨树一共多少棵？我讲解了好几回，学生都是２３×３－６。你说如何讲学生才会接受？他们都不知道要再加上桃树的数目。”原因何在？由“生活经验解决”到“数学符号表征”是一大跨越，学生不会用一个式子把“桃树、杨树一共多少棵”表示出来，这不能怪学生。列综合算式对于四年级的学生来说，还是太难了。我们的课标和教材是不要求学生列综合算式的，而我们平时的教学还在远超“英美”的高度上再次拔高。

　　训练是学习的过程，而非学习中的某个环节，从这个意义上说，训练即学习，而不是重复。学习不是传输的过程，也不是接受的过程，学习是个需要建立联系、需要自觉建构实践的过程，离开学生的参与，训练就成为复制的过程。由此，我们需要加强教师在学生练习中的指导作用，使练习走向科学。（作者为山东省茌平县杜郎口中学教师）

　　《中国教育报》２００９年２月２７日

聚焦小学数学系列七：开启从错误中学习的新视角

　错误在学习中普遍存在

　错误并不仅仅出现在学习活动中。一般而言，人们是在认识论的范畴中讨论“错误”，把它与“真理”作为相对的概念提出的，认为“错误”就是与客观实际不相符合的认识。

　但是，当人们讨论学校学习活动中的“错误”时，错误的概念发生了变化。人们认为错误是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法或做法。与认识论的“错误”概念比较，变化如下：

　其一，错误往往被教师理解为学习活动的结果不符合教学要求。如在一堂“分数、小数加减混合运算的简便计算”课中，教师要求学生在算式“0.38+（）-7/5”的括号中填上合适的数，使得计算比较简便，并计算出算式的结果。学生提出填上1.62，使得加法运算的结果为2，但教师却认为这一填法不正确。在这一练习中，教师简便计算的“标准观念”并不只是一级运算，无论学生填写1.62或7/5都不符合教师的“标准观念”。教师希望学生考虑简便的二级运算，最佳的运算结果是0。且不论教师对简便计算的“标准观念”是否真的标准，从这一教学现象中我们不难发现，学生学习结果的错误往往是指不符合教师预设的教学要求。衡量的标准从“客观实际”变为“教学要求”，被赋予了更强的人为色彩。

　其二，这种学习结果不仅包括认识（观念），也包括行为（做法）。数学学习过程中的“做法”通常指的是技能，包括计算技能与解决问题的技能。因为它不会直接对现实生活造成伤害，因此，学习过程中的错误既被理解为“观念”，又被理解为“做法”。这两者在学习过程中是紧密联系在一起的。教师可以通过学习过程中错误的“做法”去折射学习者错误的“观念”。

　在数学学习中，学生的错误是普遍的。我们可以毫不夸张地说，每一位数学学习者在数学学习活动中都发生过错误。个体正是通过对抗数学学习中的错误，丰富了自身的认识经验，从而获得发展的。

　数学学习中的错误更是必然的。首先，数学活动是一种包含有猜测、错误与尝试，证明与反驳，检验与改进的复杂过程。因此，学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。其次，数学研究的对象是对现实生活理想化的抽象，许多在现实生活中有原型的数学概念，学生很难区分其与生活概念的差异，因为处于具体形象思维阶段的学生会出现认知不足，进而产生错误观念。例如，学生在理解三角形高的概念时，由于在日常用语中“垂线”只指铅垂位置，所以学生很难理解其他位置的高，更难把握三角形的外高。正是由于这些学习错误具有普遍性与必然性，它们的产生也是有理由、有规律可循的。因此，在建构主义看来，错误的产生具有合理性。有学者认为，从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。

　错误的价值与有价值的错误

　在学生的学习过程中，正确有可能是一种模仿，而错误却大凡是一种经历。因为许多错误是学习者在主动构建知识时形成的。在教育活动中，错误是重要的教育资源。

　首先，错误的教育价值在于它展现了学生的思维历程。“在数学学习活动中，错误表征着学生思想的航行，活动的展开。错误可能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。”有一个学生提出了这样的疑惑：认识三角形内角和时，我们是通过把长方形沿着对角线一分为二，已知长方形的内角和是360度，一分为二得出直角三角形的内角和就是180度。那么把一个等腰三角形沿着高一分为二，小的直角三角形的内角和为什么不能是90度呢？尽管学生通过类比推演得出小三角形内角和的结论是错误的，但是，学生在错误经历中的思考与质疑却是难能可贵的。

　其次，错误可以使理解和记忆更加深刻。学生经历错误后，如果教师通过展示学生的错误，辩论错误观点，纠正错误过程，那么，学生会对自身的错误理解得更深刻、记忆得更牢固。因为在错误经历中，学生获得了在平坦的大路上难以见到的景致，也许正是学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质。

　再其次，它折射了学生数学学习的难点问题。学生在数学学习活动中难以理解、难以把握的内容往往成为教学的难点。学生在学习中的错误正是学习难点的折射。当然，并不是学生所有的错误都折射了数学学习的难点，在教师的教学设计中也无法关注每一个学生的错误，这必然引发对有价值错误的思考。

　我们认为，那些具有规律性的、合理的错误具有教育价值，因为它们具有普遍性，多数学生会遭遇。那些经过思维运演的错误有教育价值，因为它们可以促进学生的理解，强化学生的记忆，并能产生许多非认知的教育价值。

　教师对待错误的三重境界

　“从错误中学习”并不是每一位教师都认同的教学原则，错误资源在不同教师的课堂上发挥的教育价值，也因教师对待错误的态度不同而存在差异。我们把教师对待错误的态度分成三重境界。

　第一重境界是教师害怕、拒绝错误。他们认为学生的学习错误是自身教学缺失的标志，尤其在公开课上，不符合标准答案的观点会被教师们漠视，他们或对学生的错误采取“失聪”、“失明”的做法，或用优生的学习成果掩盖其他学生的学习错误，因为他们对标准答案已经产生了思维定式与心理期待，对课堂中生成的非预设的学习成果缺乏评价能力。

　第二重境界是教师把学生的学习错误作为有价值的教学资源加以利用。或通过展示错误过程，辩论错误观点提升认识；或故布陷阱，让学生深陷其中而得出显而易见的错误，从中恍然大悟地得出正确结论。

　第三重境界是教师不仅让学生经历纠错的过程，形成正确的观念与做法，更重要的是让学生反思自身的错误，进而升华为错误观的教育。浙江省特级教师俞正强老师就曾有一堂经典的进行错误观教育的“小数四则运算”练习课。整节课一气呵成，让学生经历了“感受研究错误的必要性——小数四则运算的错误类型——小数四则运算错误的归因分析——小数四则运算的干预策略——对错误观的认识”这一完整的反思错误的过程。首先，他在课前让学生计算了20道小数四则混合运算题，然后在课堂上让学生们评价自己的作业，并公布了全班学生的错误率，从而让学生了解小数四则混合运算错误的普遍性，体会到研究学习错误的必要性。然后，教师展示学生的典型错误，让他们依据自身的理解把错误分类，并让产生错误的学生分析原因。许多学生简单地归因为粗心、马虎、不认真。他就耐心地引导学生，提出任何数学学习的错误总有知识的缺陷或技能的不足，只有这样的归因分析才能正确认识并纠正错误。他让学生对那些有错误的同学提出纠错的建议，并进而拓展到对错误观的认识。让学生理解犯错误是难免的，学生的错误不等于错误的学生。但是，人不能两次犯同样的错误，学习如此，未来的生活也如此。

　 学生的学习错误是生成性的教育资源，教师只有放宽心态，理性分析，智慧地把握，才能使错误资源发挥真正的教育价值。

（作者为浙江教育学院教授）

聚焦小学数学系列八：用研究的心态面对每一堂课

　　　今天的新课程改革，已越来越强调理念向实践转化，课程向教学转化，教材向教师转化。在转化过程中，教师的日常教学势必会遇到形形色色的新问题，出现各种各样的新矛盾。面对这些问题与矛盾，需要教师以研究者的姿态出现在教学实践的情境中，通过研究分析问题、破解矛盾，使教学实践呈现出新的状态和水平。

　　把研究作为生存的方式

　　教师不只是教学者、学习者，同时还应该成为一个研究者。教师要实现自己的专业发展，成为一个专家型的教师，仅仅靠自己原有的知识是远远不够的。

　　信息化时代的到来和教育教学改革，都要求教师不断更新自身知识结构，转变一味向学生传授既定知识的做法，通过学习赋予教学新的元素，实现与学生的结伴成长、共同发展。

　　另外，教师在教学中遇到的新问题、新矛盾，几乎都没有现成答案。专家能提供的是关于解决问题的一般认识，但很难提供解决问题的具体方法。教师只有拿起研究的武器，实现由实践者向研究者的转化，才能切实形成解决问题的新思路，找到破解矛盾的新方法。

　　在这种情况下，学习、教学、研究已经成了教师生活中不可或缺的部分。学习与教学并驾齐驱，教学与研究双向互动，学习与研究相互促进，成为教师职业存在的新方式。

　　把问题作为研究的起点

　　教师的教学研究与专业研究有着根本性的差别。它自始至终是在教学现场进行的，是以教师自身为研究主体的，是以解决实际问题为指向、以改进教学实践为衡量标准的。

　　在日常教学中，难免会存在这样或那样的问题。这些问题因其新颖性、不确定性、复杂性等完全有可能成为研究的对象。比如，一位教师对二年级《数学》关于概率的初步认识——“可能、一定”进行教学时，作了这样的教学设计：先让孩子们从装有3个黄球和3个白球的盒子里摸出一个球，让孩子们感受“可能”——可能是黄球也可能是白球；然后再让孩子从装有6个黄球（没有白球）的盒子里摸出一个球，让孩子们感受“一定”——一定是黄球，不可能是白球，并且告诉孩子们假如能摸出白球的话有奖。

　　没想到，在实际教学中，当第二个孩子摸出黄球后，第三个孩子拒绝再摸，而是说出了这样一番话：“我肯定这盒子里全部都是黄球。第一，您怕同学得到奖品在课上玩。第二，这奖品是买来的，您以后还要用。”这番话让教师很是意外，也引起了教师的思考：学生对教师的行为进行质疑，甚至是伦理上的怀疑了。我们总说，数学要联系学生的生活世界，但什么样的联系才是自然而然的，什么样的联系是有可能弄巧成拙的，解决这些问题就成了教师研究的起点。

　　把反思作为常用的方法

　　日常教学中的研究虽然也会偶尔涉及统计、测量、问卷等方法，但对于教师来说，最常使用也最便于使用的方法还是教学反思。偶发的教学反思并不困难，但将反思作为一种研究方法来改进教学，则需要教师持之以恒，直至找到解决问题的途径。

　　在今天来看，对教师教学帮助较大的是专题性的反思，小题大做的反思，及对比鉴别式的反思。这样的反思集中关注教学中的某一个突出问题，经过不懈探索，理清思路，澄清认识，从而提升教师的实践智慧。

　　比如，一位教师注意到，在学习“互质数”这部分知识时，学生有这样的错觉——“5和9都是互质数”；学习了长方形的面积计算方法后，学生经常会用“长×宽”来求长方形的周长等。这些错误属于哪些知识类型，在什么情况下会出现，错误对于教学有哪些帮助？教师通过对这些问题的思考与分析，就为把错误转化为教学资源提供了依据。

　　把重建作为改进的途径

　　反思本身并不是目的，反思后的重建同样至关重要。

　　在教学反思中，教师需要在稍纵即逝的教学现象中发现问题，捕捉课堂教学中貌似没有问题的问题，与此同时，还要着力去思考解决问题的方法，并且在后续的教学中加以探索与尝试。这样，反思才能真正为教学服务，教学也才能在研究中走向新形态。

　　前面提到教孩子关于概率初步认识的那位教师，认识到需要在课堂上避免让孩子对教师产生伦理怀疑，但他又不想放弃让孩子摸出白球有奖的设计。在后续平行班的教学中，他进行了这样的重建：他到学校后面的小商店里拍了一张像片，小商店的货架上是琳琅满目的商品。开始上课时，有意不穿外套。到“有奖摸球”前，穿上外套，投影那张像片。然后说：“我是这个商店的老板，你看我这里有吃的，有喝的，有玩的，还能摸球得奖呢！”然后，组织学生摸球……当孩子们说教师不让学生摸出白球“坑人”的时候，教师把外套脱了，说：“同学们，老师来了，你有什么话想说？”一件外套，将教师保护了起来，还原了这类游戏的本来面目。

　　教师备课的过程，很大程度上就是反思自身教学中存在问题，甄别问题产生的原因，并思考后续教学如何重建的过程；而上课的过程，就是把解决问题的设想加以实现的过程；说课、评课的过程，是重新思考教学中存在的新的、更高层次的问题，并致力于寻找解决问题对策的过程。

教师日常教学成果的表达形式并不是撰写学术论文，而是记叙自己教育教学经历的日志、叙事、案例、课例。教学日志反映教师在教育教学中的实际情况，思考了教学中需要把握的主要问题；教叙事描述了教师教学中遇到的典型事件，分析这些事件的启示意义；教学案例体现的是教师在教育教学中真实发生的典型性的疑难事件，呈现教师在解决典型问题上的典型经验；教学课例是以某一节课为分析对象，以教学设计、教学进程、教学反思三部分为基本结构形式，将新课程的教学理念转变为教学实践的全过程展示出来。

（作者为华东师范大学教育学系教授、博导）

聚焦小学数学系列九：积极应对学科知识新挑战

　《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第一次将平移、旋转、中位数、众数、可能性等内容纳入小学数学课程，对小学数学教师的数学素养提出了更高的要求。在教学实践中，小学数学教师本体性知识欠缺的问题逐渐暴露出来。“要给学生一杯水，教师就要有一桶水”的观念经过一次又一次的实践证明，再次成为数学教育界的共识。

　　  由于过去的师范教育中没有设置解析几何、概率论等课程，很多小学数学教师从来没有接受过“图形变换”与“统计和概率”等知识的系统培训。还有一些教师，过去虽然学习过相关课程，但由于没有机会再次接触，久而久之，逐渐淡忘。以下的这些教学片断就表明仍有相当一部分教师的数学专业知识结构不能完全满足新课程的要求。

[片断1]

　  教师给学生举出一些生活中常见的旋转实例时，举了房门开关的例子。（事实上，中小学数学中涉及到的图形变换都是在同一平面内讨论的，教师应该意识到两种“旋转”有着本质的区别。）

[片断2]

　  教师引导学生观察方格纸上一个轴对称图形的特点时，总结出“对称轴的两边共有五组对应点，每组对应点的连线和对称轴垂直且到对称轴的距离相等”的结论。（看似准确的结论却在不经意中传达给学生一个错误的信息：对称轴两边只有五组对应点。这仅仅是一个口误，还是教师缺乏应有的数学敏感？）

[片断3]

　  在“数据收集”一课中，教师让学生以小组为单位，调查听课的几十位教师分别喜欢什么小动物。小组成员分别找了一些教师进行调查，然后把调查结果在小组中汇总。（热热闹闹的小组合作学习方式难掩教师统计知识的薄弱，因为同一小组的若干名学生对几位坐在前排的听课教师进行了重复调查，汇总后的结果并不能准确地反映实际情况。对此，执教者竟浑然不觉。）

　　  从以上案例可以看出，如果教师缺乏深厚的数学功底，全面培养学生的数学能力就只能是一句空泛的口号而已。因此，需要通过多渠道的学习和培训让小学数学教师尽快补上这一课。首先解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。一方面，教师需要不断提高自己的数学修养，以更高的视角来看待小学数学的内容，即“高处着眼”。另一方面，由于我们的教育对象是小学生，教师又应以一种平易近人、通俗易懂的方式呈现数学知识，即“低处着手”。有了“高处着眼”，才能高屋建瓴，统揽全局。但若没有“低处着手”，就不能化繁为简，寓教于乐，培养学生的数学素养和数学精神更无从谈起。

　　  厚积方能薄发。

小学数学课程的内容虽然相对简单，但同样蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数学文化。要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，教师首先要具备丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。只有这样，才能以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的认识，才能从更高更广的角度理解“数学是什么”、“小学生应该学习什么样的数学”等问题，才能在实施教学时信手拈来，游刃有余。

　　  首先，要及时补充与小学数学内容直接相关的数学知识。要求教师对数学的每个分支都进行深入研究并不现实，也无必要。但对基本内容和核心思想进行全面的了解，还是很有必要的。教师以何种高度看待小学数学内容直接决定了能否把课上出“数学味”来。其次，要关注数学学科的最新发展动向。数学是一个不断发展着的学科，了解数学的发展历史、当前的发展状况以及未来的发展方向，对于教师理解数学的思想和文化至关重要。教师只有了解这些前沿信息，才能以数学自身的旺盛生命力和内在魅力吸引学生不断探索未知世界。

      深入还需浅出。

由于小学教育的特殊性，教师除了具备厚实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象的数学知识转化为生动活泼的“儿童数学”的能力，在课堂上以最朴素、最简洁、最直观、最易于理解的方式来呈现数学知识，化平凡为神奇，寓大道于最简，让学生真正体会数学的有趣，从而自发地产生亲近数学的愿望。在素材选取、活动设计等方面，只有充分考虑学生的发展水平，才能为学生提供一种科学性、严谨性与通俗性、趣味性相统一的数学教育。

“高处着眼，低处着手”，不仅是对小学数学教师的要求，更是全体数学教育工作者应努力达到的共同目标。所有数学教育工作者，包括理论工作者、课程设计者、教材编写者、教研人员、教师，都需要不断内功，提高数学修养，以适应不断发展的数学教育的需要。同时，又应该以一种“低姿态”来提出教育理论、制订课程标准、编写教科书、设计教学。正如武侠小说中所描述的：“练拳不练功，到老一场空。练功不练拳，犹如无舵船。”如果各个层面的数学教育工作者都能既练好“功”，又练好“拳”，我们的数学教育就能少一分功利与浮躁，多一分平实与和谐。

（作者为人民教育出版社小学数学室编辑）

聚焦小学数学系列十：仅让学生学会解题是不够的-----追寻积极向上的数学教学目标

    数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础，一方面是因为所选内容是每一个人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还因为所学内容是后续学习的必要基础。然而实际上，在数学学习的过程中存在着大量的“解题”，本该充满基础性的数学学习往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考查学生学习数学的目标价值取向呢？

　　解题不可见题发挥

　　“解题”这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都是“好”题，自然非常必要。如果再追问怎样的题才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论，需要慎重分析。一味摒弃解题，可能导致学生数学水平的降低；一味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的负担。“解题”这样的传统话题值得深入细致研究，研究“解题”是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一个水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同时开两个水管，几小时能注满水池？”大加指责。其实这种批评是值得商榷的，因为这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，经过a田灌溉b田，影院进场和出场同时进行，飞行工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，适当的解题是数学学习不可或缺的组成部分，尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要内容。但让人遗憾的是，日常教学中可能绝大多数的“解题”还是相当的程式化、机械化，难免让学生觉得枯燥乏味。

　　数学学习要注重提升素养

　　承认“解题”对数学学习的作用，并不是无地扩大它的价值，毕竟解题只是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目标。在新课程背景下，许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”，数学学习的目标在于掌握必需的基础知识和基本技能，积累丰富的活动经验，体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题，在学习的过程中还将学会观察，学会思考，学会表达，学会书写，学会合作。著名特级教师张天孝研究小学数学教学50年，他有一个治学心得是：“让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。”这正是对数学学习目标的精辟提升。

　　如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。美国统计学家戴维·S·穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。

　　数学地思考，是数学学习的更高目标。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。

    数学要促进人的全面发展

　　数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基础学科，数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算，学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就要求数学教学不能仅限于教学数学，应该真正为人的长远发展服务。怎样与人合作，怎样在小组内表达自己的见解，怎样研究问题，学会分类，学会从多个现象中归纳出特点，学会从一个事件类比到另一个事件。学会学习，学会思考，学会与人相处，这些都是数学教学的目标所在。

　　把德育蕴含在数学学习中，其实大有文章可做。以下面的运行图为例。

　　看完图，学生一般会作出这样的评价：阿明很贪玩，在商店买零食，到游戏机房玩游戏机，到邻居家逗留，最后才回家；阿芳很乖，放学就回家了；阿强丢三落四，回家后发现作业本没带又回去拿了。这时，我总讲八个字：仁者见仁，智者见智。学生的思维马上发散了：阿明到商店买学习用品，发现游戏机房有同学在，他过去劝阻，邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾，阿明很懂事；阿强回家后下雨了，想起学校的教室窗户没有关又回去了，是个爱集体的好学生。在同一节课上，1分钟前后有截然不同的表达。这种表达已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的角度开始呢？同一个现象，从不同的角度看，所感悟到的是不一样的。乐观、积极、向上的情感态度，看待事物的多元视角是教育的本性诉求，数学教学也是如此。

　　数学教学的评价需多元化

　　数学教学不只是解题，也不只是教学数学。因此在评价数学学习目标的达成时，显然不能用简单的“会不会”来评价。在学习的过程中，教师还要考虑是否渗透了数学的方法，是否在学习的过程营造了学生之间良好的合作氛围，是否促成了学生学习数学的积极情感、态度，是否为后续的学习积累了丰富的活动经验，是否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如，“乘法的认识”一节，当面对一个情境列出很多不同的连加算式时，教师可以引导学生把算式分为两类，一类是算式中的数全相同，另一类是算式中的数不全相同。有了这样的分类，再引导学生把算式中数全相同的一类写成乘法的形式。在这个过程中，数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读，而是让学生从不同的算式中通过自主分类，概括出乘法算式的意义。同时，在分类的过程中，如果把所有的算式分为两类，一类是“数全相同”，另一类是“数不全相同”，可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说，教学的价值并非仅仅为了认识乘法算式，而是学会数学的基本方法——分类，从而归纳同类算式的特点，然后用语言概括出乘法的意义。再比如“平均数”的教学，在联系现实生活情境时，面对一个公司平均工资为1000元和另一个公司工资众数为1000元的两个公司，作为一个刚毕业的大学生该如何择业？一方面可以考查学生对平均数的理解，理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数；同时，也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。

　　全面的、科学的数学学习评价，应该不限于对数学学习内容的评价，还应当关注学生的学习是否愉快，是否对内容有兴趣，是否对数学产生了积极的情感。大而言之，在数学学习的过程中，还渗透了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观，这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。

　　　　《中国教育报》2009年2月13日第6版

聚焦小学数学系列十一：什么是真正“用教材教”

“用教材教”就是用好用活 活用教材

　　在一次“同课异构”专题教研活动中，５位教师分别执教了苏教版小学数学“用一一列举的策略解决问题”这一内容。

　　教材安排了两个例题，例１是“王大叔用１８根１米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？”例２是“订阅《科学世界》、《数学乐园》和《七彩文学》杂志，最少订阅１种，最多订阅３种，有多少种不同的订阅方法？”现场教学中，共有４位教师把例１和例２的素材进行了改编，把例１的素材改为王大叔“围花圃”，例２的素材改为王大叔“选花苗”，只有一位教师沿用教材进行教学。听课的老师认为后一位教师的例题素材与众不同，是对教材进行了改编，而前4位教师如出一辙的改编却被认为是教材的本来编排。

　　改编的教材“反仆为主”尴尬了谁？仔细研读教材，我们不难发现，两道例题注重选用有趣的、有现实背景的素材，旨在调动学生解决问题的积极性，同时激活学生已有的生活经验和数学活动能力。以例２为例，“订阅杂志”与“选种花苗”，哪个素材更贴近学生的实际生活？更容易唤起学生的兴趣和经验？显然是前者。４位教师在改编教材时只注重从“教”的层面，认为用“围花圃”和“选花苗”的情境，容易组织教学内容，有利于教师进行教学，这折射出教师“以教为中心”的教学设计价值取向。

　　教师如此热衷于改编教材，一方面说明新课程背景下教师对于“用教材教”意识的提升，另一方面也说明教师对教材认识的形式化和表面化。在实践中，教师该如何真正落实“用教材教”呢？在我看来，“用教材教”至少包含3个层面的含义，即用好、用活与活用教材。

　　用好——尊重教材

　　笔者曾经读过一个教师的备课反思：“虽然我每天课前都备课，但对教材挖掘得很不够。很多时候，在讲解某一个知识点时，突然想起了还有另外一个内容应该补充，但由于事先没有准备，只好课后查阅完再补充。该趁热打铁的时候老师没词了，这是多么尴尬的事啊！”这是常态课堂中部分教师呈现出的真实图景。课前“吃”不透教材，课堂上徒留遗憾与尴尬。因此，读懂教材是教师必备的基本功，读懂教材是使用教材、有效教学的基础。

　　如何“吃”透教材、读懂教材？具体到一节课，教师要从以下５个方面入手研读教材：了解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题与例题的关系，揣摩插图的编排意图，钻研提示语和旁注。做到“五读俱全”，即读懂问题情境，读懂每一道习题，读懂教材内容的结构，读懂教材的呈现方式，读懂教材的旁注、留白。

　　教学离不开教材，“用教材教”的第一层含义就是要用好教材，准确把握教材的编写意图，在教学中力求还原教材编写的本意，深入感悟教材资源，实现教材自身价值的最大化。

　　用活——理解教材

　　用活教材，就是以教材作为原型和范例，在依托和尊重教材的基础上，根据实际需要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，最大限度地发挥教材的功能。

　　点亮教材细节。笔者曾经听过一位特级教师谈自己如何“由内而外地打磨数学课堂”，有时仅仅是在使用教材时“读一遍习题、加两个数据、换三道题目”，这些细节处理没有张扬的技法，有的只是教师对教材的深刻理解、对学情的准确把握。有的教师潜心设计“小动作”，对课堂教学起到画龙点睛的艺术化效果，这些“点睛之笔”源于教师对教学本质的深刻领悟。在课堂教学中，教材细节的开发往往容易被教师忽视。有的教师认为教材编写已经给出完美的作品，教学时只需搬用就行，他们考虑的大多是用得像不像，而较少思考“有没有更好的用法”。其实，许多教材细节还需教师多加推敲，用心琢磨，把教材细节做“亮”。教师备课时要在充分钻研教材的基础上，认真对待教材的每一个细节，赋予教材细节更深的知识内涵和更广的思维空间，让教材细节丰盈课堂，使之能够生发锦上添花、以小见大的效力。

　　填补教材“空白”。新教材通过游戏、对话、表格和图片等方式呈现教学内容，没有呈现结论，只有学生自主活动的建议和过程中的问题提示，力求为教与学留下尽可能大的探究和交流空间。教学的灵活性增加了，教师的选择空间扩大了。这些教材空间给教师教学带来一定的困惑和难度，同时也给主体间的有效合作带来了良好的机会，让教师在使用教材时有更多的联想意境和创造空间。例如苏教版五年级“小数乘整数”一课，教材对竖式如何引出没给出具体的方法，从而留下了教学空间。教师在使用教材时不妨在此动动脑筋，考虑如何增减教学素材更便于学生感悟到用竖式计算“小数乘整数”的必要。教师要善于在教材的“留白”处挖掘、拓展教材的深度和广度，从而使新课程教材真正成为有效激发学生的学习潜能、引导学生自主探索、激励学生自我实现、不断提高学生数学素养的“有效的信息资源”。

　　开发习题资源。习题在小学数学教材中占很大的比重，如何充分利用课本中的习题资源，开发习题的育人价值是“用教材教”的一个重要方面。数学习题蕴含有知识功能、教育功能和评价功能。在数学教学中，解答习题本身并不是目的。学生一旦开始解题，他就接受着一种思想的训练，从技能、思维、智力、非智力等各方面塑造自己。新教材的习题注重培养学生的分析、综合、判断、推理的思维能力，培养学生解决实际问题能力和对数学积极的情感体验，在编排上注重利用实际情景设计开放性的问题，为教师创造性地组织教学提供了丰富的资源。教师要有习题资源的意识，将教材中的习题拓展为一个个值得学生探究的数学问题，以利于拓展学生的探索空间，促进学生的合作交流，让习题增值。

　　活用——创生教材

　　新课程的每个学段都要求教师“创造性地使用教材”，但创造性地使用教材并非简单地改变教材，它是用教材教的最高境界——超越教材、活用教材。具体体现在教师对教材有深刻和独到的见解，对教学有独特的思路和设计，能够对教材的绝对权威提出挑战，作出有个性的演绎，面对复杂多变的教育情景及时增删、延展固有观念，创造出有益于师生对话的氛围，使教学活动更加鲜活生动。它要求教师能够站在与教材编写者同样的高度去审视教材，能够读懂学生、读懂教材，寻求学生认知规律与教材编写意图之间的契合，对教材科学合理地整合、重组和超越，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性、现实性和挑战性，更好地调动学生的积极性和主动性。要创造性地使用教材，教师首先要成为一部书，一部非常生动、丰富和深刻的教科书。这种专业自觉不仅是外界赋予的权利，也是教师教学生活的内在追求。下载本文