2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练
一．选择题
1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
4．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）cm．
A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（ ）
A．6 B． C． +2 D． +2
6．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）
A．S12+S22＝S32 B．S1+S2＞S3
C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝S3
7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（ ）
A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定
8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°
9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（ ）
A．8 B． 9.6 C．10 D．4 5
10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为 ．
12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元．
13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为 cm．
14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为 cm．
15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为 cm．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为 ．
17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．
18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ ，∠ABC＝ °．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求CD的长．
20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．
（1）试求点F到AD的距离．
（2）试求BD的长．
22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？
25．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
参
一．选择题
1．解：∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，
∴OB＝，
故选：C．
2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，
故选：D．
3．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正确；
B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；
故选：A．
4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、B的最短距离为线段AB的长．
在RT△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC为底面半圆弧长，AC＝2π＝6cm，
所以AB＝＝10cm．
故选：C．
5．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝2，
则AD＝CD＝2，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝2，
则BD＝2，
故AB＝AD+BD＝2+2．
故选：D．
6．解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．
则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．
又a2+b2＝c2，
则S1+S2＝S3．
故选：D．
7．解：∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，
∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是AB边上的高，
∴S△ABC＝，
1.5CD＝1.2×0.9，
CD＝0.72，
故选：A．
8．解：A、由勾股定理得：AB＝＝5，故此选项正确；
B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝52＝25，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠C＝90°，
故此选项正确；
C、AC＝＝2，故此选项正确；
D、∵BC＝，AB＝5，
∴∠A≠30°，
故此选项不正确；
本题选择错误的结论，
故选：D．
9．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
当BM⊥AC时，BM最小，
此时，∠BMC＝90°，
∵△ABC的面积＝AC•BM＝BC•AD，
即×10×BM＝×12×8，
解得：BM＝9.6，
故选：B．
10．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解：∵DE是AB的中垂线，
∴DA＝DB，
设AD＝x，则DB＝x，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴CD＝8﹣x＝，
故答案为：．
12．解：在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，
∴AC＝5．
在△DAC中，CD2＝132，AD2＝122，
而122+52＝132，
即AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+DC•AC，
＝×4×3+×12×5＝36．
所以需费用：36×300＝10800（元）．
故答案为：10800．
13．解：如图，将正方体展开，
则线段AB即为最短的路线，
设这个正方体的棱长为xcm，
∴AB＝＝x＝20，
∴x＝4，
∴这个正方体的棱长为4cm，
故答案为：4．
14．解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，
由勾股定理知，AC＝＝＝4．
设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h，
∴h＝＝＝2（cm）．
故答案是：2．
15．解：（1）如图1，当点D落在BC上时，
∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，
∴BD＝＝＝4，
CD＝＝＝，
则BC＝BD+CD＝4+；
（2）如图2，当点D落在BC延长线上时，
∵AB＝5，AD＝3， AC＝4，
∴BD＝＝＝4，
CD＝＝＝，
则BC＝BD﹣CD＝4﹣；
综上，BC的长的为（4+）或（4﹣）cm．
16．解：作DE⊥AB于E，
∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
由基本作图可知，AD是∠CAB的平分线，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC＝12，DE＝DC，
∴BE＝AB﹣AE＝1，BD＝5﹣CD＝5﹣DE，
在Rt△DEB中，DE2+BE2＝BD2，即DE2+12＝（5﹣DE）2，
解得，DE＝，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝，
故答案为：．
17．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E， S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9
∴S正方形A+4＝9﹣3，
∴S正方形A＝2
故答案为2．
18．解：连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，
AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：10，45．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）在△ABD中，
∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，其中∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．
20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝＝24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，
∴BD+BE＝DE＝＝＝15，
∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，
在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，
则∠DFE＝30°，
故EF＝2DE＝16，
DF＝＝＝8，
∵AB∥EF，
∴∠FDM＝∠DFE＝30°，
在Rt△FMD中，MF＝DF＝8×＝4，
即点F与AD之间的距离为：4；
（2）在Rt△FMD中，DM＝＝＝12，
∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
又∵∠FMB＝90°，
△FMB是等腰直角三角形，
∴MB＝FM＝4，
∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．
22．解：根据题意得；AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里；
∵302+402＝502，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴乙船的航行方向为南偏东55°．
23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
∴BC＝CA．
设AC为x，则OC＝9﹣x，
由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，
又∵OA＝9，OB＝3，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝5．
∴机器人行走的路程BC是5cm．
24．解：设运动x秒时，它们相距15cm，则CP＝xcm，CQ＝（21﹣x）cm，依题意有
x2+（21﹣x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
25．定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，
＝×2+，
又∵S四边形ABCD＝＝，
∴＝×2+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
