等腰三角形经典模型

1．角平分线+平行：如图，在△ABC中，∠ACB和∠ABC

N

M

E

的平分线交于点E，过点E作MN∥BC角AB于M，交AC

B

C

于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）

A.6B.7C.8D.9

A

2．两圆一中垂：在平面直角坐标系x0y中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个。

E

F

3．等边三角形类弦图问题：如图，E、F分别是等边三角

P

C

B

形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P.

C

（1）求证：CE=BF（2）求∠BPC的度数。

4．绕直角顶点旋转：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC

E

=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

F

A

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF

B

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数

E

A

5．等腰共定点问题：如图，△ABC是等边三角形，

D

D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，

C

B

使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.

求证：AE∥BC

C

H

E

6．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线，下列结论:①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°；

G

F

D

A

⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD。其中正确的有

A

E

B

（）个A.3B.4C.5D.6

A

7．如图，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，

C

B

D

将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，是三角板的两个端点

分别与A、D重合，连接BE、EC，试猜想线段BE和EC的数量

C

及位置关系，并证明你的猜想。

B

A

8．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，

则AC=

D

A

几何辅助线技巧

1．C

如图，已知AB=DC，DB=AC，

B

（1）.求证：∠ABD=∠DCA

A

F

2．已知，如图，△ABC中，C=90°，点O为ABC的3

O

E

条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点

D、B

C

E、F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点

A

OD

到三边AB、AC和BC的距离分别等于（）

A.2、2、2B.3、3、3C.4、4、4D.2、3、5

D

C

B

3．已知，如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的

D

A

中线，则AD的取值范围是：＜AD＜

E

4．已知，如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平

P

分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD

A

B

C

与BC之间的距离是

E

5．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，

G

F

DE=DG，△ADG和△AED的面积分别是50和38，则△EDF的面

D

B

C

积是（）

A

A.8B.12C.4D.6

6．利用角平分线构造全等三角形：如图，△ABC中，AD平分

D

B

C

∠BAC，若AB+BD=AC，则∠B:∠C=：

B

7．给出角平分线和垂直关系，补全等腰：已知，如图，

D

D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，

A

C

若AC=8，BC=5，则BD的长为

A

8．截长补短：

D

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，

B

C

若BC=BA+CD，则∠A=

A

9．等边三角形外挂等腰模型：如图，△ABC是等边三角形，

D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠E=30°.若AD=

E

D

B

C

则DE=

A

拔高创新讲练：

1．Q

P

如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每

C

B

秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速

度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止

运动，当APQ是以AP、AQ为腰的等腰三角形是，运动的时间是

2．C

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点.

O

（1）.写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离关系

N

（不必证明）

B

A

（2）.如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动

M

过程中保持AN=BM，判断△OMN的形状，并证明.

3．E

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC

A

D

延长线上的一点.DE⊥AB，DF⊥AC，分别交BA的延长线

C

F

B

于点E，交AC的延长线于点F.

A

求证：DE-DF=BC

4．M

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，

N

C

B

∠BDC=120°，以点D为顶点作一个60角，角的两边分别交

D

AB、AC于MN两点，连接MN.

（1）F

探究BM、MN、NC之间的数量关系，并说明理由.

（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.

5．A

如图，△ABC是等边三角形，延长BC至点E，延长BA至

B

EE

点F，使AF=BE，连接CF，EF，过点F作FD⊥CE于点D，探究

AE

C

D

∠FCE与∠FEC之间的数量关系，并说明理由.

6．DE

EE

已知一个等腰三角形的一边上的高等于这边的一半，求顶角的度数。

7．OE

已知，等腰三角形ABC中，AB=AC，AE：EM：MB=1：2：1，

NE

ME

AD：DN：NC=1：2：1，连接MD，NE交于点O，

CE

BE

求证：△OMN是等腰三角形。

8．DE

如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，

BE

AE

CE

∠ADC=120°，试求CD的长下载本文