数学试题

高一__________班

学号__________姓名__________成绩__________

一、填空题（每题3分）

1.设角θ的终边经过点()4,3P -，那么2cos sin θθ-=______．

2.已知1

sin 2

x =

，则实数x =______．3.函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

的值域是______．

4.若tan 3α=，()tan 2αβ-=，则tan β=______．

5.函数()()2

f x sinx cosx =-的最小正周期是____．

6.函数()2

cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最小值是______.7.在三角形ABC

中，a =

b =，45A ∠=︒，则C ∠=______．

8.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==,

三角形的面积等于则AB 的长为___________.9.函数()cos 22cos f x x x =-，[]0,2x π∈的单调增区间为______．

10.实数,x y

满足2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，02y π⎛

⎫≤≤ ⎪⎝

⎭，则xy =______．

11.已知8x y z π≥≥≥，且3

4

x y z π++=，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为______．

12.设函数()66sin

cos 55

kx kx f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．

二、选择题（每题4分）

13.若sin x ＜0，且sin（cos x ）＞0，则角x 是A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

14.设函数()sin 23f x x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

，则下列说法正确的是（）．

A.()f x 是偶函数

B.()f x 的最小正周期是π

C.()f x 在区间7,312ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

上是增函数 D.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

对称

15.O 为锐角△ABC 的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则（）．

A.::::k m n a b c

= B.111

::::k m n a b c

=

C.::tan :tan :tan k m n A B C

= D.::cos :cos :cos k m n A B C

=

16.已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<，3f π⎛⎫

=

⎪⎝⎭

6x π=处取得最大值，则使得不等式

0a λω-≥恒成立的实数λ的最小值为（

）．

A

.3

11

B.

13 C.

11

D.

13

三、解答题

17.已知ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 6c A a C π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭．

（1）求C ∠的大小；

（2）若1a b -=，c =

19.若关于x

的方程sin 0x x a +=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的

αβ+的值.

20.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．

（1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4

cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．

21.如图，

一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF ∠始终为45°，设ADE α∠=，0,2

απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦

，探照灯照射在该梯形ABCD 内部区域的面积为S ．

（1）求S 关于α的函数关系式；（2）求S 的取值范围．

23.若函数()y f x =在定义域中存在1x ，2x ()12x x ≠，使得()()122f x f x +=成立，则称该函数具有性质p ．（1）判断以下两个函数是否具有性质p ：①()2

1f x x x =-+，[]0,1x ∈；

②()1212sin cos cos sin 2222g x x x x x ⎛⎫⎛⎫

=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，[]0,2x π∈．（2）若函数()2313cos sin sin 3223226232x x x x f x ωωπωππωπ⎤

⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⨯+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎦⎣⎦，

（其中0>ω，[],2x ππ∈）具有性质p ，求ω的取值范围．

上海中学2021学年第二学期期中阶段练习

数学试题

高一__________班

学号__________姓名__________成绩__________

一、填空题（每题3分）

1.设角θ的终边经过点()4,3P -，那么2cos sin θθ-=______．【1题答案】【答案】11

5

##2.2【解析】

【分析】根据题意，先求出cos θ和sin θ，然后，代入求解即可得答案【详解】角θ的终边经过点()4,3P -，所以，

4

cos 5

θ==

，3sin 5θ=-，

所以，83112cos sin 555

θθ-=+=故答案为：

11

5

2.已知1

sin 2

x =，则实数x =______．【2题答案】【答案】26k ππ+或526

k ππ+，k Z ∈【解析】

【分析】根据1sin 2x =为特值三角函数，由26x k ππ=+或526

k π

π+，k Z ∈即可得解.

【详解】由1sin 2

x =

，可得26x k ππ=+或526k π

π+，k Z ∈，

故答案为：26k ππ+或526

k π

π+，k Z

∈3.函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

的值域是______．

【3题答案】【答案】31,22⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦【解析】

【分析】利用辅助角公式，化简1

()sin(262

f x x π=+

-，然后利用正弦函数的有界性，即可得到()f x 的值域

【详解】()2sin sin 3f x x x π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭12sin (cos sin )22

x x x =⋅-2cos sin x x x =-31cos 2311

sin 2sin 2cos 222222

x x x x -=

-=+-1sin(262x π=+-，

31()22f x ∴-≤≤，所以所求值域为：31,22⎡⎤

-⎢⎥

⎣⎦

故答案为：31,22⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦4.若tan 3α=，()tan 2αβ-=，则tan β=______．【4题答案】【答案】17

【解析】

【分析】根据正切的两角差的公式，准确运算，即可求解.【详解】因为tan 3α=，()tan 2αβ-=，则tan tan()321

tan tan[()]1tan tan()1327

ααββααβααβ---=--=

==+-+⨯.

故答案为：

17

5.函数()()2

f x sinx cosx =-的最小正周期是____．【5题答案】【答案】π【解析】

【详解】由题意可得

()1sin2f x x =-，所以函数()f x 的周期为π．填π．

6.函数()2

cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的最小值是______.【6题答案】【答案】12

2

-.【解析】

【分析】化余弦为正弦，然后令sin x t =换元，利用x 的范围求得t 的范围，配方后求得函数最小值.【详解】()2

2

cos sin sin sin 1f x x x x x =+=-++.

令sin x t =，∵,44x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦∴22sin 22t x ⎡=∈-⎢⎣⎦

，

则2

2

15124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，,22t ⎡∈-⎢⎣⎦

，

当2

2t =-

时，2

min 1512242

y ⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭

.故答案为：

12

2

.【点睛】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题.7.在三角形ABC 中，

a =

b =，45A ∠=︒，则C ∠=______．【7题答案】【答案】75°或15°【解析】

【分析】由正弦定理求得B 角后可得C 角大小．

【详解】由正弦定理

sin sin a b A B =，即sin 45sin B =︒，所以sin 2

B =，又a b <，所以A B <，B 是三角形内角，所以60B =︒或120︒，

60B =︒时，75C =°，120B =︒时，15=︒C ．

故答案为：75°或15°．

8.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==,三角形的面积等于则AB 的长为___________.【8题答案】

【答案】【解析】

【详解】1131sin 43sin sin cos 2222

ABC S AC BC C C C C ∆=

⋅⋅⇒=⨯⨯⋅⇒=⇒=,2

222cos 13AB AC BC AC BC C AB =+-⋅⋅=⇒=

考点：三角形的面积公式与余弦定理．

9.函数()cos 22cos f x x x =-，[]0,2x π∈的单调增区间为______．【9题答案】

【答案】5[,],[,2]33

ππ

ππ【解析】

【分析】将函数()cos 22cos f x x x =-化为()2

2cos 2cos 1f x x x =--，利用换元法结合复合函数的单调性的判断，求得答案.

【详解】由题意可得()2

cos 22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--,

令cos ,[0,2]t x x π=∈，则2()221g t t t =--，当1

2

t ≤时,2()221g t t t =--单调递减，当1

2

t ≥

时，2()221g t t t =--单调递增,而对于cos ,[0,2]t x x π=∈，

当12

t ≤

时,[]3,x π

π∈时cos t x =递减，5[,

]3x ππ∈时cos t x =递增，当12t ≥时,[0,]3x π

∈时cos t x =递减，5[

,2]3

x ππ∈时cos t x =递增，函数()cos 22cos f x x x =-，[]0,2x π∈的单调增区间为5[,],[

,2]33

ππ

ππ，故答案为:5[,],[

,2]33

ππ

ππ10.实数,x y

满足2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，02y π⎛

⎫≤≤ ⎪⎝

⎭，则xy =______．

【10题答案】【答案】22

【解析】

【分析】由02y π≤≤

，得2

031

021x ⎧≤-≤⎪⎨≤-≤⎪⎩

，进而得x =，代入即可求解.

【详解】由方程组2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=

，可得2sin 3cos 2y x

y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，

因为02

y π

≤≤

，所以sin [0,1],cos [0,1]y y ∈∈，

所以2

031021

x ⎧≤-≤⎪⎨≤-≤⎪⎩

，解得223

2

x x ⎧≤≤≤≤⎪⎩

，所以x =

当x =时，可得cos 0y =，且02y π≤≤

，所以2

y π=，

所以222

xy π==

.

故答案为：

2

.11.已知8x y z π≥≥≥，且3

4

x y z π++=，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为______．【11题答案】【答案】12

48

+【解析】

【分析】首先求得范围

04

x y π≤-≤

，

84

z ππ≤≤，根据题意可变形

sin()sin()cos sin cos cos (

)2x y x y x y z z +--⋅⋅=⋅13cos sin()sin()24z z x y π⎡⎤

=⋅---⎢⎥⎣⎦

2132

cos sin()(cos cos sin )244

z z z z z π≤

⋅-=+⋅，利用三角函数求最值即可得解.【详解】8

x y z π≥≥≥

，可得04x y π

≤-≤，

所以sin()0x y -≥，且82

z ππ

≤≤，

所以sin()sin()

cos sin cos cos (

2

x y x y x y z z +--⋅⋅=⋅13cos sin()sin()24z z x y π⎡⎤=

⋅---⎢⎥⎣⎦

2132cos sin()(cos cos sin )244z z z z z π≤

⋅-=+⋅21cos 2sin 212(sin(2)422448

z z z π+=

+=++12

48

≤

+

，此时8z π=，所以当且仅当516x y π==

，8

z π

=时等号成立.故答案为：

12

48

+12.设函数()6

6sin

cos 55

kx kx

f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．

【12题答案】【答案】8【解析】

【分析】首先化简函数，

()2

24224345(sin cos sin cos cos cos 555555858

kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+，根据题意最小正周期1T <，可得52k π

>，即可得解.

【详解】()66224224sin

cos (sin cos )(sin sin cos cos )55555555

kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+22222

(sin cos )3sin cos 5555kx kx kx kx =+-⋅2323451sin cos 45858kx kx =-=+，

若对任意实数a ，均有(){}(){}

1f x a x a f x x R <<+=∈，

则最小正周期1T <，即2145

k π

<，即52

k π

>，

由k Z ∈，所以8k ≥，所以则k 的最小值为8.故答案为：8

二、选择题（每题4分）

13.若sin x ＜0，且sin（cos x ）＞0，则角x 是A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

【13题答案】【答案】D 【解析】

【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin（cos x ）＞0，∴0＜cos x ≤1，又sin x ＜0，

∴角x 为第四象限角，故选D ．

【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．14.设函数()sin 23f x x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

，则下列说法正确的是（）．

A.()f x 是偶函数

B.()f x 的最小正周期是π

C.()f x 在区间7,312ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上是增函数 D.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

对称【14题答案】【答案】C 【解析】

【分析】运用函数奇偶性的定义，结合诱导公式即可判断A ；由周期函数的定义，结合诱导公式即可判断B ；根据复合函数单调性以及函数单调性规律即可判断C ；根据函数()sin 23f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象即可判断D.【详解】对于A ：()sin 23f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的定义域为R ，()()()

sin 2sin 2sin 2333f x x x x f x πππ⎡

⎤∴-=-+=-+=-≠⎢⎥⎣

⎦A ∴错误；

对于B ：sin 2sin 22233f x x x πππππ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫+

=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

()

sin 23x f x π⎛

⎫=+= ⎪⎝

⎭∴()f x 的最小正周期是

2

π

，B 错误；对于C ：7,312x ππ⎡⎤

∈⎢

⎥⎣⎦

，32,32x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥

⎣⎦()sin 23g x x π⎛

⎫∴=+ ⎪⎝⎭在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为负，且是减函数

()f x ∴在区间7,312ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上是增函数，C 正确；

对于D ：()sin 23f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象恒在x 轴上方，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称，D 错误.故选：C.

15.O 为锐角△ABC 的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则（）．

A.::::k m n a b c

= B.111

::::k m n a b c

=

C.::tan :tan :tan k m n A B C

= D.::cos :cos :cos k m n A B C

=

【15题答案】【答案】D 【解析】

【分析】利用O 为锐角△ABC

的外心，根据正弦定理可得：

::k m n =化简即可得解.

【详解】设r 为外接圆半径，

根据垂径定理可得k =

，m =

，n =所以由正弦定理且ABC

为锐角三角形可得：

::k m n =cos :cos :cos cos :cos :cos r A r B r C A B C ==，

故选：D

16.已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<

，3f π⎛⎫

=

⎪⎝⎭

6x π=处取得最大值，则使得不等式0a λω-≥恒成立的实数λ的最小值为（

）．

A.

3

11

B.

313 C.

611

D.

613

【16题答案】【答案】A 【解析】

【分析】根据三角恒等变换和三角函数的性质、同角三角函数的关系式，得到

1

tan tan 6

a

ϕπω=

=

，再根据

()3f π

=

，求得cos 6πω=，两式相乘求得a 的值，结合三角函数的性质求得112,k k Z ω=+∈，得出min

11ω=，把不等式转化为max (

)a

λω

≥，即可求解.【详解】因为(

)sin cos )f x x a x x ωωωϕ=+=+，其中tan a ϕ=，

又因为6x π=

处取得最大值，所以2,62

k k Z ππ

ωϕπ⋅+=+∈，

解得2,26

k k Z ππ

ϕπω=

+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6

k a ππππϕπωωπω

⎛⎫⎛⎫

=+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，由1sin()1sin(2)

3326

(3f k πππππωϕωπω+++-

=6k Z πω==∈

，所以cos 6πω=

两式相乘，可得1sin 6a πω=，所以2222233cos 16611i )s n (a a a ωπωπ+=+=++，即42230a a --=

，解得a =

a =

若a =(

)sin 2sin(3

f x x x x π

ωωω==-，由()2sin(

26

63f πωππ=-=，可得2,632

k k Z ωπππ

π-=+∈，所以512,k k Z ω=+∈，

又由54(2sin(

)2sin(42sin 333333

f k ππωππππ

π=-=+-==

这与(3

f π

=由①得3

tan tan()663

k k Z ωπππ=+=∈，因为cos 06ωπ

>，所以6

ωπ在第一象限，又由22T π

πω=

<，即1ω>，所以2,66

k k Z ωπππ=+∈，所以112,k k Z ω=+∈，使ω最小，则1k =-，即min 11ω=，若不等式0a λω-≥

恒成立，则max (11

a

λω

≥=

.故选：A.

三、解答题

17.已知ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 6c A a C π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭．

（1）求C ∠的大小；（2）若1a b -=

，c =【17题答案】【答案】（1）

3

π

（2

）5+【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得tan C ，由此可得C ；（2）利用余弦定理可构造方程求得ab ，根据1a b -=，由()()224a b a b ab +=-+可求得a b +，由此可得三角形周长.

【小问1详解】由正弦定理得：3sin sin sin cos cos sin sin sin cos 662

C A A C C A C ππ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝⎭1sin sin 2A C

，即sin sin cos A C A C =，

()0,A π∈ ，sin 0A ∴≠

，sin C C ∴=

，即tan C =()0,C π∈ ，3

C π∴=

.【小问2详解】

由余弦定理得：()22222cos 17c a b ab C a b ab ab =+-=-+=+=，解得：6ab =；

又1a b -=，()()22412425a b a b ab ∴+=-+=+=，解得：5a b +=，∴

三角形的周长为5a b c ++=+.

19.若关于x

的方程sin 0x x a +=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.

【19题答案】

【答案】(2,(2)a ∈-

，当(2)a ∈时，73παβ+=

，当(2,a ∈-时，3παβ+=【解析】

【分析】先根据辅助角公式化简方程，再根据正弦函数性质确定a 的取值范围，最后结合图象确定相应的αβ+的值.

【详解】sin 02sin()3x x a a x π++=∴-=+

因为()0,2x π∈，所以7,333x πππ⎛⎫+

∈ ⎪⎝⎭

如下图所示：

，

所以要使关于x 的方程sin 30x x a ++=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，需

(3)(3,2)(2,3)(3,2)a a -∈-∴∈-- ，当(3,2)a ∈-时，3723323

ππππαβαβ+

++=⨯∴+=，当(2,3)a ∈--时，23323ππππαβαβ+++=⨯∴+=【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质以及根据方程根的个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.

20.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．

（1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【20题答案】

【答案】（1）5sin 5C =

；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .

（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.

【详解】

（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 9223252

b a

c ac B =+-=+-⨯=，所以5b =.

由正弦定理得sin sin sin sin 5

c b c B C C B b =⇒==.[方法二]【最优解】：几何法

过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由45c B ==°

，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．

在Rt ACE 中，AC ==，因此5sin

5C ==．

（2）[方法一]：两角和的正弦公式法

由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.

由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25cos 5

C ==.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()

sin ADC C =∠+∠

sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭

.

由于0,

2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以115cos 25DAC ∠=.所以sin 2tan cos 11

DAC DAC DAC ∠∠==∠.[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5

ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3

DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11

EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===

．

在Rt ADE △中，4cos sin 3

AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，

所以23

CD CE DE =-=．在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin 25CD DAC C AD ∠=

⋅=，由此可得2tan 11

DAC ∠=．[方法四]：构造直角三角形法

如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．

在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===．

由4cos 5ADC ∠=-，可得43cos ,sin 55

ADE ADE ∠=∠==．

在Rt ADE △中，542,,sin 333

AE AD DE CD CE DE ADE =====-=∠．

由（1）知sin 5C =，所以在Rt CDG △中，2545sin 1515

DG CD C CG =⋅===，从而11515AG AC CG =-=

．在Rt ADG 中，2tan 11

DG DAG AG ∠==．所以211

DAC ∠=．

【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b =

，然后使用正弦定理求得sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.

21.如图，

一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF ∠始终为45°，设ADE α∠=，0,2απ⎡∈⎤

⎢⎥⎣⎦

，探照灯照射在该梯形ABCD 内部区域的面积为S ．

（1）求S 关于α的函数关系式；

（2）求S 的取值范围．

【21题答案】

【答案】（1）22122(1tan ),0,21tan 41tan 1;2tan tan 421,.22S πααααππαααπα⎧-++≤≤⎪+⎪+⎪=⋅<<⎨+⎪⎪=⎪⎩

，（2）21,22⎤⎦.

【解析】

【分析】（1）对α分三种情况讨论，分别求出函数的解析式即得解；（2）对α分三种情况讨论，分别求出函数的取值范围即得解.

【小问1详解】解：当04

πα≤≤时，如图，过点D 作DG BC ⊥，垂足为G

,因为1AB AD ==，2BC =，所以4C π∠=

,tan ,1tan AE BE αα=∴=-,,tan()44FDG FG ππαα∠=-∴=- ，所以1tan()4BF πα=--，所以111(1tan )1(1tan())224S παα=⨯⨯-+⨯⨯--，所以11111tan 1tan tan()1tan 224221tan S πααααα-=---=--⨯+，

所以122(1tan )21tan S αα=-

+++，当42ππα<<时，如图所示，3,4DEG DFG παα∠=∠=-

,所以11,3tan tan()4

EG FG παα==-，所以221111tan 1()32tan 2tan tan tan()4

S απαααα+=+=+-.当=2πα时，12

S =.所以22122(1tan ),0,21tan 41tan 1;2tan tan 4

21,.22S πααααππαααπα⎧-++≤≤⎪+⎪+⎪=⋅<<⎨+⎪⎪=⎪⎩

，【小问2详解】解：当04πα≤≤时，122(1tan 21tan S αα=-+++，令1+tan =,[1,2]t t α∈，所以122(2S t t =-+，由对勾函数的性质得2()g t t t

=+

在t =

取到最小值1t =或2取到最大值3，

所以max min 122S S ==.此时S

的取值范围为1[,22.当42ππα<<时，221111tan 1()32tan 2tan tan tan()4

S απαααα+=+=+-，设tan ,(1,)m m α=∈+∞，所以2(21)210S m Sm -+-=有大于1的实根，当12S =时，1m =不符合题意；

当12S >时，212Δ=21021210S S S S S ⎧>⎪⎪+->⎨⎪-+-<⎪⎩

,不等式组无实数解；当12S <时，212Δ=21021210112S S S S S S S ⎧⎪⎪<⎪⎪+-≥⎨⎪-+-<⎪⎪>-⎪-⎩

112S -≤<.所以此时S

的取值范围为11,

2⎫-⎪⎭.当=2πα时，12

S =.综合得S

的取值范围为1,2-.

23.若函数()y f x =在定义域中存在1x ，2x ()12x x ≠，使得()()122f x f x +=成立，则称该函数具有性质p ．

（1）判断以下两个函数是否具有性质p ：

①()2

1f x x x =-+，[]0,1x ∈；②(

)11sin cos cos sin 2222g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，[]0,2x π∈．（2）若函数(

)231cos sin sin 3223226232x x x x f x ωωπωππωπ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⨯+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦，（其中0>ω，[],2x ππ∈）具有性质p ，求ω的取值范围．

【23题答案】

【答案】（1）①具有性质p ；②不具有性质p

（2）9513[,][

,)424

+∞ 【解析】

【分析】（1）找到()1212,,x x x x ≠，使得()()122f x f x +=，可说明①具有性质p ；利用换元法，结合二次函数的性质，作出大致图象，可说明②不具有性质p ;

（2）化简得到()sin f x x ω=，结合正弦函数的性质，分类讨论，求得答案.

【小问1详解】

①()2

1f x x x =-+，[]0,1x ∈,当0x =时，()01f =，当1x =时，()11f =，

故满足定义域中存在()1212,,x x x x ≠，使得()()122f x f x +=成立，

故()2

1f x x x =-+，[]0,1x ∈具有性质p ；②(

)11sin cos cos sin 2222g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

sin cos (sin cos )4x x x x =++，

令sin cos ),[0,2]4t x x x x ππ=+=+∈

，则21sin cos ,[2

t x x t -=∈，则2()sin cos (sin cos )4g x x x x x =++可化为221212124242

t t t t -+=+-，设2121()242

h t t t =+-

，[t ∈，

作出其大致图象如图示：

显然不存在()1212,,t t t t ≠，使得()()122h t h t +=成立，

故②(

)11sin cos cos sin 2222g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，[]0,2x π∈不具有性质p ．【小问2详解】

(

)231cos sin sin 3223226232x x x x f x ωωπωππωπ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⨯+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦33133331[cos sin cos sin [sin cos cos sin ]2222222242424242

x x x x x x x x ωωωωωωωω=++-⋅+-+2cos sin sin 22

x x x ωωω==，由于[],2x ππ∈，[,2]x ωωπωπ∈，

因为()f x 具有性质p ，所以22,2ωπωπωππω-=≥≥，

5

2

2

π

πωπ

≤≤时，需满足

9

2

2

π

ωπ≥，解得

95

42

ω

≤≤；

当59

22

ππ

ωπ

<≤时，需满足

13

2

2

π

ωπ≥，解得

139

42

ω

≤≤；

当9

2

π

ωπ

<时，即

9

2

ω>时，

9

24

2

π

ωπωπωππ

-=>>,此时显然成立；

综上可知，ω的取值范围为

9513 [,][,) 424+∞

.

【点睛】此题属于新定义题目，考查了三角函数以及三角恒等变换的相关知识，有一定的综合性，解答时要注意第三问的分类讨论，即讨论函数在给定的区间内能不能取到两次最大值.下载本文