九年级数学二次函数图像与性质单元测试卷

班级                           姓名                    

一、选择题 

1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．不能确定

2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是（　　）

A．    B．    C．    D．

3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有(  )

  A. a>0,b>0       B. a>0,c>0     C. b>0,c>0       D. a、b、c都小于0

            (1)                     (2)                     

4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为(   )

  A.     B.    C.        D. 

5.如图2所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为(   )

  A.6      B.4     C.3     D.1

6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的正实数根    B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根    D．没有实数根

7.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减少;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为(   )

  A.-7     B.1     C.17     D.25

8.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c(   )

  A.开口向上,对称轴是y轴        B.开口向下,对称轴是y轴

  C.开口向下,对称轴平行于y轴    D.开口向上,对称轴平行于y轴

9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是（　　）

A．2    B．4    C．6    D．2+

10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（　　）

A．1.5m，1m    B．1m，0.5m    C．2m，1m    D．2m，0.5m

二、填空题: 

11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　　　　　　．

12．（二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为　　　　　　．

13．（2014秋•化德县校级期中）抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是　　　　　　．

14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=　　　　　　．

15.在同一坐标系内,抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B的坐标是_________.

16.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.

17.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_____.

18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.

19.当n=________,m=______时,函数y=(m+n) +(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.

20.若抛物线y=ax2+bx+c经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_________.

三、解答题: 

21．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．

22．已知抛物线y=x2+x﹣．

（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：

（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；

（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？

24．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．

（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；

（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？

26.有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)

27.某公司生产的A种产品,每件成本是2元,每件售价是3元,一年的销售量是10万件.为了获得更多的利润,公司准备拿出一定资金来做广告.根据经验,每年投入的广告费为x(万元)时,产品的年销售量是原来的y倍,且y是x的二次函数,公司作了预测,知x与y之间的对应关系如下表:

    (2)如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费,请你写出年利润S(万元) 与广告费x(万元)的函数关系式;

    (3)从上面的函数关系式中,你能得出什么结论?

28.在直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上,与y 轴交于点B,抛物线上一点C的横坐标为1,且AC=3.

    (1)求此抛物线的函数关系式;

    (2)若抛物线上有一点D,使得直线DB经过第一、二、四象限,且原点O 到直线DB的距离为,求这时点D的坐标.

参:

一、选择题 

1.A  2.A 3.C  4.B  5.C  6.C  7.D  8.A  9.C  10.A   

二、填空题: 

11.4             12.（3,0）  13. 1            14. -3.3    15.(0,0)  

16.y=-4x2+16x-13  17.m>    18.y=-3x2-12x-9  19.2;2      20.-1三、解答题: 

21．解：∵y=x2﹣2x﹣1

=x2﹣2x+1﹣2

=（x﹣1）2﹣2

∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）

设y=0，则x2﹣2x﹣1=0

∴（x﹣1）2﹣2=0

（x﹣1）2=2，x﹣1=±

∴x1=1+，x2=1﹣．

二次函数与x轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．

22．解：（1）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣3，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），

对称轴是直线x=﹣1；

（2）当y=0时，x2+x﹣=0，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

AB=|x1﹣x2|=．

23．解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．

说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），

∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，

当x=1时，y=0；

当x=3时，y=0．（每空2分）（4分）

（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，

可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．

当x＜1或x＞3时，y＞0．（6分）

（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．（7分）

将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．（9分）

24．解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位

故A'（2，4），B'（5，﹣5）

∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

25．解：（1）画图如图所示：

依题意得：y=（x﹣1）2﹣2

=x2﹣2x+1﹣2

=x2﹣2x﹣1

∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1

（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2，

∴，即

∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）

由图可知，当x＜或x＞时，

二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．

26.解:设窗框的宽为x米,则窗框的高为米.

    则窗的面积S=x·=.

当x==1.2(米)时,S有最大值.

此时,窗框的高为=1.8(米).

27.解:(1)设所求函数关系式为y=ax2+bx+c,

把(0,1),(1,1.5),(2,1.8)分别代入上式,得

, 解得,

∴   

 (2)S=(3-2)×10y-x=()×10-x=-x2+5x+10.

    (3)∵S=-x2+5x+10=-.

∴当0≤x≤2.5时,S随x的增大而增大,

因此当广告费在0-2.5万元之间时, 公司的年利润随广告费的增大而增大.

28.解:(1)根据题意,画出示意图如答图所示,过点C作CE⊥x轴于点E.

∵抛物线上一点C的横坐标为1,且AC=3,

∴C(1,n-2m+2),其中n-2m+2>0,OE=1, CE=n-2m+2.

∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上,

∴A(m,0),其中m<0,OA=-m,AE=OE+OA=1-m.

    由已知得

    把(1),得n=m2-1. (3)

    把(3)代入(2),得(m2-2m+1)2+(m2-2m+1)-90=0.

    ∴(m2-2m+11)(m2-2m-8)=0.

    ∴m2-2m+11=0 (4) 或m2-2m-8=0 (5).

对方程(4),∵△=(-2)2-4×11=-40<0,

∴方程m2-2m+11=0没有实数根. 

由解方程(5),得m1=4,m2=-2.

    ∵m<0,∴m=-2.把m=-2代入(3),得n=3.

    ∴抛物线的关系式为y=x2+4x+4.

(2)∵直线DB经过第一、二、四象限,

设直线DB交x轴正半轴于点F,过点O作OM⊥DB于点M.

    ∵点O到直线DB的距离为,∴OM=.

∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B,∴B(0,4),∴OB=4,

∴BM=

∵OB⊥OF,OM⊥BF,∴△OBM∽△FOM.∴,

∴∴OF=2BO=8,F(8,0).

    ∴直线BF的关系式为y=-x+4.

    ∵点D既在抛物线上,又在直线BF上,

    ∴,解得

    ∵BD为直线,∴点D与点B不重合,∴点D的坐标为.下载本文