一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.如图，矩形ABCD中，，，点P是对角线AC上的一动点，以BP为直角边作等腰其中，则PQ的最小值是
A.
B.
C.
D.
2.不等式的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
3.以下情形，适合采用抽样调查的是
A. 疫情防控期间，省教育厅通过各学校师生每日在线打卡了解健康状况
B. 北京某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况
C. 某疫苗研发团队获批在人群中开展II期临床研究，评估疫苗的安全性
D. 疫情防控取得重大战略成果后，武汉市对1000多万常住人口进行核酸检测
4.若方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是
A. B. C. D.
5.如果，那么下列各式一定正确的是
A. B. C. D.
6.如图，，，图中有几对直线平行？
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
7.下列语句是命题的是
A. 连接P，Q两点
B. 画一条线段等于已知线段
C. 过点M作直线PQ的垂线
D. 两条直线相交，有且只有一个交点
8.如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第2020次相遇地点的坐标是
A. B. C. D.
9.甲、乙两图分别表示2018年和2019年郑州市财政经费支出情况统计图，阴影部分表示教育经费支出．从中可以看出
A. 2018年教育经费占财政经费支出比例较高
B. 2018年教育经费支出金额比较多
C. 2018年教育经费支出增幅比较大
D. 2018年财政经费支出总额比较小
10.不等式组的正整数解的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.估计的值应在
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
12.一个多边形的内角和和的2倍，则多边形是
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.的绝对值是______ ，它的倒数______ ．
14.互为邻补角的两个角的大小相差，这两个角的大小分别为______．
15.如图，阴影部分的面积是______用含字母a，b的式子表示．
17.一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这个两位数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，这个两位数是______．
18.写出一个以为解的二元一次方程组______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
19.解方程组
四、解答题（本大题共5小题，共39.0分）
20.计算：
；
．
21.在如图所示的网格纸上建立平面直角坐标系，在中，，且点B的坐标为．
画出向左平移3个单位后的，写出点的坐标．
画出绕点O逆时针旋转后的，并求点B到时，点B经过的路线长结果保留．
22.某校向了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间单位：小时进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
这次调查共调查了______名学生，补全频数分布直方图；
求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数．
23.某工程队要招聘甲、乙两种工人150人，甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少？
24.阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
如图，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；
问题解决：
如图，在中，D是BC边上的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：；
问题拓展：
如图，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：是等腰直角三角形，若PQ最小，则BP值最小即可．
点P是对角线AC上的一动点，B点是定点，
当时，BP最短．
在中，，
，解得．
在等腰中，．
故选：B．
根据题意可得当BP最短时，PQ值最小，即时，PQ最小．利用面积法计算BP长度，即可得PQ长度．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是根据图形特征转化最短线段．
2.【答案】A
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、疫情防控期间，省教育厅通过各学校师生每日在线打卡了解健康状况，人数众多，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
B、北京某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况，意义重大，人数不多，应采用全面调查，故此选项不合题意；
C、某疫苗研发团队获批在人群中开展II期临床研究，评估疫苗的安全性，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、疫情防控取得重大战略成果后，武汉市对1000多万常住人口进行核酸检测，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
故选：A．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】B
【解析】解：，得，，把代入得，，
，
，解得．
故选B．
先把m当作已知条件求出x、y的值，再由得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是解二元一次方程组的解法和一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：若，，则，
若，则，，．
所以选项A、B、C不正确，选项D正确，
故选：D．
利用反例对A进行判断；利用不等式的性质对B、C、D进行判断．
本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
图中有3对直线平行，
故选：B．
依据平行线的判定，即可得到平行线的对数．
本题主要考查了平行线的判定，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
7.【答案】D
【解析】解：A、连接P，Q两点，不是命题，故不符合题意；
B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故不符合题意；
C、过点M作直线PQ的垂线不是命题，故不符合题意；
D、两条直线相交，有且只有一个交点，是命题，
故选：D．
根据命题的概念作答．
此题考查了命题的判断．对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．
8.【答案】B
【解析】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在BC边相遇；
第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在DE边相遇；
第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇；
此时甲乙回到原出发点，
则每相遇三次，甲乙两物体回到出发点，
，
故两个物体运动后的第2020次相遇地点的是：第一次相遇地点，
即物体甲行的路程为，物体乙行的路程为；
此时相遇点F的坐标为：，
故选：B．
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点．
9.【答案】A
【解析】解：因为2018年和2019年财政经费支出的总数额未知，教育经费支出增幅也看不出来，所有B、C、D均错误，只有教育经费占财政经费支出比率可以比较，2018年教育经费占财政经费支出比率较高．
故选：A．
因为2018年和2019年财政经费支出的总数额未知，教育经费支出增幅也看不出来，只有教育经费占财政经费支出比率可以比较，2018年教育经费占财政经费支出比率较高．
本题考查的是扇形图的定义．利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图．
10.【答案】C
【解析】解：，
由得；
由得；
由以上可得，
为正整数，
不等式组的正整数解是：1，2，3，个数是3．
故选：C．
此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出x的可能取值．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，求出x的正整数解即可．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11.【答案】C
【解析】解：，
，
的值应在2和3之间．
故选：C．
直接得出的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：设所求正n边形边为n题意得
这个多边形是六形．
故选：
此题以利用多形的外角和内角和理求解．
本题查形的内角和角和、方程思想关键记内角和的公式外角和的特征：何多边形的外角和都等360，多边形内角和为．
13.【答案】；
【解析】解：，
的绝对值，即；
根据倒数的概念，化简得，
．
故答案为：和．
根据绝对值的性质及倒数的概念，解答即可．
本题主要考查了绝对值的性质及倒数的概念：乘积为1的两个实数互为倒数．
14.【答案】、
【解析】解：设这两个角分别为、，根据题意可得：，
解得：，，
故答案为：、．
根据邻补角互补解答即可．
此题考查邻补角，关键是根据邻补角互补解答．
15.【答案】
【解析】解：阴影部分的面积是：．
故答案为．
阴影部分的面积长方形的面积直径为a的圆的面积．
本题考查了列代数式，观察得出阴影部分的面积长方形的面积直径为a的圆的面积是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
首先根据绝对值的性质可得，然后分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17.【答案】49
【解析】解：设十位数字为x，个位数字为y，由题意得
，
解得：．
答：这个两位数是49．
故答案为：49．
设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数比十位数大5，如果把这个两位数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，”列出方程组解答即可．
此题考查二元一次方程组的实际运用，利用数字之间的关系和计数方法找出等量关系是解决问题的关键．
18.【答案】，答案不唯一
【解析】解：应先围绕列一组算式，
如，，
然后用x，y代换，得等．
答案不唯一，符合题意即可．
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可．应先围绕列一组算式，如，，然后用x，y代换，得等．
本题是开放题，注意方程组的解的定义．
19.【答案】解：得：，
解得：，
把代入可得：，
则方程组的解为；
由得：，
把代入得：，
去分母得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
运用同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方运算法则计算得出答案．
本题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂以及同底数幂的乘法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
21.【答案】解：如图所示：，即为所求，的坐标；
如图所示：，即为所求，
点B经过的路线长为：
【解析】根据平移规律得出对应点坐标，进而得出答案；
利用旋转的性质得出对应点坐标，进而利用弧长公式求出点B经过的路线长．
此题主要考查了旋转变换以及平移变换和弧长公式应用等知识，得出对应点坐标是解题关键．
22.【答案】100
【解析】解：设一共调查了x名学生．
课外阅读时间在的人数有10人，占，
，
，
一共调查了100名学生．
故答案为100．
课外阅读时间在的人数有人，可得补全后频数分布直方图如图所示，
课外阅读时间在的人数有40人，
，
．
课外阅读时间在的人数有，
组对应的圆心角度数．
设一共调查了x名学生．因为课外阅读时间在的人数有10人，占，可得，解方程即可．
求出课外阅读时间在的人数有人，即可画出图形．
由课外阅读时间在的人数有40人，可得百分比，求出m的值，根据圆心角组百分比，即可求出E组对应的圆心角度数．
本题考查频率分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：设招聘甲种工种的工人为x人，则招聘乙种工种的工人为人，依题意得：
解得：即．
再设每月所付的工资为y元，则
．
，随x的增大而减小
又，当时，最小元
人
答：甲、乙两种工种分别招聘50，100人时，可使得每月所付的工资最少为130000元．
【解析】设招甲种工人x人，则乙种工人人，依题意可列出不等式，求出其解集即可．
此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，再根据“招甲种工人越多，乙种工人越少，所付工资最少”即可求解．
24.【答案】
证明：延长FD至点M，使，连接BM、EM，如图所示．
同得：≌，
，
，，
，在中，由三角形的三边关系得：，
；
解：；理由如下：
延长AB至点M，使，连接CM，如图所示，
，，
，
在和中，
≌，
，，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
【解析】
【分析】
延长AD至E，使，由SAS证明≌，得出，在中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
延长FD至点M，使，连接BM、EM，同得≌，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
延长AB至点M，使，连接CM，证出，由SAS证明≌，得出，，证出，再由SAS证明≌，得出，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
【解答】
解：解：延长AD至E，使，连接BE，如图所示，
是BC边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为：；
见答案
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