1 Z变换的定义

(1) 序列的ZT：    

(2) 复变函数的IZT：,是复变量。

（3） 称与为一对Z变换对.简记为或    

(4) 序列的ZT是的幂级数。代表了时延，是单位时延.

（5) 单边ZT：

(6） 双边ZT：

2 ZT收敛域ROC

(1)定义:使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。

(2)收敛的充要条件是它

(3)判别其收敛性的方法：（对）

(i)比值法：

(ii)根值法:    

(4) 有限长序列的ROC

(i)序列在或(其中)时。

(ii)收敛域至少是。

(iii)序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：

(a)当时，收敛域为(除外)

(b)当时，收敛域为(除外)

(c)当时，收敛域为(除外）

(4)右边序列的ROC

(i)序列在时。

(ii)如果,则序列为因果序列。

(iii)ROC的情况：

(a)当时，ROC为；

(b)当时,ROC为.

(5)左边序列的ROC

(i)序列在时。

(ii)如果,则序列为反因果序列。

(iii)ROC的情况：

(a)当时,ROC为;

(b)当时,ROC为。

(6)双边序列的ROC

(i)序列在整个区间都有定义。

(ii)双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是

(a)

(b)

(c)

(d)如果存在且,则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。

(7)注意：

(i)求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大;

(ii)实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。

(8)关于极点与ROC关系的一些结论：

(i)一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。

(ii)序列ZT的ROC是以极点为边界的。

(iii)右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域（不包括圆周)。

(iv)左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域（不包括圆周)。

(v)双边序列ZT的ROC,是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周）。

3 常用序列及其ZT

(1)单位冲激序列 (n）

(i)定义：

(ii)ZT：

(iii)ROC：

(iv)注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。

(2)单位阶跃序列u（n）

(i)定义：

(ii) ZT:

(iii)序列的单边ZT用双边ZT表示为：

(iv)序列是因果序列的充要条件是:

(v) 序列是反因果序列的充要条件是:

(3)矩形脉冲序列GN(n）

(i)定义：

(ii) ZT： ()

(iii)注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。

(4)单位斜变序列nu(n）

(i)

(ii)

(iii)

(5)单边指数序列anu（n）

(i)

(ii)

(iii)

(6)单边正、余弦序列：

(i)，(）

(ii)，（)

(iii)

(iv)

(v)，

(vi)，

(vii), 

（7） 应尽可能利用常用ZT对和ZT基本性质求解一般序列的ZT

4 ZT的性质

（1) 线性性：    ()

(2） 时域平移性：

(i） 双边ZT：

            （a） 左移:     （）

(b） 右移： (）

(c） 序列时移最多只会使ZT在处的零、极点情况发生变化。

        （ii) 单边ZT:

(a)左移：

(b)右移： （）

(c)    对因果序列：

(3) 时域扩展性：

(i)定义:,a 是扩展因子。

(ii)a>1 时，相当于在原序列每两点之间插入（a-1)个零。

(iii)a〈—1时,相当于原序列先反褶,然后每两点之间插入(-a-1）个零。

(iv)

(v)ROC: 或 

(vi) 如序列是偶对称的，则

(vii)如序列是奇对称的，则

(viii)如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点(或极点)，那么它必含有另外一个与互为倒数的零点(或极点)。

(4） 时域共轭性：

(i）         (）

(ii） 如果序列是实序列，则

(iii） 如果实序列的ZT含有一个零点（或极点），那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点)。

(5）  z域尺度变换(或序列指数加权)性:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

用复指数序列去调制一个序列时，可以调制其相位特性。

    (6）  z域微分(或序列线性加权）性:

        （i）     （）

        （ii) ROC唯一可能的变化是加上或去掉0或。

        (iii）     ()

(7)初值定理：是因果序列,，则。

(8)终值定理：是因果序列，，则    

(i)

(ii)只有在存在时才能用， 此时的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于,且是一阶极点）。

(9) 时域卷积定理

(i) 定义：

(ii) 定理：序列卷积的ZT等于其ZT的乘积,即

(iii) 卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。

(iv)

(v)    

(vi)    

(vii）

(10） z域卷积定理：

设和,则

(i)

为收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线

(ii)

为收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线

(iii)的ROC：

    （11） 帕斯瓦尔定理：

5 逆Z变换的求解

(1)部分分式展开法：基本思路:把展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加即可得到。通常做法展开的对象是，而不是.

(2)幂级数展开法：把按展成幂级数，那么其系数组成的序列即为所求.这种方法有时给不出一个闭式表达式.

(3)留数法：

(i)设是的阶极点，则在该极点处的留数为：，特别地当=1时，

(ii)在某个s阶极点处的留数的求法可以简单地描述为：将中含有该极点的所有因式全部去掉，然后对z进行s-1次微分，再除以（s—1)!，最后求出表达式在该极点处的函数值，即为所求.

(iii)因果序列:

，为围线包围的的极点。

(iv)反因果序列：

，为围线外部的的极点.

(v)双边序列：

在收敛域内取一个逆时针方向的围线C，设为在围线内部的极点，为在围线外部的极点

6 离散时间系统

(1)离散时间系统及其分类：

(i)定义：离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入通常称为激励，输出称为响应.输入输出的对应关系可简记为

(ii)系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应)和零输入响应（没有激励时系统的响应)。

(iii)线性离散时间系统:对任意一组常数（），满足条件

            的系统.否则就是非线性系统.

(iv)时不变离散时间系统：在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关.即：。否则就是时变系统.

    （2) LTI离散时间系统的表示方法：

(i)一般用差分方程来描述.

(ii)有三种基本的内部数算关系:单位延时、乘系数和相加。

(iii)差分方程的一般形式是:

    (3) 离散时间系统响应的ZT法求解的基本步骤：

(i)求出激励的ZT；

(ii)对表示离散系统的差分方程两边施加ZT;

(iii)把激励的ZT代入，求出响应的ZT;

(iv)求IZT，即可得到系统的响应。

(4)离散时间系统的传递函数

(i)定义1：定义为离散系统的传递函数或系统函数.它表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值.

(ii)定义2：定义离散系统的单位冲激响应为系统对单位冲激序列的零状态响应,并记作为，即    

(iii)结论1：系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积。    

(iv)结论2：传递函数与单位冲激响应是一对ZT对.单位冲激响应表示了系统的时域特性，而传递函数表示了系统的z域特性。

(v)定义3：离散系统的单位阶跃响应为为系统对单位阶跃序列u(n）的零状态响应.

(vi)结论3：离散系统的单位阶跃响应是其单位冲激响应的部分和。

(vii)结论4:两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积。

(viii)结论5：两个系统并联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和.

(ix)逆系统:如果一个系统的传递函数是H（z）,那么传递函数为1/H(z）的系统称为原系统的逆系统.逆系统对信号的运算是原系统对信号的运算的逆。

(5)传递函数零极点分布对特性的影响

(i)定义1：只要输入有界输出必定有界”的系统称为稳定系统。

(ii)定义2：输出的变化不领先于输入的变化"的系统称为因果系统。

(iii)关于离散系统的因果性和稳定性，有如下结论:

(a)系统稳定的充要条件是单位冲激响应绝对可和。

(b)系统是因果的充要条件是其单位冲激响应是因果序列。 

(c)离散LTI系统稳定的充要条件是其传递函数的ROC包括单位圆。

(d)离散LTI系统是因果系统的充要条件是其传递函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点.

(e)具有有理传递函数的离散LTI系统是因果系统的充要条件是其ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域；传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次。

(f)具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定系统的充要条件是其传递函数的全部极点都在单位圆内。

(6)离散系统的频率响应

(i) 结论:

(a)当把频率为的正弦序列施加到系统函数为的系统上时，系统的稳态响应是同频率的正弦序列，其幅度被扩大到倍,相位被延迟了.结论对余弦序列同样适用。

(b)如果离散系统的系统函数为，则反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响，称为离散系统的频率响应，简称频响.是正弦序列包络频率的连续函数。通常是复值函数，记，其中称为离散系统的幅频响应,而称为相频响应.

(c)系统的幅频响应值越大的频率成分，越容易通过系统;幅频响应值越小的频率成分越容易被系统阻碍。

(d)系统的频率响应是其单位冲激响应的傅里叶变换。

(ii) 离散系统按频率响应的分类：

(a)单位冲激响应为实序列的系统，其频响具有共轭对称性,即

(b)系统的频响是周期的,周期为；当系统的单位冲激响应为实序列时,系统的频响关于点或点是共轭对称的。

(c)具有实单位冲激序列的系统，其频响在区间的取值，反映了系统对激励信号中从直流（0频率）到截止频率（)间各频率分量的响应情况。

(d)离散系统按其幅频特性在奈奎斯特区间内的走势可分为低通、高通、带通、带阻和全通系统等。如图1所示。图中右侧的图是一些具有理想幅频特性的系统。

(e)注意：系统按通阻特性的分类，仅考虑系统的幅频响应，而不考虑系统的相频响应.

图1系统按幅频响应的分类(虚线轮廓表示共轭对称部分）

    （iii） 频率响应的几何确定法

(a)传递函数:

(b)频响：

(c)如图所示：零点差向量为；极点差向量为.分别表示在z平面的单位圆上转动的点与某个零点和极点之间的差向量,其中和表示某个零点差向量的模和幅角，而和则表示某个极点差向量的模和幅角.

图2 系统频率响应的几何确定法

(d)如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，转动一周就可以根据  得到系统的频响。

(e)在z平面原点处加入或去掉零、极点将不会影响幅频特性，只影响相频特性.下载本文