一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）（共10题；共40分）

1.实数2，0，-3，  中，最小的数是（   ）            

A. 2                                 B. 0                                 C. -3                                 D. 

【答案】 C   

【考点】实数大小的比较    

【解析】【解答】解：∵  ， 

∴所给的实数中，最小的数是-3；

故答案为：C.

 【分析】先把实数2，0，-3， 按从小到大排序，则最左边的数即是最小的数.

2.第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5 270 000人，这个数字5270 000用科学记数法可表示为（   ）            

A.              B.              C.              D. 

【答案】 B   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：将5270 000用科学记数法表示为：5.27×106. 

故答案为：B.

 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10， n等于原数的整数位数-1.

3.如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（   ） 

A.           B.           C.           D. 

【答案】 D   

【考点】简单组合体的三视图    

【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形， 

故答案为：D.

 【分析】主视图是视线从前向后看在正面所得的视图，从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，即可解答.

4.在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（   ）            

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

【答案】 A   

【考点】概率公式，简单事件概率的计算    

【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球，是白球的结果数为1个，总结果数为6个，因此袋中任意摸出一个球，是白球的概率为  ； 

故答案为：A.

 【分析】从袋中任意摸出一个球，有6种不同的结果数，其中是白球的有1种，然后根据概率公式计算即可.

5.如图，正方形ABCD内接于  ，点P在  上，则  的度数为（   ） 

A.                            B.                            C.                            D. 

【答案】 B   

【考点】正方形的性质，圆周角定理，圆内接正多边形    

【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图， 

∵正方形ABCD内接于  ，

∴ 

∴ 

故答案为：B.

 【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.

6.关于二次函数  的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ）            

A. 有最大值4                B. 有最小值4                C. 有最大值6                D. 有最小值6

【答案】 D   

【考点】二次函数的最值    

【解析】【解答】解：∵在二次函数  中，a=2>0，顶点坐标为（4，6）， 

∴函数有最小值为6.

故答案为：D.

 【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.

7.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高  ，树影  ，树AB与路灯O的水平距离  ，则树的高度AB长是（   ） 

A.                             B.                             C.                             D. 

【答案】 A   

【考点】相似三角形的应用    

【解析】【解答】解：由题可知，  ， 

∴  ，

∴  ，

∴  ，

故答案为：A.

 【分析】由题可知，  ，根据相似三角形的性质列出比例式，再代入数据计算即可.

8.如图，菱形ABCD中，  ，点P从点B出发，沿折线  方向移动，移动到点D停止.在  形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（   ） 

A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

【答案】 C   

【考点】等边三角形的判定，含30°角的直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质，四边形-动点问题    

【解析】【解答】解：连接AC，BD，如图所示. 

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B.

∵∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°.

∴△ABC和△ADC都是等边三角形.

点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：

（1）当点P移动到BC边的中点时，记作  .

∵△ABC是等边三角形，  是 BC的中点，

∴  .

∴  .

∴△ABP1是直角三角形.

（2）当点P与点C重合时，记作  .

此时，△ABP2是等边三角形；

（3）当点P移动到CD边的中点时，记为  .

∵△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴  .

∴△ABP3是直角三角形.

（4）当点P与点D重合时，记作  .

∵  ，

∴△ABP4是等腰三角形.

综上，△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：

直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形.

故答案为：C

 【分析】先根据菱形的性质，结合∠B=60°，求得△ABC和△ADC都是等边三角形，根据题意共经过4个特殊位置，（1）当点P移动到BC边的中点时，（2）当点P与点C重合时，（3）当点P移动到CD边的中点时，（4）当点P与点D重合时，分别讨论三角形的特殊形状即可.

9.如图，  中，  ，  ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使  ，连结CE，则  的值为（   ） 

A.                                B.                                C.                                D. 2

【答案】 D   

【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形全等的判定（SAS），直角三角形斜边上的中线    

【解析】【解答】∵在  中，点D是边BC的中点， 

∴  ，

∴  ，

∴  .

∴  ，

∴在  和  中，  ，

∴  ，

∴  ，

∵  为等腰三角形，

∴  ，  ，

∴  ，

∴  ，即  .

∵  ，

∴  ，

∴  .

故答案为：D.

 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合平行线的性质推出∠ADE=∠CDE，再利用边角边定理证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，然后证明△ABD∽△ADE，列出比例式 , 结合cosB=, 则知 ，从而得出结果.

10.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（   ） 

A. 用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B. 用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形

C. 用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D. 用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

【答案】 B   

【考点】菱形的判定与性质，探索图形规律    

【解析】【解答】解：用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形， 

用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，

用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形，

用5个相同的菱形放置，最多能得到22个菱形，

用6个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，

故答案为：B.

 【分析】分别根据题意画出图形，求出用2个、3个、4个、5个和6个相同的菱形放置时，最多得到的菱形的数量，即可解答.

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）（共6题；共30分）

11.分解因式：x2+2x+1=________．

【答案】 （x+1）2   

【考点】因式分解﹣运用公式法    

【解析】【解答】解：x2+2x+1=（x+1）2 ． 

故答案为：（x+1）2 ． 

【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．

12.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有________两.（注：明代时1斤=16两）    

【答案】 46   

【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题    

【解析】【解答】解：设有  人一起分银子，根据题意建立等式得， 

 ，

解得：  ，

 银子共有：  （两）

故答案是：46.

 【分析】设有  人一起分银子，根据两种分法银子相等构建方程求解即可.

13.图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若  ，则BC长为________cm（结果保留根号）. 

【答案】    

【考点】钟面角、方位角，矩形的性质，解直角三角形的应用    

【解析】【解答】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O， 

∴∠MOD=2∠NOD，

∵∠MOD+∠NOD=90°，

∴∠NOD=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，

∴∠ADB=∠NOD=30°，

∴ 

故答案为：  .

 【分析】根据余角的性质，结合钟面角的大小求出∠NOD，由矩形的性质推出∠∠ADB=∠NOD，然后在Rt△ADB中，利用三角函数的定义求出AD，即可得出BC的长.

14.如图，在  中，  ，  ，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则  的度数是________. 

【答案】 15°或75°   

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质    

【解析】【解答】解：①当点P在BC的延长线上时，如图， 

∵  ，  ，

∴ 

∴ 

∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，

∴AC=PC

∴ 

∵ 

∴ 

∴ 

②当点P在CB的延长线上时，如图，

由①得  ， 

∵AC=PC

∴ 

∴ 

故答案为：15°或75°

 【分析】分两种情况讨论，即①当点P在BC的延长线上时，②当点P在CB的延长线上时，根据三角形的内角和定理求出∠CAB，然后根据三角形外角的性质，结合等腰三角形的性质求出∠CAP，最后根据角的和差关系即可解答.

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标  . 反比例函数  （常数  ，  ）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是________. 

【答案】 5或22.5   

【考点】正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定（AAS）    

【解析】【解答】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点， 

并过C点向BF作垂线，垂足为点G；

∵正方形ABCD，

∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，

∴∠DAE+∠BAF=90°，

又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，

∴  ≌  ，

同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；

∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；

设AE=m，

∵点D的坐标 (  ，2) ，

∴OE=  ，DE=AF=BG=2，

∴B（  ，  ），C（  ，  ），

∵  ，

当  时，  ，不符题意，舍去；

当  时，由  解得  ，符合题意；故该情况成立，此时  ；

当  时，由  解得  ，符合题意，故该情况成立，此时  ;

故答案为：5或22.5.

 【分析】分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G，利用角角边定理证明△ADE≌△BAF≌△CBG，得出DE=AF=BG，AE=BF=CG，设AE=m，把B、C两点坐标用m表示出来，然后根据反比例函数的坐标特征分三种情况分别构建方程求解并验证即可.

16.已知  与  在同一平面内，点C，D不重合，  ，  ，  ，则CD长为________.    

【答案】  或  或    

【考点】三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形    

【解析】【解答】解：如图1，满足条件的△ABC 与△ABD的形状为如下两种情况，点C， 

D不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；

如图2，

 ，此时，  ，由题可知：

 ，

∴  是等边三角形，

∴  ；

过A点作AE⊥BC，垂足为E点，

在  中，∵  ，

∴  ，

 ;

在  中，  ;

∴  ；

（同理可得到图4和图5中的  ，  ，  .）

∴  .

如图3，

  ，此时，  ，由题可知：

 ，

∴  是等边三角形，

∴  ；

过A点作AM⊥BC，垂足为M，

在  中，∵  ，

∴  ，

 ;

在  中，  ;

（同理可得到图4和图5中的  ，  ，  .）

∴CD=  ；

如图4，

 由上可知：  ；

如图5，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，

∵  ，

∴  ，

∴在  中，  ，

 ；

∵  ，

∴在  中，  ;

综上可得：CD的长为  ，  ，  .

故答案为：  或  或  .

 【分析】首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，分别作图，其中图2、 图3、图4均可通过过A点向BC作垂线，分别构造直角三角形，利用勾股定理，结合特殊三角形的性质求出相关线段的长，然后与CD联系即可求出CD的长；而图5过D作DN⊥BN，构造直角三角形，解直角三角形，结合运用勾股定理即可求解.

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）（共8题；共80分）

17.      

（1）计算：  .    

（2）解不等式：  .    

【答案】 （1）解：原式  

（2）解：  ， 

 ，

 ，

【考点】实数的运算，解一元一次不等式，特殊角的三角函数值    

【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的化简和0次幂的运算，再进行合并同类二次根式即可得出结果；

 （2）根据不等式的性质，移项、合并同类项，最后系数化为1即可求出不等式的解集.

18.绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺.为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下不完整的统计图. 

根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数.    

（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人.    

【答案】 （1）解：  ， 

 本次接受问卷调查的学生有200人.

 ，

 “了解”的扇形圆心角的度数是126°.

（2）解：“了解”：  

“非常了解”与“了解”的百分比和为  ，

 ，

 估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人.

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图    

【解析】【分析】（1）先根据了解很少的人数和比例求出被调查的人数，再用360°乘以“了解”的百分比即可求出结果；

 （2）先求出“了解”的百分比，然后求出 “非常了解”与“了解”的百分比之和，最后利用样本估计总体的方法解答即可.

19.I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）.无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图.两架无人机都上升了15min. 

（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式.    

（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米.    

【答案】 （1）解：  . 

设  ，

将  ，  代入得：

 ，

∴  ；

（2）解：令  ， 

解得  ，满足题意；

 无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米

【考点】一次函数的实际应用    

【解析】【分析】（1）根据I号无人机的初始海拔和经过5min上升的高度可求b值，利用待定系数法求函数表达式即可；

 （2）由题意得I号无人机的函数表达式为y=10x+10，由（1） II 号无人机函数表达式为y=6x+30，结合高度差为28米构建方程求解即可.

20.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， 

（1）转动连杆BC，手臂CD，使  ，  ，如图2，求手臂端点D离操作台  的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：  ，  ）.    

（2）物品在操作台  上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.    

【答案】 （1）解：过点C作  于点P， 

过点B作  于点Q，如图1，

 ，

 ，

 在  中，  ，  .

 ，

 .

∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm.

（2）解：能. 

理由：当点B，C，D共线时，如图2，

 ，  ，

在  中，  ，

 .

手臂端点D能碰到点M

【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用    

【解析】【分析】（1） 过点C作  于点P，先求出∠CBQ的度数， 在  中， 利用三角函数定义求出CQ，然后根据线段间的关系求出DE即可；

 （2） 当点B，C，D共线时， 手臂达到最长， 在  中， 利用勾股定理求出AD，然后比较即可判断.

21.如图，在  中，  ，点D，E分別在边AB，AC上，  ，连结CD，BE. 

（1）若  ，求  ，  的度数.    

（2）写出  与  之间的关系，并说明理由.    

【答案】 （1）解：  ，  ， 

 .

在  中，  ，

 ，

 ，

 ，

 .

 .

（2）解：  ，  的关系：  . 

理由如下：设  ，  .

在  中，  ，

 ，

 .

 ，

 在  中，  ，

 .

 .

 .

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质    

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质求得∠BDC=∠BCD= 50° ，然后根据三角形的内角定理求出∠ACB=60°，结合BC=CE得出△BCE是等边三角形，则知∠EBC = 60°；

 (2) 设∠BEC=α，∠BDC= β，根据统一量的方法把α和β用含∠ABE的代数式表示，由三角形的外角和定理得α=40° +∠ABE，根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠BEC=α，求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A十2∠ABE= 40°+2∠ABE，再根据等腰三角形的性质求得β=70°-∠ABE，则可得出结论.

22.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径  ，且点A，B关于y轴对称，杯脚高  ，杯高  ，杯底MN在x轴上. 

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.    

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体  所在抛物线形状不变，杯口直径  ，杯脚高CO不变，杯深  与杯高  之比为0.6，求  的长.    

【答案】 （1）解：设  ， 

∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，

∴ 

将  ，  代入，得  ，

（2）解：  ， 

 ，

 ，  ，

当  时，  ，

 或  ，

 ，

即杯口直径  的长为 

【考点】二次函数的其他应用    

【解析】【分析】（1）根据杯高和杯口直径的长得到B点坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；

 （2） 根据“杯深  与杯高  之比为0.6”列式求出CD'，则可得出OD'的长度，把y=10代入函数式求解，根据对称的性质即可求出A'B'的长.

23.问题：如图，在  中，  ，  ，  ，  的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长. 

答案：  .

（1）探究：把“问题”中的条件“  ”去掉，其余条件不变.

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件“  ，  ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求  的值.    

【答案】 （1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，

 ，

 .

 平分  ，

 .

 .

 .

同理可得：  .

 点E与点F重合，

 .

②如图2，点E与点C重合，

同理可证  ，

∴▱ABCD 是菱形，

 ，

 点F与点D重合，

（2）解：情况1，如图3， 

可得  ，

 .

情况2，如图4，

同理可得，  ，

又  ，

 .

情况3，如图5，

由上，同理可以得到  ，

又  ，

 .

综上：  的值可以是  ，  ，2

【考点】平行线的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，角平分线的定义    

【解析】【分析】（1） ① 根据角平分线的定义，结合平行线的性质得出∠DAE=∠DEA，则知DE=AD=5，同理求出BC=CF=5，从而求出DC的长，即可解答；

 ② 根据①的方法求得 的四条边相等，得出 ▱ABCD 是菱形， 则知点F与点D重合， 即可解答；

 （2）由于E、F点的位置不可确定，则应分情况讨论，根据每种情况，利用AD=DE，CF=CB，结合 点C，D，E，F相邻两点间的距离相等分别构建等式求解即可.

24.如图，矩形ABCD中，  ，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，  .连结EF，作点D关于直线EF的对称点P. 

（1）若  ，求DF的长.    

（2）若  ，求DF的长.    

（3）直线PE交BD于点Q，若  是锐角三角形，求DF长的取值范围.    

【答案】 （1）解：如图1，矩形ABCD中， 

 ，

 ，  ，

 ，

 点E是AD中点，

 ，

 ，

∴△EFD为直角三角形，

∵  ， 

∴ 

（2）解：第一种情况，如图2， 

 ，

由对称性可得，EF平分  ，

 ，

∴  是等腰三角形，过点F作FM⊥ED

DM=EM=  ，

∵在Rt△DMF中，  ， 

∴  .

第二种情况，如图3，

延长PE交BD于M

∵ 

∴∠EMD=90°

∵ 

∴ 

∴  ，

∵点D关于直线EF的对称点P

∴FE垂直平分PD交PD于H

∴∠HED=60°，∠HDE=30°

∴∠HDF=60°

∴∠EFD=30°

∴  是等腰三角形，

∴FE垂直平分DF

∵在Rt△DME中，  ， 

∴ 

∵  .

∴  .

综上：DF的长为2或6.

（3）解：∵  是锐角三角形 

∴当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大

由（2）可得当  时，

 （如图2）或6（如图3）.

当  时，

第①种情况，如图4，

EF平分  ，  ，

过点F作  于点M，

设  ，则  ，  ，

 ，

 ，  ，

 .

第②种情况，如图5，

EF平分  ，  ，

过点F作  于点M，

设  ，则  ，  ，

 ，

 ，  ，

 ，DF最大值为8，

 .

综上：  或 

【考点】含30°角的直角三角形，矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义    

【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，结合中点的性质，根据含30°直角三角形的性质求解即可；

 (2)由根据对称的性质可得△DEF是等腰三角形，分两种情况讨论，即P在矩形内或矩形外，分别画出图形，根据含30°直角三角形的性质求解即可；

 (3) 当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大 ，过点F作  于点M， 连接PD，分两种情况画出图形，根据中点的定义以及特殊角的直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，然后利用勾股定理求出DF的值，结合(2) 中求得的DF的值即可得出a的范围.下载本文