2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学试题及答案
1、填空题
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________
简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a2+4=3，a=1或a2=－1(舍) a=1
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________
简析：由题意z====2i|z|=2
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__
简析：
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于20mm
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______▲_________
简析：由偶函数f(－x)=f(x) x(ex+ae-x)=－x(e-x+aex) x(ex+e-x)(1+a)=0 a=－1
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
简析：法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明；
法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,±)MF=4
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______
简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n的一个算法，由S=2n－133且n为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=63
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
简析：对原函数求导得y=2x (x>0)，据题意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=21
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，即<1，解得c(－13,13)
10、定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____
简析：由题意知线段P1P2长即为垂线PP1与y=sinx图像交点的纵坐标。
由6cosx=5tanx6cos2x=5sinx6sin2x+5sinx－6=0sinx= P1P2=
11、已知函数f(x)=,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是____▲____
简析：设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1 f(1－x2)= f(2x)；
当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)
当－1x<0时，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x) (x－1)；
当0x1时，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，
由f(1－x2)>f(2x) (1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<－1
综上，x(－1,－1)
12、设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____
简析：由题意知x,y均为非0的正实数。
由3xy28 ，又49 ·3，即3 4×·9×3 27
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， +=6cosC，则+=__▲
简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c2=2a2+2b2 ①，边化角得=6cosC ②
因为+= tanC(+)=tanC·= ③
至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。
据②式，③式== ，又据①式，③式===4
14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______
简析：如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；
设AE=x (0 S== (0 所以x=时S(x)有最小值S()= 2、解答题 15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足(－t·)·=0=0，求t的值 简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量与和、差的模； 两对角线长为2,4 ⑵因为=(3,5), =(－2,－1)，所以由(－t)·=0知t=－ 16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900 (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离 简析：⑴证：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC； 又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC 又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC ⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延长线于E，则E在平面PDC上； 在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，结合⑴推知EF⊥平面PBC， 所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。 在△PEC中，利用面积的等积性有 EC·PD＝PC·EF 所以EF==，所以点A到平面PBC之距为 此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A－PBC与三棱锥P－ABC实为同一个锥，而三棱锥P－ABC的底面积=AB·BC=1，高=PD=1；三棱锥A－PBC的底面积=PC·BC=， 所以可求得三棱锥A－PBC的高为，亦即点A到平面PBC的距离为 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α－β最大 解析：⑴⑵ 18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0. ⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹 ⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标 ⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关) 19．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{}是公差为d的等差数列. ⑴求数列的通项公式（用表示） ⑵设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。 求证：c的最大值为 20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+)上的函数，其导函数为f (x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,+)都有h(x)>0，使得f (x)]=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a). ⑴设函数f(x)=h(x)+ (x>1)，其中b为实数 ①求证：函数f(x)具有性质P(b) ②求函数f(x)的单调区间 ⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2(1,+)，x1 【理科附加题】 21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分） ⑴几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC ⑵矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 ⑶参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 ⑷不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证：a3+b3 (a2+b2) 22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互 ⑴记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 ⑵求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数 ⑴求证cosA是有理数 ⑵对任意正整数n，求证cosnA也是有理数下载本文
