理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

参考公式：

如果事件、互斥，那么

如果事件、相互，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次重复试验中恰好发生次的概率：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则＝

A．    B．    C．    D． 

2．某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5％，则数学成绩在90至120分之间的考生人数所占百分比约为

A．10％    B．15％

C．30％    D．45％

3．若函数的最小正周期为，则它的图像的一人对称中心为

A．    B． 

C．    D． 

4．已知程序框图如图1所示，将输出的的值依次记为，其中且，那么数列的通项公式为

A．    B．    C．    D． 

5．一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积等于

A．4    B．6    

C．8    D．12

6．下列函数中，在内有零点且单调递增的是

A．    B．    

C．    D． 

7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为

8．已知，且，则等于

A．    B．    C．    D．7

9．设为坐标原点，点，若点满足，则取得最大值时，点的个数是

A．1    B．2    C．3    D．无数

10．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则＝

A．    B．32    C．16    D．8

11．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A．    B．    C．    D． 

12．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图像恰好经过中两个点的函数的个数是

A．4    B．6    C．8    D．10

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．在△中，，，，则＝              ．

14．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则＝              ．

15．二项式的展开式中，前三项的系数依次为等差数列，则展开式的第的系数为              ．（用数字表示）

16．设、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示△、△、△的面积，则的最大值是              ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列的前项和．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和的表达式．

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，＝90°，为棱上一点，且平面平面．

（1）求证：点为棱的中点；

（2）若二面角的平面角为60°，求．

19．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到、、三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

（1）求甲、乙两人都被分到社区的概率；

（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

（3）设随机变量为四名同学中到社区的人数，求的分布列和期望的值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，又点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线的方向向量为，若直线与椭圆交于、两点，求△的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数，．

（1）若函数在上是减函数，求实数的值取值范围；

（2）令，是否存在实数，当（是自然对数的底数）时，函数的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图4，是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结、、．

（1）求证：；

（2）若，试求的大小．

23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

已知曲线（为参数），（为参数）．

（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线（为参数）距离的最小值．

24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】

设函数．

（1）若，解不等式；

（2）如果，，求的取值范围．

数学试题参

一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力

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