华杯赛计数专题：排列组合
基础知识：
1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=1
排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.排列与组合的关系：。
5.组合数的计算：
6.排列数与组合数的一些性质：
例题：
例1.4名男生和3名女生站成一排:
（1）一共有多少种不同的站法?
（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?
（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?
（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?
（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?
【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略
【解答】
例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？
【答案】4186种
【解答】至少有3件是次品，分两种情况
第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，
，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。其中，
所以，3件是次品的抽法共种。
第二种情况：4件是次品的抽法共：种。
任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，
所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。
总结：有序是排列，无序是组合。
例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？
【答案】540种
【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为
=3×2×1=6。用乘法原理表示为3！=6。
六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。
所以，不同的分配方法共有种。
例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？
【答案】819
【解答】
方法一：
（1）出现一个数字的情况是9种；
（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，
（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=54种。
（ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=36种。
所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810.
综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。
方法二：
（1）出现一个数字的情况是9种；
（2）出现两个数字的情况：
（i）可以考虑从9个数中选两个数，两个都不是0，有种情况，为什么是排列数呢？因为，有一个数字出现3次，有一个数字出现两次。所以，可以理解为，两个是有顺序的。
然后从5个数位中，选出3个数位，总共有种。所以，两个都不是0的情况为=720
种。
（ii）如果两个数，有一个是0，再选出一个数放在首位，有9种情况，如果首位数字用两次，从后四位数中，选择一个数位有种。所以，这种情况为9×=36种。如果首位数字用三次，从后四位数中，选择两个数位有种。所以，这种情况为9×=54种。所以，两个数，有一个是0的情况总共有54+36=90种。
所以，出现两个数字的情况为720+90+810种。
综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。
例5（1）在10×15的棋盘上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？
（2）在n×n的方格表上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？
（3）在n×n的方格表上取n个方格，使任意两个棋子既不同行也不同列，有多少种取法？
【答案】（1）9450；（2）；（3）n!
【解答】
（1）方法一：首先，从这些方格中，选第一个方格，总共有15×10=150种，接着选第二个方格，由于与第一个不同行也不同列，所以第二个方格的选法为14×9=126种。但由于第一次选与第二次选，没有顺序之分，所以，这样选出的方格是重复的。需要除以2。故总共有150×126÷2=9450种。
方法二：从150个格子中选出两个格，总共有种，但有不符合要求的情况，就是属于同行同列的情况。
同一行的情况为：先选出一行，有10种情况，再在这一行中选出两个格，有种情况。所以，同一行的情况为种。
同一列的情况为：先选出一列，有15种情况，再在这一列中选出两个格，有种情况。所以，同一列的情况为种。
故总共有种。
（2）与第一问的方法相同，如果用第一种方法，选第一个方格，总共有n×n种，选第二个方格，总共有（n-1）×（n-1）种，由于有重复的情况。所以，总共有种。
（3）在n×n的方格表上取n个方格，任意两个棋子不同列，相当于每列恰选一个方格，又因为不同行，所以，每行也恰选一个方格。
我们可以分步考虑，按列选：第1列选1个格，情况为n种；第2列选1个格，由于不
能与第一列选的格同行，情况为（n－1）种……第n列选1个格，情况为1种。所以，总共为
n×（n－1）×……×2×1=n!种取法。
基础知识回顾：
1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=1
3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.组合数的计算：
小练习：请计算下列排列数和组合数：
【答案】（1）35 （2）28 （3）10
【解答】
例6.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有多少个？
【答案】300
【解答】能被5整除，说明个位数是0或5.
（一）当个位数是0时，运用乘法原理：第一步，还需从2,4,6,8中选一个数，有有种选法。第二步，从1,3,5,7中选2个数，有种选法。第三步，需要将所选的数字进行排
列,总共排列数是个。所以。个位数是0的四位数总共有个。
（二）当个位数是5时，分两种情况考虑。（1）没有选0，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。第二步，从2,4,6,8中选2个数，有种选法。第三步，将所选的数字进行排列,总共是个。这种情况的个数是：
个。
（2）当选0时，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。第二步，从2,4,6,8中选1个数，有种选法。第三步将所选的数字进行排列,首位不能是0.故有2种选择，百位有2种选择，十位有1种选择。这种情况的个数是：
个。所以，个位数是5的四位数总共有：108+48=156个。
综上，能被5整除的四位数共有144+156=300个
例7.从10个人中随意挑选出一些人，共有多少种不同的选法？
【答案】1023
【解答】
解法1：随意挑选出一些人并没有确定是几个人，有可能是1人，2人，也有可能是所有人。这样总共将所有的选法分为10类，第1类挑选1人；第2类挑选2人；第3类挑选3人；……；第10类挑选10人。每一类的方法数分别为
。将这10类的方法数加到一起，
。所以一共有1023种选取的方法。
解法2：10步一共有种不同的选取方法。这1024种方法中包含10个人全都不选的方法，不符合题意应该去掉，所以从10个人中随意挑选出一些人共有
种不同的选法。
注意：本题主要是为了体现。
对于一般的情况有：。
用类似的方法研究组合数的性质
例8.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班中且每班安排2名,则不同的安排方案有多少种？
【答案】90
【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个班，有种选择。第二步，选出的第一个班接收哪两名同学，有种选择。自然剩下的两名同学去第二个班。所以，不同的安排方案有种。
例9.将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要求没有空盒，那么有多少种放小球的方法？
【答案】
【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个小球放到同一个盒子里，有种选择。将选出的这两个小球看作一个整体。第二步，将n个小球放入n个盒子里，有种情况。所以，总共有种放小球的方法。
例10.9本书分给甲、乙、丙三人，
（1）甲2本，乙3本，丙4本，有多少种分法？
（2）甲、乙、丙各3本，有多少种分法？
（3）分成三堆，分别有2本、3本、4本，有多少种分法？
（4）分成三堆，每堆3本，有多少种分法？
【答案】（1）1260 （2）1680 （3）1260 （4）280.
【解答】（1）运用乘法原理：第一步，从9本书中选2本给甲，有种选法。第二步从余下的7本书中选3本给乙，有种选法。剩下的就是丙的。所以，总共有
种分法。
（2）运用乘法原理：第一步，从9本书中选3本给甲，有种选法。第二步从余下的6本书中选3本给乙，有种选法。剩下的就是丙的。所以，总共有种分法。
（3）方法同（1）。
（4）从9本数中选3本，有种选法。然后从剩下的6本书中选3本，有种选法。所以，总共是种选法。第一个3本书，有3个位置，第二个3本书，有2个位置。第三个3本书，就剩1个位置。由于分堆问题，不涉及顺序，而前面的分法已经考虑顺序。
所以，分成三堆，每堆3本，有种分法。下载本文
