1. 若函数是偶函数，则的递减区间是           

【答案】 

【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。

【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。

2. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 

【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．

∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，

则|g（x）|也为偶函数，

则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；

f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；

|f（x）|也为偶函数，

则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定

故选A

【考点】函数奇偶性的判断

3. 若函数的图像关于原点对称，则              。

【答案】

【解析】试题分析:由题意知恒成立,

即

即恒成立，所用

【考点】奇函数的应用.

4. 已知函数为奇函数,且当时,,则（   ） 

【解析】∵为奇函数，∴．

【考点】函数的性质．

5. 设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为          .

【答案】

【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．

【考点】函数的奇偶性．

6. 已知偶函数满足，且当时，，则                ．

【答案】2

【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以

【考点】函数奇偶性周期性

7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，       .

【答案】

【解析】解:由题意得:当时,

时,

设时,则,

又是定义在上的奇函数,

时,

【考点】本题考查了奇偶性的应用.

8. 函数为定义在Ｒ上的奇函数，当上的解析式为＝　　　　　　　　　．

【答案】

【解析】设，则，所以；

因为函数是奇函数，所以

所以，当时，

【考点】函数奇偶性的性质.

9. 函数f(x)＝x5＋x3的图象关于(　　)对称(　　)． 

【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。

【考点】具有奇偶性的函数图象的对称性.

10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．

(Ⅰ)求的表达式；

(Ⅱ)判断并证明函数在区间上的单调性．

【答案】（1）；（2）答案见详解

【解析】（1）此类问题的常规做法就是利用其奇偶性得出关系式，再根据当时，， 代入得表达式；（2）定义法证明或判断函数单调性的步骤：设，则，变形（分解因式或配方等）判断符号，确定单调性.奇函数对称点两边单调性相同.

试题解析： (Ⅰ) ∵是奇函数，∴对定义域内任意的，都有       1分

令得，，即

∴当时，                         3分

又当时，，此时       5分

故                               7分

(Ⅱ) 解：函数在区间上是减函数，下面给予证明．         8分

设，则    10分

∵,∴，即    13分

故函数在区间上是减函数．                   14分

【考点】1、函数奇偶性；2、分段函数单调性.

11. 已知函数，

（1）当时，判断并证明的奇偶性；

（2）是否存在实数，使得是奇函数？若存在，求出；若不存在，说明理由。

【答案】（1）偶函数；（2）

【解析】（1）定义法判断函数奇偶性是常用的方法，定义域区间关于原点对称的函数，若，则为偶函数，若，则函数为奇函数；（2）f（x）是R奇函数，则对任意x∈R恒成立.

试题解析：（1），当时，，      3分

， ∴f（x）是偶函数。      6分

（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，

∵，，

要使对任意x∈R恒成立，即恒成立，      9分

有，即恒成立，      12分

∴.        14分

【考点】函数奇偶性判断和应用.

12. 若函数为奇函数，且当＞0时，则的值是（    ） 

【解析】先根据函数f（x）是R上的奇函数将f（-2）转化成求f（2）的值，代入当x＞0时f（x）的解析式中即可求出所求.解：函数f（x）是R上的奇函数则f（-x）=-f（x）,∴f（-2）=-f（2）∵当x＞0时，f（x）=10x，∴f（2）=100则f（-2）=-f（2）=-100故选：A

【考点】函数奇偶性

点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题

13. 函数是偶函数，且定义域为，则      ；

【解析】根据函数是偶函数，则利用二次函数性质可知，对称轴x=0，则b=-,同时由于且定义域为，则说明1-a="2a," ,综上可知0，故答案为0.

【考点】函数奇偶性

点评：解决的关键是根据函数是偶函数确定出参数b的值，然后结合定义域关于原点对称，得到a,b的和值，属于基础题。

14. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则=      。

【答案】-9 

【解析】因为是定义在R上的奇函数，当时，，所以="-f(-2)=" 。

【考点】本题主要考查函数的奇偶性，指数函数的性质。

点评：典型题，奇函数满足f(-x)=f(x)，所以=-f(-2).注意。

15. 已知函数是偶函数，则实数的值为         。

【答案】1

【解析】∵函数是偶函数，∴，∴，∴m=0

【考点】本题考查了偶函数的性质

点评：只有对于定义域中的每一个数值，都有(或),我们才可以说函数是奇函数(或者偶函数)

16. （本小题满分14分）

已知函数，，记。

（Ⅰ）判断的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；

（Ⅲ）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数(2) (3)

【解析】解：（Ⅰ）函数为奇函数………………………………………………2分

现证明如下：

∵函数的定义域为，关于原点对称。……………………………………3分

由…………………5分

∴函数为奇函数…………………………………………………6分

（Ⅱ）据题意知，当时，，…………7分

∵在区间上单调递增，

∴，即………………………………………8分

又∵

∴函数的对称轴为

∴函数在区间上单调递减

∴，即………………………………………9分

由，

得，∴………………………………………………………………10分

（Ⅲ）当时，

即，

，…………………………………………………12分

令，

下面求函数的最大值。

，

∴……………………………………………………………………13分

故的取值范围是………………………………………………………14分

【考点】本试题考查了函数的奇偶性和单调性的运用。

点评：解决该试题的关键是能熟练的运用指数函数和二次函数的性质得到最值，以及根据奇偶性的定义准确的证明，同时对于不等式的恒成立问题，能分离参数法来得到其取值范围。属于中档题。

17. 已知函数，若，则等于 （    ） 

【解析】即，=，

所以，=，关系A。

【考点】主要考查对数函数的性质，函数的奇偶性。

点评：典型题，通过考查的奇偶性，得到与的关系。

18. 若函数是奇函数，则＝（　　） 

【解析】因为函数是奇函数，所以。

【考点】函数的奇偶性。

点评：熟记奇函数的性质：若是奇函数，且x=0有意义，则f（0）一定为0.

19. （本小题满分15分）已知函数，.

（1）用定义证明：不论为何实数在上为增函数；

（2）若为奇函数，求的值；

（3）在（2）的条件下，求在区间[1，5]上的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】(1) 的定义域为R,  任取,------------1分

则=. -----------3分

,∴ .

∴，即.

所以不论为何实数总为增函数.————————5分

(2) 在上为奇函数,

∴, ------------7分

即.解得 .     —————————————10分

(3)由(2)知，,

由(1) 知，为增函数,

∴在区间上的最小值为.      ------------13分

∵，

∴在区间上的最小值为.———————————————15分

【考点】本题考查用定义法证明函数的单调性；函数的奇偶性；函数的最值。

点评：（1）用的定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论。

（2）灵活应用奇函数的性质：若x=0在函数的定义域内，则f（0）=0。属于基础试题。

20. 设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，则 f(x)在 (-∞，0)上的解析式               ．

【答案】

【解析】本小题考查了奇函数的性质以及求函数解析式等知识。设，则

解本小题的关键是根据奇函数的图像关于原点对称的性质求解x<0的解析式。

21. 已知，则  _______  

【答案】-22.

【解析】因为

22. 设函数是上的奇函数，且当时，，那么当时，(     )  

【解析】因为函数是上的奇函数，且当时，，那么当时， -x>0,f(-x)==-f(x)，解得x<0的解析式为，选D.

23. 设是定义在R上的奇函数，且当时，已知a="f" (4)，b="f" ()，c="f" ()，则的大小关系为______.（用“”连结）

【答案】c【解析】：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，∴a=f（4）=log24=2， b=f（）=-f（）=-log2=log25， c=f（）=log2=-log23，∴c＜a＜b．

故答案为：c＜a＜b

24. 设函数是满足的奇函数，当时，，则            

【答案】

【解析】因为f(x)是奇函数，且周期为2，根据已知给定区间的解析式，可知f()=f()=-f()=

25. 设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（  ）   

【解析】因为

两式相加可知,可知解析式为，选B

26. 若函数是奇函数，则实数的值为____________.

【答案】

【解析】因为函数是奇函数，则分子上为偶函数，故有a=-1,

27. 函数         

【答案】-5

【解析】解：因为函数

15. 已知, 则               .

28. 下列函数中，是偶函数的是(  ) 

【解析】A. ，偶函数；

B. 定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；

C. 

D. 

29. 已知函数 且此函数图象过点（1，5）.

（1）求实数m的值；  

（2）判断奇偶性；

【答案】 (1)过点(1,5),

(2)对于, 

的定义域为关于原点对称,

,

为奇函数

【解析】略

30. 下列函数是偶函数且在上是增函数的是 

【解析】函数和函数是非奇非偶函数；函数在上是减函数，故选A

31. 已知函数为奇函数，则实数=___▲__.

【答案】

【解析】因为函数为奇函数，所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，整理得：，此式对任意恒成立，所以

32. （本题满分10分）已知函数

（1）判断的奇偶性并给予证明；

（2）求满足的实数的取值范围。

【答案】19．（1）奇函数；

（2）或或

【解析】略

33. 已知Z）是奇函数，又,

求的值。

【答案】解：∵为奇函数，∴，

综上，.

【解析】略

34. 若函数为奇函数，则实数的值    （   ） 

【解析】本题考查奇函数的定义及代数式的运算.

若函数为奇函数,则即

对任意实数恒成立，整理得

故选B

35. 设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（ ） 

【解析】因为x1＜0且x1＋x2＞0，所以x1＜0且x2＞-x1>0,又在（0，＋∞）上是减函数，所以f（－x1）＞f（x2）=f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故选A。

36. 已知函数，若，则的值为 

【解析】略

37. 设f(x)是定义在Ｒ上的奇函数，当时，则（   ） 

【解析】故选C

38. （本题满分10分）设函数

（1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性；

【答案】（1）｛x︱x≠｝

（2）∵f（-x）=f（x）∴f（x）=为偶函数。

【解析】略

39. 设是定义在R上的函数

（1）f（x）可能是奇函数吗？

（2）当a＝1时，试研究f（x）的单调性

【答案】（1）f（x）不可能是奇函数

（2）函数在区间上是增函数，在上为减函数

【解析】（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域是R，

所以f（－x）＝－f（x）对任意x都成立，即，

整理得，

即，即，显然该方程无解，所以f（x）不可能是奇函数。

（2）当a＝1时，，以下讨论其单调性；

任取，且，

则＝，

其中，，当时，

，f（x）为减函数，

此时需要，即增区间为，反之为减函数，

即函数在区间上是增函数，在上为减函数

40. 若函数是奇函数，则实数     ▲ 　 ．

【答案】

【解析】略

41. 设是定义在上的一个奇函数，则函数在上一定是（ ）

A 奇函数   B 偶函数    C 既是奇函数又是偶函数   D 非奇非偶函数

【答案】A

【解析】略

42. （本题满分12分）

设函数且对任意非零实数恒有，且对任意．  

（Ⅰ）求及的值；   

（Ⅱ）判断函数的奇偶性;

（Ⅲ）求方程的解.

【答案】（Ⅰ），

（Ⅱ）函数是偶函数.

（Ⅲ）方程的解集为.

【解析】解：（Ⅰ）对任意非零实数恒有，

令代入可得，┈┈ 1分

又令，代入并利用，可得.┈┈ 1分

（Ⅱ）取，代入得，又函数定义域为，

函数是偶函数. ┈┈ 2分

（Ⅲ）函数在上为单调递增函数，证明如下：

任取且，则，由题设有，

，

，即函数在上为单调递增函数；┈┈ 4分

由（Ⅱ）函数是偶函数，函数在上为单调递减函数；┈┈ 1分

解得或，┈┈ 2分

方程的解集为.┈┈ 1分

43. 已知函数的定义域为R，对任意，均有

，且对任意都有。

（1）试证明：函数在R上是单调函数；

（2）判断的奇偶性，并证明。

（3）解不等式。

（4）试求函数在上的值域；

【答案】（1）证明略

（2）奇函数，证明略

（3）

（4）

【解析】（1）任取，令

                 ……………………………………………2分

在R上是单调减函数    ……………………………………………4分

（2）为奇函数，令，有   …………………………5分

令，有 

          ………………………………………………7分

             ……………………………………………8分

（3） 

 ………………………………………9分

原不等式为： ……………………………………10分

在R上递减，

不等式的解集为         …………………………………11分

（4）由题

又

                ………………………………………………………12分

由（2）知为奇函数，  …………………13分

由（1）知，在上递减，

的值域为       …………………………………………14分

44. 设函数是奇函数，若，

则（   ） 

【解析】略

45. 设是定义在R上的奇函数，且，，

则    ．

【答案】

【解析】由得，；

；；

，．．．．．．显然的周期为，

所以

46. 已知,若,则        .

【答案】

【解析】略

47. 已知函数是奇函数，当时，；当时，= 

【解析】要求x＜0时的解析式，先设x＜0，则-x＞0，因为已知x＞0时函数的解析式，所以可求出f（-x），再根据函数的奇偶性来求f（x）与f（-x）之间的关系可求

解：设x＜0，则-x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=x（-x+1），

∴f（-x）=-x（x+1）

又∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（x）=-f（-x）=x（x+1）

故选B

48. 奇函数在区间［3,7］上是增函数，且最小值为-5，那么在区间［-7，-3］ 

【解析】本题考查奇函数的性质,函数的单调性和最值.

函数是奇函数，在上是增函数，则在上也是增函数；

因为奇函数在区间［3,7］上是增函数，且最小值为-5，即所以函数在区间上也是增函数，则时，即函数在区间上的最大值是5.故选B

49. 为奇函数且时，，当时，解析式为

【答案】

【解析】略

50. 设为上不恒等于0的奇函数，（＞0且≠1）为偶函数，则常数的值为（    ） 

【解析】由题意可知函数为奇函数，所以，即有：，化简得，所以.

考点:函数奇偶性的判断.

51. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数 的个数为（ ） 

【解析】因为为偶函数，，当

所以，由此可知. 数形结合由我们可知，、或.数形结合我们就可以知道a的实数个数为6.

【考点】偶函数、复合函数，以及数形结合

52. 函数，是  （   ） 

【解析】根据题意可得，，所以函数为奇函数.

【考点】函数的奇偶性.

53. 已知是定义在R上的偶函数，并满足，当,则__________．

【答案】 

【解析】由可得，∵函数f（x）是R上的偶函数，∴，∴ ，∵，∴，即．

【考点】考查了函数性质的应用．

点评：解本题的关键是根据题中给出的条件把自变量转化为在[2，3]的范围内，求出函数值．

54. 设是奇函数，且时，，则_________.

【答案】.

【解析】因为是奇函数，所以，即，

则.

【考点】函数的性质与求值.

55. 下面的函数中，周期为的奇函数是（   ）   

【解析】的周期为， 的周期为，为偶函数。

【考点】函数周期性、奇偶性的判断。

56. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；          

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)> 0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

【答案】（1）略（2）略   (3) 0【解析】本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f[（x2-x1）+x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．

（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；

（2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x＜0时，f（x）＞0即可；

（3）利用单调函数的定义证明，设x1＜x2，将f（x2）写成f[（x2-x1）+x1]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得；

（4）由f（x）•f（2x-x2）＞f（0）得f（3x-x2）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可

57. 已知函数

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）判断的奇偶性。

【答案】(1),;(2)详见解析.

【解析】（Ⅰ）利用换元法，可得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知定义域关于原点对称，再证f（-x）=-f（x），由定义可判断出函数为奇函数．

试题解析：

（Ⅰ）∵

∴，又由得,

∴ 的定义域为.                  

（Ⅱ）关于原点对称,

∴为奇函数.

58. 已知定义域为的单调函数是奇函数，当 时，.

（1）求的解析式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）求奇函数的解析式，首先，其次要求时解析式，利用，可求解；（2）首先证明得是上的减函数，因此利用奇函数性质把不等式化为，从而可脱去“”得，这是关于的恒成立的不等式，由二次不等式的知识易得解．

试题解析：（1）定义域为的函数是奇函数 .

当时，            

又函数是奇函数           

综上所述  

（2）,为的单调函数

在上单调递减.

由得

是奇函数      

又是减函数        

即对任意恒成立

 得即为所求．

【考点】函数的奇偶性与解析式，单调性，不等式恒成立．

59. 若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数， 且f（）＝0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______________．

【答案】

【解析】因为偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数， 且f（）＝0，所以当时,.所以所求不等式的解集为.

60. 已知函数（），，则（  ） 

【解析】∵

∴令，则为奇函数

∴

∵

∴，即，故选C下载本文