知识概要
一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若，
则
两边分别相加得
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：由得则所以
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.
解:由已知得,
化简有,由类型(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.○。 ------------适用于： ----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则
两边分别相乘得，
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1),即时，
==.
评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案：-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中)型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设,
得,与题设比较系数得
,所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以 即：.
规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列中，，求数列的通项公式。
解法一：
又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
解法二：
两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
2．形如： (其中q是常数，且n0,1)
若p=1时，即：，累加即可.
若时，即：，
求通项方法有以下三种方向：. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.
.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
练习.
设为常数，且．证明对任意≥1，；
3．形如 其中k,b是常数，且)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：待定系数法
通过凑配可转化为 ;
解题基本步骤：
1、确定=kn+b
2、设等比数列，公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）
解：，
时，，
两式相减得 .令,则
利用类型5的方法知 即
再由累加法可得.亦可联立 解出.
例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法）
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：
故.
4．形如 其中a,b,c是常数，且)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得，
所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
5.形如时将作为求解
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
四、迭代法 (其中p,r为常数)型
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.已知数列，
（1）证明 （2）求数列的通项公式an.
解：（1）略（2）所以
又bn=－1，所以.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解
五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
答案：
例15 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。
两边取常用对数得
设 （同类型四）
比较系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，
七、换元法 适用于含根式的递推关系
例17 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
代入得
即
因为，
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
例18 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列
例20 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则 故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如
例21 已知数列中，，求数列的通项公式。
解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：形如
分析：递归函数为
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。
例22. 设数列满足,求数列的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时加参数t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列, =, 解得.
方法2：
，
两边取倒数得，
令b，则b,转化为累加法来求.
例23 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为
。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
练习1：已知满足，求的通项
答案：
练习2。已知数列满足，求数列的通项
答案：
练习3.
已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。
答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。
十一。特征方程法 形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例24 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
例25 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
练习1．已知数列满足，求数列的通项
练习2．已知数列满足
，求数列的通项
说明：(1)若方程有两不同的解s , t,
则, ,
由等比数列性质可得, ,
由上两式消去可得.
(2)若方程有两相等的解，则
，
,即是等差数列，
由等差数列性质可知，
所以．
例26、数列满足，且求数列的通项。
解：……①
令，解得，将它们代回①得，
……②，……③，
③÷②，得,
则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2
所以，则，
十二、四种基本数列
1．形如型 等差数列的广义形式，见累加法。
2.形如型 等比数列的广义形式，见累乘法。
3.形如型
（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.
例27. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
分析 1：构造 转化为型
解法1：令
则.
时,各式相加:
当n为偶数时，. 此时 当n为奇数时，
此时,所以.故 解法2：
时，，两式相减得：.
构成以,为首项，以2为公差的等差数列;
构成以,为首项，以2为公差的等差数列
.
评注：结果要还原成n的表达式.
4.形如型
（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例28. 已知数列,求此数列的通项公式.
注：同上例类似，略.
5．形如型
(1)若是常数，同题型1.
(2)若是一次式同题型1
(3)若是二次式。
例29．已知正项数列，其前n项和S 满足成等比数列，且10 S= ，求数列的通项公式.
解:∵10 S=
∴
又10 S=(2),
-,得，
即.
∵∴.
当.此时不成等比数列，∴.
当.此时有.∴.
∴.
评注:该题用即的关系, .
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