直接求
例1、若，是正数，则的最小值是【 】
A． B． C． D．
例2、设的最大值为【 】
A. B. C. D.
练习1.若，则的最小值为 .
练习2.设为正数, 则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习3.若,且函数在处有极值，则的最大值等于【 】
A. B． C． D．
练习4.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨.
练习5.求下列函数的值域：
（1） （2）
练习6.已知，，成等差数列，成等比数列，则
的最小值是【 】
A. B. C. D.
例3、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
凑系数
例4、若，且，则的最大值是 ．
练习1.已知，且满足，则的最大值为 .
练习2. 当时，求的最大值.
凑项
例5、若函数在处取最小值，则【 】
A. B． C． D．
练习1.已知，求函数的最大值.
练习2.函数的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习3.函数的最小值为【 】
A. B. C. D.
两次用不等式
例6、已知，则的最小值为__________.
例7、已知，则的最小值是【 】
A. B． C． D．
例8、设，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.设，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习2.设，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习3.设，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习4.设，则的最小值是 .
换元
例9、若的最大值是 .
练习1.设的最小值是【 】
A． B． C． D．
例10、设是实数，且则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若则最大值是
练习2.若且则【 】
A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值
C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值
消元
例11、设为正实数，满足，则的最小值是 .
练习1。已知实数满足,则的取值范围为
两次用
例12、已知正数满足则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1。已知正数满足则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习2.已知均为正数，则的最大值是【 】
A. B. C. D.
练习3.已知实数满足则的最大值是
整体代换
例13、已知，则的最小值是【 】
A. B． C． D．
例14、函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
例15、设若的最小值为
A. B. C. D.
例16、已知都是正实数，且满足，则使恒成立的的取值范围是
A. B. C. D.
练习1.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________．
练习2.若,且，则的最小值为 .
练习3.已知，且，求的最小值.
练习4.若且，求的最小值.
练习5.已知且，求的最小值.
练习6.已知则的最小值等于【 】
A. B. C. D.
练习7.若为常数，则的最小值是
练习8.已知恒成立，则的取值范围是
练习9.则最小值为
分离法【分式】
例17、，则函数的最小值为__________.
例18、已知有【 】
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
练习1.求的值域.
练习2.若，则函数的最小值为 .
放缩法—— 解不等式
例19、设为实数，若则的最大值
是 .
例20已知,则的最小值是 .
例21、若是与的等比中项，则的最大值为【 】
A. B． C． D．
练习1.若实数满足，则的最大值是__________.
练习2.若正实数 满足则的最小值是
练习3.已知则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习4.已知，求的最小值.
练习5：已知恒成立，则的最小值是 .
练习6.若直角三角形周长为，求它的面积最大值.
练习7.若实数满足则的取值范围是
取平方
例22、若且，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若且,则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习2.已知为正实数，，求函数的最值.
取平方+解不等式
例23、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
结合单调性——与函数
例24、若，则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习1.求函数的值域.
练习2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时的值.
（1） （2）
（3）
练习3．已知，求函数的最大值.
练习4．，求函数的最大值.
练习5.设且的最大值是【 】
A. B. C. D.
例25、已知，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若实数的最大值是
用另一个公式
例26、函数的最大值为 .
练习1.已知，则的最大值是【 】
A. B. C. D.
例27、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
直接取值【讨论】
例28、则的最小值【 】
A. B． C． D．
应用二、恒成立问题
例1、若，且，则下列不等式中，恒成立的是【 】
A． B．
C． D．
例2、设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是【 】
A． B．
C． D．
例3、设则以下不等式中不恒成立的是【 】
A． B．
C． D．
例4、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数
的最小值为【 】
A. B. C. D.
例5、若直线通过点，则【 】
A． B． C． D．
练习1.设，则下列不等式中不成立的是【 】
A. B.
C. D.
练习2.已知下列不等式：①；②；
③.
其中正确的个数是【 】
A.个 B.个 C.个 D.个
练习3.已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
练习4.若，且恒成立，则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习5.已知，则使不等式成立的最小的值是【 】
A. B. C. D.
练习6.是否存在常数，使得不等式对任意正数
恒成立，试证明你的结论.
应用三、证明不等式
例1、已知且，求证：.
例2、若且，求证：.
例3、已知是互不相等的正数且，求证：.
练习1.在某两个正数之间插入一个数，使成等差数列；若插入两个数，使
成等比数列，求证：.
练习2.证明：对于任意实数有.
应用四、比较大小
例1、若，则的大小关系是 .
例2、若，则中最大的是 .
练习1.若，且，则下列代数式中值最大的是【 】
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