1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当t=2733

26

-s或

2733

26

+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=1

2

•AC•BE=

81

4

，

∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=

22=6AB BE -， ∴coaA=7.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，

∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，

∵S △PQM =

95S △QCN ， ∴34•PQ 2=9354

⨯•CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=

95

×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或

35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95

S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．

易知：PM ∥AC ，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴3，

∴39-9t ），

26

-．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得3，

∴39t-9），

∴t=27+33

26

，

综上所述，当2733

26

-s27+33时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.

特殊发现：

如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．

问题探究：

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)记AC

BC

＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE 总是等边三角形

【解析】

【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB

=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证

△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．

（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据

AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．

【详解】

解：（1）PC=PE 成立，理由如下：

如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，

∴EM FP MC PB

=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；

（2）PC=PE 成立，理由如下：

如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中

，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，

∴△DAF ≌△EAF （AAS ），

∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，

∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，

∴△DAP ≌△EAP （SAS ），

∴PD=PE ，

∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，

∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FP MC PB

=， ∵点P 是BF 的中点，

∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，

∴PC=PD ，又∵PD=PE ，

∴PC=PE ；

（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，

∴∠CEP=60°，

∴∠CAB=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，AC BC

=tan30°， ∴k=tan30°=

3 ∴当k 为33

时，△CPE 总是等边三角形．

考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．

3．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

【答案】（1）tan∠DBC=；

（2）P（﹣，）．

【解析】

试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形

的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知

=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．

试题解析：

（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．

∵C（0，4），

∴CD//AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC=；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

设P（x，﹣x2+3x+4），则=，

解得 x1=﹣，x2=4（舍去），

∴P（﹣，）．

考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数4．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，

AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2

2

．动点P

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线

A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•3

5

=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．

②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

S=1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=16

7

．

当2＜t＜16

7

时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=1

2

PM•MQ=

1

2

×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

()

()

2

2

5t14t0S{7t16t116

14t3227

-+≤

=-+≤

⎛⎫

-+ ⎪

⎝⎭

．

（3）①当0＜t≤1时，

2

2

749

S5t14t5t

55

⎛⎫

=-+=--+

⎪

⎝⎭

，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7

5

，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．

②当1＜t≤2时，

2

2

8

S7t16t7t

77

⎛⎫

=-+=--+

⎪

⎝⎭

，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8

7

，∴当t=8

7时，S有最大值，最大值为

7

．

③当2＜t＜16

7

时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；当t=16

7

时，S=0，∴0＜S＜4．

综上所述，当t=8

7

时，S有最大值，最大值为

7

．

（4）t=20

9

或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

【解析】

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=

2

2

，利用特殊三角函数值，得到

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：

∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=2

2

，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

4k b0

{

b4

-+=

=

，解得：

k1

{

b4

=

=

．∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；

③当2＜t＜16

7

时，如图3．

（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：

①如图4，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20

9

．

②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN为等腰三角形，t=12

5

．

∴当t=20

9或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．

5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）9 2

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.

【详解】

证明：如图，连接OE，

∵AE 平分∠DAC ，

∴∠OAE ＝∠DAE ．

∵OA ＝OE ，

∴∠AEO ＝∠OAE ．

∴∠AEO ＝∠DAE ．

∴OE ∥AD ．

∵DC ⊥AC ，

∴OE ⊥DC ．

∴CD 是⊙O 的切线．

（2）解：∵AB 是直径，

∴∠AEB ＝90°，∠ABE ＝60°．

∴∠EAB ＝30°，

在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°333 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°，

∴AD=cos30°×AE=

32×3392. 【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.

6．阅读下面材料：

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝

AD c ，sin C ＝AD b ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a C A =，sin sin a b A B

=，所以sin sin sin a b c A B C ==． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．

（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝ ；

（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ．

（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）

【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2 【解析】

【分析】 （1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB 的值.

（2）此题可先由速度和时间求出BC 的距离，再由各方向角得出∠A 的角度，过B 作BM ⊥AC 于M ，求出∠MBC=30°，求出MC ，由勾股定理求出BM ，求出AM 、BM 的长，由勾股定理求出AB 即可；

（3）在三角形ABC 中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C 作AC 的垂线BD ，构造直角三角形ABD ，BCD ，在直角三角形ABD 中可求出AD 的长，进而可求出sin75°的值．

【详解】

解：（1）在△ABC 中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°， ∵

AB sinC =sin BC A ， ∴45AB sin =60sin60

， 23，

解得：6.

（2）如图，

∴∠DCB+∠CBE=180°

∵∠DCB=30°，

∴∠CBE=150°

∵∠ABE=75°．

∴∠ABC=75°，

∴∠A=45°，

在△ABC中，

sin AB ACB

∠=

BC

sin A

∠即60?

AB

sin

=

30

45?

sin，

解之得：AB=156．

答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．

（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.

在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，

所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，由题意得，15315

75

sin

＝

156

60

sin

，sin75°=

6+2

4

．

【点睛】

本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．

7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4

3

．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出

EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ADG和△ABE中，

ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．

（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：

作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：

则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，

∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，

∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，

∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，

EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△EFH ≌△ABE （AAS ），

∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，

∴CH ＝BE ＝FH ，

∵∠FHC ＝90°，

∴∠FCN ＝45°．

（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：

作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：

由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，

∴EH ＝AD ＝BC ＝8，

∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH

==；

84

63 FH EH

CH AB

===，

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4

3

．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

8．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3ON=

3

3

DN=1；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，

∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到

∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到33；

（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得

∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到

DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．

【详解】

解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝

∴AD ＝1

2

BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，

当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，

∴OE ⊥DM ，

又∵AD ＝AC ，

∴△ADC 为等边三角形，

∴∠CAD ＝60°，

∴∠DAO ＝30°，

∴∠DON ＝60°，

在Rt △ADN 中，DN ＝

12AD ，

在Rt △ODN 中，ON DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；

当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，

∵AD ＝

∠DAE ＝30°，

∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，

∴△ODE 为等边三角形，

∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，

∵∠M ＝∠DAE ＝30°，

而MD ＝ME ，

∴∠MDE ＝75°，

∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，

∴∠DNO ＝45°，

∴△NDH 为等腰直角三角形，

∴NH ＝DH

∴ON ﹣1；

综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；

（3）当⊙O 变动时DP ﹣DQ 的值不变，DP ﹣DQ ＝．理由如下：

连AP 、AQ ，如图2，

∵∠C ＝∠CAD ＝60°，

而DP ⊥AB ，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．

9．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形

（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP

试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF为平行四边形

又AB=BE

∴ABEF为菱形

（2）作PH⊥AD于H

由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5

∴tan∠ADP=

考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数

10．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的BD 交y轴正半轴于点D，BD与BC有交点时，交点为E，P为BD上一点．

（1）若c＝63+2，

①BC＝，DE的长为；

②当CP＝62时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；

（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；

（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）

【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①65；②65

（3）答案见详解 【解析】

【分析】 （1）①先求出AB ，AC ，进而求出BC 和∠ABC ，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC 是直角三角形，即可得出结论；

（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；

（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．

【详解】 （1）①如图1，

∵c ＝3+2，

∴OC ＝3，

∴AC ＝3﹣2＝3

∵AB ＝6，

在Rt △BAC 中，根据勾股定理得，BC ＝12，tan ∠ABC ＝

AC AB

3 ∴∠ABC ＝60°，

∵AE ＝AB ，

∴△ABE 是等边三角形，

∴∠BAE ＝60°，

∴∠DAE ＝30°， ∴DE 的长为

306180

π⨯＝π， 故答案为12，π；

②CP 与⊙A 相切． 证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝3

∴AP 2+CP 2＝108，

又AC 2＝（32＝108，

∴AP 2+PC 2＝AC 2．

∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ．

而AP 是半径，

∴CP 与⊙A 相切．

（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．

①若点P 在BE 上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ，

则PF 的长就是最大距离，如图2，

S △ABC ＝12AB ×AC ＝12BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝245

， ∴PF ＝AP ﹣AF ＝65； ②如图3，若点P 在DE 上，作PG ⊥BC 于点G ，

当点P 与点D 重合时，PG 最大．

此时，sin ∠ACB ＝

PG AB CP BC =， 即PG ＝AB CP BC ⋅＝65

∴若c ＝10，点P 与BC 距离的最大值是

65； （3）当c ＝1时，如图4，

过点P 作PM ⊥BC ，sin ∠BCP ＝AB PM BC CD

=

6742

3737

AB CD

BC

⋅⨯

===4237

37

；

当c＝6时，如图5，同c＝10的①情况，PF＝6﹣12

13

=

1213

6

13

-，

当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝

4285

6

85 -，

当c＝11时，如图7，

点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，DG＝18117 117

．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．下载本文