知识点一：倍角公式
1.·等于
A．tanα B．tan2α C．1 D.
2．log2(sin15°cos15°)的值为
A．－1 B . C．2 D．－2
3．(2010全国高考Ⅱ，文3)已知sinα＝，则cos(π－2α)等于
A．－ B．－
C. D.
4．若＝－，则cosα＋sinα＝__________.
5.＝__________.
6．(2010全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝__________.
7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
知识点二：半角公式
8．已知cosθ＝－， <θ<3π，那么sin等于
A. B．－
C. D．－
9．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为
A. B.
C．± D．±
10．已知sinθ＝， <θ<3π，那么tan＋cos的值为__________．
11．(2010全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.
12．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．
能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简
13．若3sinα＋cosα＝0，则的值为
A. B. C. D．－2
14.－等于
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
15．函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是
A．(－，) B．(0，)
C．(，) D．(，π)
16．化简等于
A．tan2θ B．cot4θ
C．tan4θ D．cot2θ
17．已知α为锐角，且sinαcosα＝，则＋＝__________.
18．已知tan2α＝－2，且满足<α<，求的值．
能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用
19.已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x等于
A. B．－ C. D．－
20．cos·cos·cos·cos的值为__________．
21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[，]上的最小值和最大值．
22．(2010天津高考，理17)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
23.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE前进30 m至C点，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
答案与解析
1．B
2．D 原式＝log2(sin30°)＝log2＝－2.
3．B cos(π－2α)＝－cos2α
＝－(1－2sin2α)
＝－(1－2×)
＝－.
4. ∵cos2α＝cos2α－sin2α，sin(α－)＝(sinα－cosα)，
∴＝
＝＝－.
∴cosα＋sinα＝.
5. 原式＝×＝tan＝.
6．－ ∵α为第二象限角，sinα＝，
∴cosα＝－.
∴tanα＝＝－.
∴tan2α＝＝＝－.
7．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx
＝sin2x，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤，得－≤2x≤π.
∴－≤sin2x≤1，
即f(x)的最大值为1，最小值为－.
8．D ∵<θ<3π，∴ <<，
∴sinθ＝－＝－.
9．C ∵sin(π－θ)＝，
∴sinθ＝，θ为第二象限角．
∴cosθ＝－.为第一、三象限的角，
∴cos＝±＝±.
10．3－ cosθ＝－，sin＝－＝－，cos＝－＝－，∴tan＝3.
∴tan＋cos＝3－.
11．－ tan(π＋2α)＝－，tan2α＝－，
∴＝－.
∵α是第二象限的角，
∴tanα<0.∴tanα＝－.
12．解：∵0<α<，∴cosα＝＝.
∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
∵sin(α＋β) ∴cos(α＋β)＝－. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－×＋×＝. ∴0<β<，即0<<. 故cos＝＝. 能力提升 13．A 由3sinα＋cosα＝0，有tanα＝－. ∴＝＝＝. 14．C 原式＝－＝(cos50°－sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°. 15．D 16．C 17．4－2 ∵sin2α＝2sinαcosα＝1，∴α＝. ∴原式＝＋＝4－2， 18．解：＝＝. 又tan2α＝－2＝ 2tan2α－2tanα－2＝0. 解得tanα＝－或. 又<α<， ∴tanα＝. 原式＝＝2－3. 19．D ∵x∈(－，0)，cosx＝， ∴sinx＝－. ∴tanx＝－. ∴tan2x＝＝－. 20. 原式＝ ＝＝. 21．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)． 因此，函数f(x)的最小正周期为π. (2)根据对f(x)在[，]上的单调性进行研究，易知f(x)在[，]上递增，在[，]上递减． 又f()＝0，f()＝，f()＝sin(－)＝－cos＝－1， 故函数f(x)在区间[，]上的最大值为，最小值为－1. 22．解：(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得 f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1) ＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)． 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)． 又因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝. 由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]． 从而cos(2x0＋)＝－＝－. 所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)sin＝. 拓展探究 23．解：由已知得BC＝30 m，CD＝10 m，∠ABE＝θ，∠ACE＝2θ，∠ADE＝4θ，在△ABE中，BE＝AE·cotθ，在Rt△ACE中，CE＝AE·cot2θ，∴BC＝BE－CE＝AE(cotθ－cot2θ)，同理可得CD＝AE(cot2θ－cot4θ)． ∴＝， 即＝＝. 而＝＝＝＝2cos2θ. ∴2cos2θ＝ cos2θ＝ 2θ＝30° θ＝15°. ∴AE＝AC＝BC＝15 m. 答：θ的大小为15°，建筑物的高为15 m.下载本文
