教材知识探究

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

问题1　在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？

问题2　如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

问题3　依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？

提示　1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.

1.常见的函数模型

(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

(2)这些步骤用框图表示如图：

教材拓展补遗

[微判断]

1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)

2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：

(1)前5分钟温度增加越来越快.(×)

(2)前5分钟温度增加越来越慢.(√)

(3)5分钟后温度保持匀速增加.(×)

(4)5分钟后温度保持不变.(√)

[微训练]

1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.

解析　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0答案　y＝20－x(02.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.

解析　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.

答案　2 500

[微思考]

一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？

提示　一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝axn＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.

题型一　 一次函数模型　函数的图象确定了函数的类型

【例1】　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解　由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.

∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0).

(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.

当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1规律方法　在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.

【训练1】　某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.

解析　设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

由解得k＝－，b＝50，

∴y＝－x＋50(0答案　y＝－x＋50(0题型二　幂函数与二次函数模型

【例2】　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.

(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：

①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

(1)解析　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.

答案　125

(2)解　①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).

∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，

∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.

②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，

x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.

规律方法　1.幂函数应用的常见题型

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.

(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.

2.利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

【训练2】　据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.

(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解　(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，解得a＝.

所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25).

(2)设最大利润为Q(x)，

则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－

＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25).

所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

题型三　分段函数模型

【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元).

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.

解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：

y＝

＝

＝

(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝

－(t－5)2＋1 225，

函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，

∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；

②当10函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，∴ymax＝

1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).

由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).

规律方法　应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

【训练3】　某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：

(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).

解　(1)由已知可得：P＝

(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为

Q＝－t＋40(0(3)由题意

y＝

＝

当0当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125.

∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元.

一、素养落地

1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.

2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.

二、素养训练

1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)

A.y＝2t      B.y＝120t

C.y＝2t(t≥0)      D.y＝120t(t≥0)

解析　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).

答案　D

2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”

A.150      B.200  

C.180      D.210

解析　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码.则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.

答案　B

3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(　　)

A.2 800元      B.3 000元

C.3 800元      D.3 818元

解析　由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为

y＝

令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800，

令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C.

答案　C

4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.

解析　设矩形的一边长为x m，

则与这条边垂直的边长为 m，

所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0当x＝3 m时，S最大＝9 m2.

答案　9

5.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.

解　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24).

设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝

60＋150，

∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少.

基础达标

一、选择题

1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)

A.200副      B.400副

C.600副      D.800副

解析　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.

答案　D

2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.      B.

C.      D.－1

解析　设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.

答案　D

3.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计(　　)

A.280元      B.320元

C.340元      D.360元

解析　由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元).

答案　D

4.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的是(　　)

①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.

A.1项      B.2项  

C.3项      D.4项

解析　由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”在2010～2011年最陡.故②正确 ，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故选C.

答案　C

5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A.3.50分钟      B.3.75分钟

C.4.00分钟      D.4.25分钟

解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得解得

∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－＋.

当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.

答案　B

二、填空题

6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.

解析　设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.

答案　50

7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：

解析　根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，

日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

答案　11.5

8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

解析　设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝

由y＝22.6，解得x＝9.

答案　9

三、解答题

9.某市居民生活用水收费标准如下：

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.

解　(1)由题设可得y＝

当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，

代入得解得

∴y关于x的函数解析式为y＝

(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.

∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.

∴该用户最多可以用6.5 t水.

10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.

(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解　(1)当0即y＝

(2)设旅行社所获利润为S元，则当0当30即S＝

因为当0当30即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.

所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.

能力提升

11.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝

(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；

(2)求该商场日收益的最小值(千元).

解　(1)由题意w(t)＝f(t)·g(t)＝

＝

(2)当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500；

当7由<500，可得w(t)的最小值为.

所以，该商场日收益的最小值为千元.

12.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.

(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；

(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

解　(1)当0当100p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

∴p＝

(2)设利润为y元，则

当0当100y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

∴y＝

当0y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.

显然6 050>2 000.

∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.下载本文