用极限定义证明极限的几种方法
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郑文杰
(湖北民族学院预科部,湖北恩施445000)
摘要:在微积分中,极限是最重要的概念之一,而且微分、积分、级数等概念都是由极限来定义的。因此,掌握好用极限定义证明部分极限问题的方法大有必要,从极限定义证明极限的方法的特点加以分析,可归纳总结出放大法、乘方法、取点法、夹逼法和反证法等5种方法。
关键词:极限;定义;证明方法
中图分类号:O172文献标识码:A
1极限的定义
定义1:设X n是一个数列,A是一个确定的数,若对任给的正数E,总存在某一个自然数N,使得当n>N时,都有X n-A 定义2:设f(x)为定义在(-],+])上的函数,A是一个定数,若对任给正数E,总存在正数X,使得适合x>X的一切x对应的函数值f(x)恒有不等式f(x)-A 定义3:设f(x)在点x0的某个空心领域内有定义,如果P E>0,总存在D>0,对于适合不等式0 f (x)=A 2用极限定义证明极限问题的方法2.1放大法 放大法是将定义中的绝对值不等式X n-A n y] n a=1,其中a>1[1] 证:令a 1 n-1=A,则A>0,由伯努利不等式推得 a=(1+A)n\\1+n A=1+n(a1n-1)或 a1n-1[a-1 n 对P E>0,总v N(取N=[ a-1 E]),则当n >N时,就有a1n-1 n y] n a=1(a>1) 2.2乘方法 乘方法主要是针对带根号的函数极限证明问题,并且其中变量x一般是趋近于0,对于此类极限问题首先必须将函数中根号通过乘方去掉,然后再按极限定义证明的方法讨论该极限问题。 例2证明lim x y0 5 x=0 证明:对P E>0,要使 5 x-0=5x 湖北农学院学报 Journal of H ubei Agricultural College 2002年4月 Apr.2002 X收稿日期:2001-12-17 作者简介:郑文杰(1970-),男,湖北咸宁市人,湖北民族学院预科部讲师.取D=E5,当0 x-0 x y0 5x=0 2.3取点法 取点法一般先在变量x的变化范围内先取定一个或几个不同的值,再在取定的值的范围内讨论该极限问题,然后将所得结果和原先取定的x的变化范围相比较,最后取x的最大值或最小值而得到所要证明的结果。 例3求证lim x y-2 x2=4 证:因为x y-2,所以不妨设x-(-2)= x+2<1,从而有x-2<5 于是x2-4=x-2#x+2<5 x+2 ,又x+2<1 即只要取D=min E 5,1 当0 x2=4 注:在此题中,先取定x+2<1,其实已取定了x的某一个变化范围,在这个范围内先讨论该极限的证明问题,然后将所得结果和原先取定的x变化范围(即x+2<1)相比较,取最小值则该极限问题得证。 2.4夹逼法 夹逼法通常是将要证明的极限问题构造成夹逼不等式的形式,然后利用已证明的极限和夹逼定理来得到所要证明的结果。 定理(夹逼定理)若在0 且lim x y x 0g(x)=lim x y x h(x)=A,则lim x y x f(x)= A 证明,略[1]。 由于夹逼定理的证明过程也是运用了极限定义,那么通过夹逼定理也同样可以证明许多相关的极限问题,在运用夹逼法时,构造夹逼不等式是最关键的一环,这一环节处理得好,复杂的证明问题也就迎刃而解1此类方法对n y],x y],x y x 的情形都能成立。 例4lim n y] n n=1 证明:当n>1时,n n>1,记a n=n n=1+h n (h n>0),则有 n=(1+h n)n=1+nh n+n(n-1) 2 h2n + ,,+h n n\\n(n-1) 2 h2n 0[h n[2 n-1 于是有1[a n=1+h n[1+ 2 n-1 下证lim n y] (1+ 2 n-1 )=1 P E>0,要使 1+ 2 n-1-1 =2 n-1 取N=[ 2 E2+1],当n>N时,就有 1+ 2 n-1 -1 n y] 1+2 n-1 =1 再由夹逼定理,可得 lim n y] n n=1 2.5反证法 反正法主要是为了解决数列不收敛)))即发 散的问题,但它的根本方法也是利用极限定义,掌 握好此类方法,不仅对初学者学好极限大有益处, 而且从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认 识和理解。 例5数列不能收敛于两个不同的极限[2] 证:反证法 假设同时有x n y a及x n y b,且a b-a 2 ,因为lim n y] x n=a,故存在正整数N1,使得 对于n>N1的一切x n,不等式 x n-a (1) 成立,同理,因为lim n y] x n=b,故存在正整数N2,使 得对于n>N2的一切x n,不等式 x n-b 171 第2期郑文杰:用极限定义证明极限的几种方法式及(2)式同时成立,但由(1)式有x n ,由 (2)式有x n>a+b 2 ,这个矛盾证明了本定理的断 言。 以上几种方法,在用定义证明极限的题型中常见,但是,涉入到具体问题存在着不同技巧和方法。有时,一个极限证明问题往往是几种方法揉和在一起的,这需要初学者的细致观察和总结,相信大家只要在实践中摸索,初学者一定能学好它,并能熟练运用、掌握. 参考文献: [1]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991.33~34,. [2]同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1996.39. Methods of Limit Proving by Using the Definition of Limit ZHEN Wen-jie (Prep aratory Dep artment,Hubei I nstitute f or N ationalities,E nshi,H ubei445000,China) Abstract:Limit is one of the most im portant concepts in calculus.Concepts such as differential calcu-lus,integ ral calculus and progression,are all defined by limit.So,it p s rather necessary to master a few meth-ods of proving some limit problems.By analyzing the characteristics of lim it proving by using the definition of limit,five methods to prove limit,amplifying,multiplying,adopting,squeezing and disproving w ere con-cluded. Key words:limit;definition;prove methods 172湖北农学院学报2002年下载本文
