一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，﹣1，0}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
2．已知复数z满足z（1﹣2i）＝3+i3，则复数z的虚部为（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．已知函数f（x）＝sinx+，则函数f（x）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．双曲线＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m﹣n为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C． D．1﹣
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如表：
| 苗木长度x（厘米） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 售价y（元） | 16.8 | 18.8 | 20.8 | 22.8 | 24 | 25.8 |
A．33.3 B．35.5 C．38.9 D．41.5
7．数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，则a2021＝（ ）
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
8．已知sin（α+β）＝1，α，β均为锐角，且tanα＝，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
9．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一．根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音．中国古代的五声音阶：宫、徵（zhǐ）、商、羽、角（jué），就是按三分损一和三分益一的顺序交替、连续使用产生的．若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ）
A．72 B．48 C．54 D．
10．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则＝（ ）
A．2﹣2﹣n B．2﹣21﹣n C．2﹣2n D．2﹣2n﹣1
11．过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M，N，若线段MN的中点为P，且线段FP的长为4，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0
C．x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0 D．x﹣y﹣＝0或x+y﹣＝0
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面内单位向量，，满足++＝，则•＝ ．
14．若实数x，y满足约束条件，则z＝ax+by（a＞b＞0）取最大值4时，的最小值为 ．
15．孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法．问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23，…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用105n+23（n∈N）表示．试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是 ．
16．三棱锥P﹣ABC的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且PA＝2PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AA1＝3，E，F分别为CC1，BD1的中点．
（1）证明：EF⊥平面BB1D1D；
（2）若∠DAB＝60°，求二面角A1﹣BE﹣D1的余弦值．
18．某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五组，整理得到如下频率分布直方图：
（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表：
| 不少于6小时 | 少于6小时 | 总计 | |
| 甲班 | |||
| 乙班 | |||
| 总计 |
（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足ξ～N（μ，0.36），其中μ等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间（6.2，6.8]的概率．
参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
参考数据①：
| P（K2≥k0） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19．已知圆O：x2+y2＝b2经过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点F2，且经过点F2作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足，且＝6，试确定直线OA，OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a﹣csinB＝bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且___，求△ABC的面积．（从①BD为∠B的平分线，②D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．）
21．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣xlnx，a∈R．
（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求a的取值范围；
（2）若n∈N+，求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，点A是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，满足2的点B的轨迹是C2．
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是（t为参数），点P的直角坐标是（﹣1，0），若直线l与曲线C2交于M，N两点，当线段|PM|，|MN|，|PN|成等比数列时，求cosα的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x+1|，x∈R．
（1）求函数f（x）的图象与直线y＝6围成区域的面积；
（2）若对于m＞0，n＞0，且m+n＝4时，不等式f（x）≥mn恒成立，求实数x的取值范围．
参
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，﹣1，0}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
解：∵A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．已知复数z满足z（1﹣2i）＝3+i3，则复数z的虚部为（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
解：z（1﹣2i）＝3+i3，∴z（1﹣2i）＝3﹣i，
∴z（1﹣2i）（1+2i）＝（3﹣i）（1+2i），
∴5z＝3+2+5i，∴z＝1+i，
则复数z的虚部为1．
故选：D．
3．已知函数f（x）＝sinx+，则函数f（x）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，函数f（x）＝sinx+，其定义域为R，且有f（0）＝0，
故f（x）的图像经过原点，排除B，
f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣sinx+＝﹣（sinx+）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除D，
f（π）＝sinπ+＝＞0，排除A，
故选：C．
4．双曲线＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m﹣n为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C． D．1﹣
解：双曲线＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，
可得a＝1，所以m＝1，且，所以n＝，
所以m﹣n＝．
故选：C．
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
解：平面EFG即为截面EFGHQR，如图所示，
因为直线D1P与平面EFG没有公共点，
所以D1P∥平面EFGHQR，
所以P∈AC，
所以当点P与点O重合时，BP最短，则三角形PBB1面积最小，
故三角形PBB1面积最小值为．
故选：D．
6．某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如表：
| 苗木长度x（厘米） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 售价y（元） | 16.8 | 18.8 | 20.8 | 22.8 | 24 | 25.8 |
A．33.3 B．35.5 C．38.9 D．41.5
解：由题意可知，（38+48+58+68+78+88）＝63，
（16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8）＝21.5，
因为线性回归方程＝0.2x+过点（63，21.5），
则有21.5＝0.2×63+，解得＝8.9，
所以回归方程为＝0.2x+8.9，
把x＝150代入方程可得，＝0.2×150+8.938.9．
所以当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9元．
故选：C．
7．数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，则a2021＝（ ）
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
解：将点（n，Sn）代入函数f（x）＝x2+2x得，
（n∈N*），
又由首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和公式为：（n∈N*），
∴，解之可得，，
所以数列{an}的通项公式即为：，
∴a2021＝2×2021+1＝4043．
故选：D．
8．已知sin（α+β）＝1，α，β均为锐角，且tanα＝，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为sin（α+β）＝1，α，β均为锐角，
所以α+β＝，
因为tanα＝，可得cosα＝＝，sinα＝＝，
则cosβ＝cos（﹣α）＝sinα＝．
故选：A．
9．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一．根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音．中国古代的五声音阶：宫、徵（zhǐ）、商、羽、角（jué），就是按三分损一和三分益一的顺序交替、连续使用产生的．若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ）
A．72 B．48 C．54 D．
解：根据题意，可得：“三分损一”即为在原基础上乘，“三分益一”即为在原基础上乘，
若“宫”的律数为81，按“三分损一”产生“徵”的律数为，
再按“三分益一”产生“商”的律数为，
再按“三分损一”产生“羽”的律数为，
故选：B．
10．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则＝（ ）
A．2﹣2﹣n B．2﹣21﹣n C．2﹣2n D．2﹣2n﹣1
解：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1①，
当n＝1时，解得a1＝1．
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1②，
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，
整理得（常数），
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以（首项符合通项），
故．
所以，
则．
故选：B．
11．过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M，N，若线段MN的中点为P，且线段FP的长为4，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0
C．x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0 D．x﹣y﹣＝0或x+y﹣＝0
解：抛物线C：y2＝4x的焦点F为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设直线l的方程为x＝my+1，A，B的纵坐标分别为y1，y2，
可得P（﹣1，），
联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1+y2＝4m，
所以P（﹣1，2m），
|FP|＝＝4，
解得m＝±，
所以直线l的方程为x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
解：设直线l与f（x）＝xlnx相切的切点为（m，mlnm），
由f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
则切线的方程为y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m），
将A（0，﹣1）代入切线的方程可得﹣1﹣mlnm＝（1+lnm）（0﹣m），
解得m＝1，则切线l的方程为y＝x﹣1，
联立，可得x2+（a﹣1）x+1＝0，
由△＝（a﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝﹣1或3，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面内单位向量，，满足++＝，则•＝ ﹣ ．
解：依题意，由++＝，
可得+＝﹣，
两边平方，可得（+）2＝（﹣）2，
即||2+||2+2•＝||2，
∵||＝1，||＝1，||2＝1，
∴1+1+2•＝1，
∴•＝﹣．
故答案为：﹣．
14．若实数x，y满足约束条件，则z＝ax+by（a＞b＞0）取最大值4时，的最小值为 2 ．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝ax+by（a＞b＞0）得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，
联立 ⇒C（1，2）；
故a+2b＝4，
＝（）（a+2b）＝（4+）≥（4+2）＝（4+4）＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时上式等号成立．
故答案为：2．
15．孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法．问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23，…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用105n+23（n∈N）表示．试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是 19 ．
解：被3除余1的数：1，4，7，13，16，19，22，25，28，……，
被4除少1的数：3，7，11，15，19，23，27，……，
被5除余4的数：4，9，14，19，24，……，
所以这个数最小是19，
故答案为：19．
16．三棱锥P﹣ABC的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且PA＝2PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值是 ．
解：如图，
过C作AB的垂线CD，垂足为D，由正三角形ABC的边长为3，可得CD＝，
∵面PAB垂直底面ABC，且面PAB∩底面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，CD⊥AB，
∴CD⊥平面PAB，
设PB＝x，则PA＝2x，由三角形两边之和大于第三边可得，1＜x＜3．
在△PAB中，由余弦定理可得，
cos，则sin∠PAB＝＝，
∴＝，
令t＝x2，则﹣x4+10x2﹣9＝﹣（t﹣5）2+16，当t＝5，即x＝时，S△PAB面积取最大值为＝3．
∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值是．
故答案为：．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AA1＝3，E，F分别为CC1，BD1的中点．
（1）证明：EF⊥平面BB1D1D；
（2）若∠DAB＝60°，求二面角A1﹣BE﹣D1的余弦值．
【解答】（1）证明：连结AC与BD交于点O，连结OF，
因为四边形ABCD是菱形，
所以O为BD的中点，
由因为F为BD1的中点，
所以OF∥D1D且OF＝D1D，
因为E为CC1的中点，
所以CE∥D1D且CE＝D1D，
OF∥CE且OF＝CE，
所以四边形OCEF为平行四边形，
故EF∥OC，
在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，
因为OC⊂平面ABCD，所以D1D⊥OC，
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即OC⊥BD，
又DD1∩BD＝D，D1D，BD⊂平面BB1D1D，
所以OC⊥平面BB1D1D，
因为EF∥OC，
所以EF⊥平面BB1D1D；
（2）解：由（1）可知，OF∥CE，
在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CE⊥平面ABCD，故OF⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，
所以△ABD与△CBD都是边长为2的正三角形，
所以OB＝OD＝1，OA＝OC＝BC•sin60°＝，
所以，
所以，
设平面A1BE的一个法向量为，
则，即，
令，则x＝9，z＝4，故，
设平面BED1的一个法向量为，
则，即，
令a＝3，则b＝0，c＝2，故，
所以＝，
由图可知，二面角A1﹣BE﹣D1为锐二面角，
故二面角A1﹣BE﹣D1的余弦值为．
18．某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五组，整理得到如下频率分布直方图：
（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表：
| 不少于6小时 | 少于6小时 | 总计 | |
| 甲班 | |||
| 乙班 | |||
| 总计 |
（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足ξ～N（μ，0.36），其中μ等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间（6.2，6.8]的概率．
参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
参考数据①：
| P（K2≥k0） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
解：（1）由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：（0.25+0.05）×1×40＝12人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人，
同理可得乙班学习时间不少于6小时的人数为（0.250+0.200）×1×40＝18人，乙班学习时间少于6小时的人数为22人，
2×2列联表如下：
| 不少于6小时 | 少于6小时 | 总计 | |
| 甲班 | 12 | 28 | 40 |
| 乙班 | 18 | 22 | 40 |
| 总计 | 30 | 50 | 80 |
∴没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关．
（2）甲班学生学习时间的平均数μ＝0.05×3.5+0.15×4.5+0.5×5.5+0.25×6.5+0.05×7.5＝5.6，
σ＝＝0.6，
∴P（6.2＜ξ≤6.8）＝P（μ+σ＜ξ≤μ+2σ）＝＝0.1359，
即甲班学生学习时间在区间（6.2，6.8]的概率为0.1359．
19．已知圆O：x2+y2＝b2经过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点F2，且经过点F2作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足，且＝6，试确定直线OA，OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解：（1）因为圆O经过椭圆的右焦点F2，所以b＝c，a＝，
又经过点F2作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为，所以（b，）在椭圆上，
即，解得b＝1，故a＝，
所以椭圆的方程为；
（2）直线OA，OB的斜率之积为定值，理由如下：
设A（x1，y1）B（x2，y2），由，得M（x1+x2，y1+y2），
故＝（x1+x2）+（x1﹣x2）＝2（x）＝6，
又点A，B在椭圆上，所以x，联立解得x，y，
由x，x，得x＝4﹣4（y）+4y＝4y，
所以x1x2＝±2y1y2，
从而k＝，即直线OA，OB的斜率之积为定值．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a﹣csinB＝bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且___，求△ABC的面积．（从①BD为∠B的平分线，②D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．）
解：（1）因为a﹣csinB＝bcosC，
所以sinA﹣sinCsinB＝sinBcosC．
即sin（B+C）﹣sinCsinB＝sinBcosC．
所以﹣sinCsinB＝sinBcosC．
即sinCcosB＝sinCsinB，
因为sinC＞0，
所以sinB＝cosB，即tanB＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝；
（2）①BD为∠B的平分线，b＝3，
所以∠ABD＝∠BDC＝，
因为S△ABC＝S△ABD+S△BDC，
所以＝，
即＝2a+2c，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣ac，
所以9＝（a+c）2﹣3ac＝，
解得ac＝6或ac＝﹣2（舍），
所以△ABC的面积S＝＝；
②D为AC的中点，b＝3，
则AD＝DC＝，
因为∠ADC＝π﹣∠BDC，
所以，
整理得a2+c2＝25，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣ac＝9，
所以ac＝，
所以△ABC的面积S＝＝．
21．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣xlnx，a∈R．
（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求a的取值范围；
（2）若n∈N+，求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜．
解：（1）∵f（x）＝x2﹣ax﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴当x∈[1，+∞）时，f′（x）＝2x﹣a﹣（1+lnx）≥0恒成立，
即a≤2x﹣lnx﹣1（x≥1）恒成立．
令g（x）＝2x﹣lnx﹣1（x≥1），
则g′（x）＝2﹣≥1＞0，
∴g（x）＝2x﹣lnx﹣1在区间[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝1，
∴a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]；
（2）证明：由（1）知，当a∈（﹣∞，1]时，f（x）＝x2﹣ax﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，
不妨令a＝1，则f（x）＝x2﹣x﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，
∴lnx≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立．
令x＝1+，则有ln（1+）≤，
∴ln[（1+）（1+）（1+）…（1+）]
＝ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）]
≤++…+＝＝（1﹣）＜，
∴（1+）（1+）（1+）…（1+）＜（证毕）．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，点A是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，满足2的点B的轨迹是C2．
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是（t为参数），点P的直角坐标是（﹣1，0），若直线l与曲线C2交于M，N两点，当线段|PM|，|MN|，|PN|成等比数列时，求cosα的值．
解：（1）点A是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，根据，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ，
由于点B满足2的点B的轨迹是C2．
所以A（2ρ，θ），
则C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（2）直线l的参数方程是（t为参数），点P的直角坐标是（﹣1，0），若直线l与曲线C2交于M，N两点，
所以将直线的参数方程代入（x﹣2）2+y2＝4，
得到（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2＝2（﹣1+tcosα），
化简得：t2﹣4cosαt+3＝0，
所以t1+t2＝4cosα，t1t2＝3，
当线段|PM|，|MN|，|PN|成等比数列时，
则|MN|2＝|PM||PN|，
整理得：，
故，
整理得．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x+1|，x∈R．
（1）求函数f（x）的图象与直线y＝6围成区域的面积；
（2）若对于m＞0，n＞0，且m+n＝4时，不等式f（x）≥mn恒成立，求实数x的取值范围．
解：（1）由题意得，f（x）＝
则函数f（x）的图象与y＝6 围成的区域为△ABC，如图所示，
且A（﹣2，6），B（﹣1，3），C（2，6），∴|AC|＝4，B到直线AC的距离为3，
故所求面积为S△ABC＝×4×3＝6，
（2）∵m＞0，n＞0，m+n＝4，∴mn≤＝4，
当且仅当m＝n时取等号，∴mn≤4，
若不等式f（x）≥mn恒成立，则有f（x）≥（mn）max，即f（x）≥4，
可得当①x≤﹣1时，﹣3x≥4，∴x≤﹣，
②当﹣1＜x＜2时，x+4≥4，∴0≤x＜2，
③当x≥2时，3x≥4，∴x≥2，
∴实数x的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．下载本文
