及判定

中考要求

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等． 

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

重、难点

重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

例题精讲

板块一、菱形的性质

【例1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为            

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是       

【例2】⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则

        度．

 ⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形 

的边长是______．

【例3】如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，

证明：与互相平分．

【例4】☆ 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于           ．

【巩固】☆如图，已知菱形的对角线于点，则的长为     

【例5】☆ 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为         

【巩固】如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（  ）

A．        B．       C．        D．

【巩固】如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（    ）

A．        B．         C．        D． 

【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（    ）

A．或    B．或      C．或       D．或

【巩固】菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于       ．

【巩固】如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（    ）

A．          B．         C．        D．

【例7】☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是            

【例8】如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．

【例9】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．

板块二、菱形的判定

【例10】如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是          ．

【例11】☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形

【巩固】已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.

【例12】如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．

【例13】☆如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分

【巩固】☆已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．

【例14】如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．

【例15】如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．

【巩固】☆如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；

⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？

三、与菱形相关的几何综合题

【例16】已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.

⑴求证四边形为菱形

⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？

课后练习

1.菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为        ．

2.如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为        

3.已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．

4.已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．

5.如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由． 

6.如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知．

⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵ 当为      度时，四边形为正方形．

7.如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．下载本文