一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）
A． a2＞b2 B． ab＞ac C． a﹣c＞b﹣c D． ac2＞bc2
2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）
A． 30° B． 30°或150° C． 60° D． 60°或120°
3．（5分）以下说法错误的是（）
A． 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B． “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C． 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D． 若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0
4．（5分）已知{an）是等比数列，an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）
A． 6 B． 12 C． 18 D． 24
5．（5分）在数列{an}中，若a1=1，an﹣an﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项an=（）
A． B． C． D． ﹣1
6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）
A． 有最大值﹣1，无最小值 B． 无最大值，有最小值﹣1
C． 有最大值7，有最小值﹣1 D． 无最大值，有最小值7
7．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）
A． ﹣2≤a≤1 B． a≤﹣2或1≤a≤2 C． a≥﹣1 D． a=1或a≤﹣2
8．（5分）在数列{xn}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）
A． B． C． D．
9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）
A． B． C． D．
10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）
A． 0＜B≤ B． 0＜B≤ C． 0＜B≤ D． ＜B＜π
二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．
11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是．
12．（5分）等差数列{an}前项和Sn满足S20=S40，则S60=．
13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．
14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．
15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．
三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知锐角△Sn+an=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．
17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．
18．（12分）等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn．等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求．
19．（12分）设z=2x+y，变量x，y满足条件
（1）求z的最大值zmax与最小值zmin；
（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmax，求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=zmin，求的最小值及此时a，b的值．
20．（13分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点（Sn，an）在直线zn=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．
21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
山东省临沂市四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．（5分）若 a＞b，则下列不等式正确的是（）
A． a2＞b2 B． ab＞ac C． a﹣c＞b﹣c D． ac2＞bc2
考点： 不等式的基本性质．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由已知中a＞b，结合不等式的基本性质，分析四个答案的真假，即可得到正确答案．
解答： 解：∵当0＞a＞b时，a2＜b2，故A错误，
a＞b与ab＞ac没有必然的逻辑关系，故B错误；
由不等式的基本性质一，不等式两边同减一个数，不等号方向不发生改变，可得C正确；
当c=0时，ac2=bc2，故D错误；
故选：C
点评： 本题考查不等关系与不等式，掌握不等式的基本性质是解决这一类问题的关键，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）
A． 30° B． 30°或150° C． 60° D． 60°或120°
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 直接利用正弦定理求解，利用特殊角的三角函数求解．
解答： 解：在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=4，b=4，∠A=30°
利用正弦定理：
解得：sinB=
则：B=6°或120°
故选D
点评： 本题考查的知识要点：正弦定理的应用，特殊角的三角函数值．
3．（5分）以下说法错误的是（）
A． 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B． “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C． 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D． 若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0
考点： 四种命题．
专题： 简易逻辑．
分析： 写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．
解答： 解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；
“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；
“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；
若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；
命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；
故选：C
点评： 本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．
4．（5分）已知{an）是等比数列，an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）
A． 6 B． 12 C． 18 D． 24
考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合an＞0，即可得到答案．
解答： 解：∵等比数列{an}中，an＞0，
又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，
∴a3+a5=12，
故选：B．
点评： 本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．
5．（5分）在数列{an}中，若a1=1，an﹣an﹣1=n，（n≥2），则该数列的通项an=（）
A． B． C． D． ﹣1
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 直接根据已知递推式利用累加法求数列的通项公式．
解答： 解：∵a1=1，an﹣an﹣1=n，
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+1
=（n≥2）．
验证n=1时成立．
∴．
故选：A．
点评： 本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．
6．（5分）函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上（）
A． 有最大值﹣1，无最小值 B． 无最大值，有最小值﹣1
C． 有最大值7，有最小值﹣1 D． 无最大值，有最小值7
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由x∈（﹣∞，0），可得﹣x∈（0，+∞）．变形f（x）=x++3=+3，利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵x∈（﹣∞，0），∴﹣x∈（0，+∞）．
∴f（x）=x++3=+3+3=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号．
∴函数f（x）=x++3在（﹣∞，0）上有最大值﹣1，无最小值．
故选：A．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
7．（5分）已知p：∀x∈，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）
A． ﹣2≤a≤1 B． a≤﹣2或1≤a≤2 C． a≥﹣1 D． a=1或a≤﹣2
考点： 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析： 先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．
解答： 解：p：∀x∈，x2﹣a≥0，即：
a≤x2在x∈上恒成立；
x2在上的最小值为1；
∴a≤1；
q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：
方程有解；
∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；
若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；
∴；
∴a≤﹣2，或a=1；
故选D．
点评： 考查对“∀”和“∃”两个符号的理解，二次函数最值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，p∧q真假和p，q真假的关系．
8．（5分）在数列{xn}中，=+（n≥2），且x2=，x4=，则x10等于（）
A． B． C． D．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，求出公差d，可得=+8d=，即可求出x10．
解答： 解：∵在数列xn中，=+（n≥2），且x2=，x4=，
根据等差中项的定义可知，数列{}是等差数列，
∴当n=3时，可得x3=，所以公差d==，
所以=+8d=，所以x10=．
故选C．
点评： 本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律，确定数列{}是等差数列是关键．
9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，已知∠A=60°，b=1，面积S=，则等于（）
A． B． C． D．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 首先利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出a的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．
解答： 解：已知∠A=60°，b=1，面积S=，
，
解得：c=4，
利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，
解得：a=，
利用正弦定理：==，
利用等比性质：=，
故选：A．
点评： 本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．
10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若边a，b，c成等差数列，则∠B的范围是（）
A． 0＜B≤ B． 0＜B≤ C． 0＜B≤ D． ＜B＜π
考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式求出cosB的范围，即可确定出B的范围．
解答： 解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即b=，
由余弦定理得：cosB===≥=（当且仅当a=c时取等号），
∵B为三角形内角，
∴B的范围为0＜B≤，
故选：B．
点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．
11．（5分）若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．
考点： 特称命题．
专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．
分析： 若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得答案．
解答： 解：若∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0是真命题，
则函数y=x2+（a﹣1）x+1的最小值小于0，
即方程x2+（a﹣1）x+1=0的△=（a﹣1）2﹣4＞0，
解得：a＞3或a＜﹣1，
故答案为：a＞3或a＜﹣1
点评： 本题考查的知识点是存在性问题，将恒成立问题或存在性问题，转化为函数的最佳问题，是解答的关键．
12．（5分）等差数列{an}前项和Sn满足S20=S40，则S60=0．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列{an}的前n项和Sn满足的性质S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，
即可得到答案．
解答： 解：∵等差数列{an}，
∴S20，S40﹣S20，S60﹣S40成等差数列，
∴2（S40﹣S20）=S20+（S60﹣S40）
∵S20=S40，
∴∴0=S20+（S60﹣S40）
∴S60=S40﹣S20=0
故答案为：0
点评： 本题考查等差数列的前n项和的性质，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（α）=4sin（2α﹣）+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，则a的值为．
考点： 余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由f（A）=6，根据已知解析式求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把bc与b+c，以及cosA的值代入即可求出a的值．
解答： 解：由题意得：f（A）=4sin（2A﹣）+2=6，即sin（2A﹣）=，
∴2A﹣=或2A﹣=（不合题意，舍去），即A=，
∵△ABC的面积为3，
∴bcsinA=3，即bc=6，
∵b+c=2+3，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=10，
则a=．
故答案为：
点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14．（5分）已知﹣4≤x+y≤6且2≤x﹣y≤4，则2x+3y的取值范围是（用区间表示）．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．
解答： 解：画出不等式组表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=2x+3y，
当直线经过x﹣y=2与x+y=6交点A（4，2）时，
目标函数有最大值z=2×4+3×2=14
当直线经过x﹣y=2，x+y=﹣4的交点B（0，﹣4）时，
目标函数有最小值﹣3×4=﹣12
z=2x+3y的取值范围是：
故答案为：．
点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
15．（5分）已知x，y为正实数，且满足2x2+8y2+xy=2，则x+2y的最大值是．
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 令x+2y=t，则x=t﹣2y，问题等价于方程14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有正数解，利用△≥0即可得出．
解答： 解：令x+2y=t，则x=t﹣2y，
方程等价为2（t﹣2y）2+（t﹣2y）y+8y2=2，
即14y2﹣7ty+2t2﹣2=0，
要使14y2﹣7ty+2t2﹣2=0有解，
则△=（﹣7t）2﹣4×14×（2t2﹣2）≥0，，．
即63t2≤56×2，t＞1．
∴t2≤，t＞1
即1＜t≤，当t=时，y=，x=满足条件．
∴x+2y的最大值等于．
故答案为：．
点评： 本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知锐角△Sn+an=2n中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．
考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与a的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．
解答： 解：∵C=60°，∴sinC=，
又S=absinC=，a=3，
∴b=2，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣6=7，
则b=2，c=．
点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
17．（12分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．
专题： 计算题．
分析： 利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．
解答： 解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；
由于a＜0，
则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），
故命题p成立有x∈（3a，a）；
由x2﹣x﹣6≤0得x∈，
由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪
分析： （I）根据线性规划原理，可得z的最大值zn=2n，从而得到Sn=2n﹣an．运用数列前n项和Sn与an的关系，算出2an=an﹣1+2，由此代入数列{an﹣2}再化简整理，即可得到{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出an=2﹣（）n﹣1，从而得到Sn=2n﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{Sn}的前n项和Tn的表达式．
解答： 解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，
区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值zn=2n
∵（Sn，an）在直线zn=x+y上
∴zn=Sn+an，可得Sn=2n﹣an，
当n≥2时，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣
化简整理，得2an=an﹣1+2
因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）
当n=1时，an﹣2=a1﹣2=﹣1
∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
（Ⅱ）由（I）得an﹣2=﹣（）n﹣1，
∴an=2﹣（）n﹣1，可得Sn=2n﹣an=2n﹣2+（）n﹣1，
∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得
即数列{Sn}的前n项和Tn=，（n∈N*）．
点评： 本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．
21．（14分）小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25﹣n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
考点： 函数模型的选择与应用．
专题： 应用题；不等式的解法及应用．
分析： （1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；
（2）由利润=累计收入+销售收入﹣总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．
解答： 解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则
（0＜n≤10，n∈N），
即y=﹣n2+20n﹣50（0＜n≤10，n∈N），
由﹣n2+20n﹣50＞0，解得，
而2＜10﹣＜3，
故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，
∴销售二手货车后，小王的年平均利润为
w==19﹣（n+）．
而=9．
当且仅当n=5时取等号．
即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．
点评： 本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．下载本文
