一、选择题（共11小题；共55分）
1. 如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是
A. 该质点的运动周期为
B. 该质点的振幅为
C. 该质点在和时运动速度最大
D. 该质点在和时运动速度为零
2. 如图是函数的图象， 是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点（， 可重合）．设线段的长为，则函数的图象是
A. B.
C. D.
3. 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 某人的血压满足函数式，其中为血压， 为时间，则此人每分钟心跳的次数为
A. B. C. D.
5. 一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动周期为时，线长等于
A. B. C. D.
6. 设是某港口水的深度（单位：）关于时间（单位：）的函数，其中．下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的数据：
经过长期观察，函数的图象可以近似地看成是函数的图象，下列函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7. 如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆，离开平衡位置的距离（单位：）和时间（单位：）的函数关系式为，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为
A. B. C. D.
8. 如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 若炮弹的初速度大小为，发射角（发射方向与水平方向所成角）为，则炮弹上升的高度与之间的关系式为
A. B.
C. D.
10. 电流随时间变化的函数关系式为，则当时，电流为
A. B. C. D.
11. 如图为一半径为的水轮，水轮圆心距离水面，已知水轮自点开始旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足函数关系，则有
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题（共39小题；共195分）
12. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（厘米）和时间（秒）的函数关系为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 秒．
13. 有一种波，其波形为的图象，若在区间上至少有两个波峰（图象的最高点），则正整数的最小值为 ．
14. 如图所示的是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是 ．
15. 如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：
（1）单摆的振幅为 ；
（2）振动频率为 ．
16. 如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：）在某天小时内的变化情况，则水面高度关于从夜间时开始的时间的函数关系式为 ．
17. 若电流强度（单位：）随时间（单位：）变化的关系式是，则当时，电流强度为 ．
18. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价元， 月份价格最低为元．根据以上条件可确定的解析式为 ．
19. 如图是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子相对平衡位置的位移，则这个振子振动的函数解析式是 ．
20. 点在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每秒运动一周，则经过时间后， 关于的函数解析式是 ．
21. 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是 ．
22. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置．若初始位置为，当秒针从（此时）正常开始走时，那么点的纵坐标与时间的函数关系为 ．
23. 已知某海滨浴场的海浪高度（单位：）是时间（，单位：）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测， 的曲线可近似看成是函数，根据以上数据，函数的解析式为 ．
24. 某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元， 月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为 ．
25. 一个物体相对于某一固定位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的一组对应值如下表：
则可近似地描述该物体的位移和时间之间关系的一个三角函数为 ．
26. 如图，一半径为的水轮，水轮圆心距离水面，若水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则 ．
27. 若函数的图象关于直线对称，则 ．
28. 一物体相对于某一固定位置的位移和时间之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位移和时间之间的关系的一个三角函数关系式为 ．
29. 某实验室一天的温度（单位）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，．若要求实验室温度不高于，则每天 时至 时需要降温．
30. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕的长度 ．
31. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可以近似地用函数来表示．已知月份的月平均气温最高为， 月份的月评价气温最低，为，则月份的平均气温值为 ．
32. 如图所示，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点自最低点点起经过后，点的高度（单位：），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点的高度在距地面以上的时间将持续 ．
33. 一物体相对于某一固定位置的位移和时间之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移和时间之间的关系的一个三角函数式为 ．
34. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为，12月份的月平均气温最低，为，则10月份的平均气温为 ．
35. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可以近似地用函数来表示．已知月份的月平均气温最高为， 月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温值为 ．
36. 如图，两座建筑物， 的底部都在同一水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是和，并且两建筑物相隔．若在线段上取一点（点与点， 不重合），从点看这两座建筑物的张角分别为，．当最小时， 的长为 ．
37. 如图，一个半径为米的水轮按逆时针方向每分钟转圈．记水轮上的点到水面的距离为（在水面下则为负数），则（米）与时间t（秒）之间满足关系式，且当点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：
①；②；③；④．
则其中所有正确结论的序号是 ．
38. 若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是 ．
39. 一个匀速旋转的摩天轮每旋转一周，最低点距店面，最高点距地面， 是摩天轮轮周上的一个定点，从点在摩天轮最低点时开始计时，则后点距店面高度为 ．
40. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点的距离表示成的函数，则 ，其中．
41. 如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图． 为观览车的轮轴中心，点距离地面的高度为，观览车转轮的半径为，其逆时针旋转的角速度为．点表示观览车上某座椅的初始位置，且，此时座椅距地面的高度为 ；当转轮逆时针转动后，点到达点的位置，则点的纵坐标与时间（单位：）的函数关系为 ．
42. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的月平均气温最高，为， 月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温值为 ．
43. 如图所示，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度（单位：），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点的高度在距地面以上的时间将持续 ．
44. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的月平均气温最高为月份的月平均气温最低为，则月份的平均气温值为
45. 如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数．据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为 ．
46. 某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（）来表示，已知月份的月平均气温最高，为， 月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温值为 ．
47. 一个单摆的平面图如图所示．设小球偏离铅垂直方向的角为，并规定小球在铅锤方向右侧时为正角，左侧时为负角． 作为时间的函数，近似满足关系，其中．已知小球在初始位置（即）时，，且每经过小球回到初始位置，那么 ； 作为时间的函数解析式是 ．
48. 如图，某地一天中时至时的温度变化曲线近似满足函数（其中），那么这一天时至时温差的最大值是 ；与图中曲线对应的一个函数解析式是 ．
49. 如图所示，一个半径为的圆形水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟绕圆心逆时针旋转圈．若点从如图位置开始旋转（平行于水面），那么后点到水面的距离为 ，试进一步写出点到水面的距离与时间满足的函数关系式 ．
50. 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/ ．上班高峰期某十字路口的车流量由函数（其中）给出， 的单位是辆/ ， 的单位是，则在下列的时间段：①；②；③；④中，车流量增加的是 ．（填序号）
三、解答题（共50小题；共650分）
51. 绳子绕在半径为的轮圈上，绳子的下端处悬挂着物体，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转圈，那么需要多少秒钟才能把物体的位置向上提升?
52. 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为，且与之间的函数关系式为，．
以横轴表示时间，纵轴表示高度，作出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题：
（1）小球开始振动（）时的位置在哪里?
（2）小球位于最高、最低位置时的值是多少?
（3）经过多少时间小球往返振动一次（即周期是多少）?
（4）小球每能往返振动多少次（即频率是多少）?
53. 一根长为的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是，．
（1）求小球摆动的周期和频率；
（2）已知，要使小球摆动的周期恰好是，则线的长度应当是多少?
54. 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间内离开平衡位置（静止时的位置）的距离由下面的函数关系式表示：．
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次?
（4）每秒内小球能往返振动多少次?
55. 如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为，东西向渠宽（从拐角处，即图中， 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点的一条直线与水渠的内壁交于， 两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；
（2）若从南面漂来一根长为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）?请说明理由．
56. 某商人以一年为一个周期调查某商品的出厂价及销售价时发现，该商品出厂价总是在元的基础上按月份随正弦曲线波动．已知月份出厂价最高为元， 月份出厂价最低为元，而该商品在商店内的销售价也是在元的基础上按月份随正弦曲线波动的．并已知月份销售价最高为元， 月份最低为元．假设某商店每月购进这种商品件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大．并说明理由．（， ）
57. 如图，已知侧面长为，底面宽为的长方体木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚三次后，被一个小木块挡住，使木板底面与桌面成角．求点走过的路程及走过弧度所在扇形的总面积．
58. 某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．
（1）试根据以上数据，求出（） 的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略进出港所用的时间）
59. 如图所示，某交通协管员站在距离公路的处测到一辆在公路上行驶的轿车从点到点所用的时间为秒，已知，．问该轿车在这一段公路上是否超过的速度?
60. 已知电流在一个周期内的图象如图所示：
（1）根据图中数据求的解析式；
（2）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少?
61. 弹簧振子以点为平衡位置在， 间做简谐运动，， 相距，某时刻振子位于点，经振子首次到达点．求：
（1）振动的周期和频率；
（2）振子在内通过的路程及此时位移的大小．
62. 如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
63. 某港口水深（单位：）是时间（，单位：）的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦型函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略船离港所用的时间）
. 已知某海滨浴场的海浪高度（单位：）是时间（，单位：）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据．
经长期观测， 的曲线可近似地看成是函数．
（1）根据上表数据，求函数的最小正周期、振幅及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度等于或高于时才对冲浪爱好者开放．请根据（1）的结论，判断一天内上午至晚上之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动?
65. 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（单位：）和时间（单位：）的函数关系式为．
（1）作出它的图象；
（2）单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米?
（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米?
（4）单摆来回摆动一次需多长时间?
66. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为， 秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离是．
（1）求与间的函数关系式；
（2）设从开始转动，经过后到达，求与之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时，用的最少时间是多少秒?
67. 如图所示，某大风车的半径为，每转一周，它的最低点离地面，风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为．
（1）求函数的关系式；
（2）画出函数的图象．
68. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如下图所示的坐标系，设秒针位置．若初位置为，当秒针从（注：此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数解析式为
(1) A. B.
C. D.
69. 如图，圆上一点（轴上）沿逆时针方向做匀速圆周运动．已知点每分钟转过角，经过到达第三象限，经过回到原来的位置，那么是多少弧度?
70. 已知电流与时间的关系式为．
（1）如图所示是（，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式．
（2）如果在任意一段的时间内，电流都能取得最大值与最小值，那么的最小正整数值是多少?
71. 如图，圆上一点（轴上）沿逆时针方向做匀速圆周运动．已知点每分钟转过角（），经过到达第三象限，经过回到原来的位置，那么是多少弧度?
72. 已知图象的一部分如图所示．
（1）写出，， 的值；
（2）已知，求出的单调增区间．
（3）若是图象上的一个最高点，则用单位圆上的圆心角（弧度数）表示为．现有图象上两个点，（轴）对应的横坐标分别为， 的大小．
73. 如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形，上部是圆弧，该圆弧所在圆的圆心为．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗（其中， 在圆弧上，， 在弦上），过作，交于，交于，交圆弧于．已知，（单位：），记通风窗的面积为（单位：）．请按下列要求建立函数关系式：
（1）设，将表示成的函数；
（2）设，将表示成的函数．
74. 某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温?
75. 某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，．
（1）求实验室这一天上午时的温度；
（2）求实验室这一天的最大温差．
76. 如图，在半径为，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形，其中， 两点分別在半径， 上，， 两点在弧上，且，．
（1）若， 分別是， 中点，求四边形面积的最大值．
（2）若，求四边形面积的最大值．
77. 已知电流与时间的关系式为．
（1）如图所示是在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式．
（2）如果在任意一段的时间内，电流都能取得最大值与最小值，那么的最小正整数值是多少?
78. 如图，有一块正方形区域，现在要划出一个直角三角形区域进行绿化，满足： 米，设，，边界，， 的费用为每米万元，区域内的费用为每平方米万元．
（1）求总费用关于的函数．
（2）求最小的总费用和对应的值．
79. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知 3 月份达到最高价千元，7月份价格最低为千元，该商品每件的售价为（为月份），且满足．
（1）分别写出该商品每件的出厂价函数、售价函数的解析式；
（2）问哪几个月能盈利?
80. 如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为，圆上最低点与地面的距离为，缆车每转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面的距离为．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）设从开始转动，经过达到，求与之间的函数解析式，并计算经过后缆车距离地面的高度．
81. 已知某海滨浴场的海浪高度是时间（，单位：）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据．
经长期观测， 的曲线可近似地看成是函数．
（1）根据上表数据，求函数的最小正周期、振幅及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度等于或高于时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内上午至晚上之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动．
82. 某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形的圆心角，半径为．现欲修建的花园为平行四边形，其中， 分别在， 上， 在上．设，平行四边形的面积为．
（1）将表示为关于的函数；
（2）求的最大值及相应的值．
83. 某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略离港所用的时间）
84. 如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；
（2）点第一次到达最高点大约需要多少时间?
85. 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间（）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为（），且与之间的函数关系式为， ．以横轴表示时间，纵轴表示高度，这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图如下，并回答下列问题：
（1）小球开始振动（）时的位置在哪里?
（2）小球位于最高、最低位置时的值是多少?
（3）经过多少时间小球往返振动一次（即周期是多少）?
（4）小球每能往返振动多少次（即频率是多少）?
86. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为， 秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离是．
（1）求与间的函数关系式；
（2）设从开始转动，经过秒 后到达，求与之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时，用的最少时间是多少秒?
87. 如图，在直径为的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示为的函数；
（2）求十字形的面积最大值．
88. 某污水处理厂欲在一个矩形污水处理池的池底铺设呈直角三角形的污水净化管道（是直角顶点）来处理污水，管道越短，则铺设管道的成本越低．已知该管道的接口是的中点， 、分别落在线段、上（如图所示）． ， ，记．
（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出函数定义域；
（2）当取何值时，铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度．
. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
（1）根据以上数据，求出函数的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内 \（ \\left（0：00\hicksim24：00\\right） \） 何时能进入港口然后离开港口?每次在港口能停留多久?
90. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（， 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为且，设，透光区域的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．
91. 某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点、及的中点处，已知，．为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设排污管道、、．设排污管道的总长为．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示为的函数关系式．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短．
92. 如图， 是一块边长为的正方形地皮，其中是一半径为的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点在上，相邻两边落在正方形的边．求矩形停车场的面积的最大值和最小值．
93. 如图，扇形是一个植物园的平示意图，其中，半径，为了方便游客观赏，拟在园内铺设一条从入口到出口的观赏道路，道路由弧，线段，线段和弧组成，且满足：，，，（单位：），设．
（1）用表示的长度，并求出的取值范围；
（2）当为何值时，观赏道路最长?
94. 如图，某市规划一居民区， 千米， 千米．决定从该地块中划出一个直角三角形地块建活动休闲区（点， 分别在线段， 上），且该三角形的周长为千米，三角形的面积为．
（1）①设，求关于的函数关系式；
②设，求关于的函数关系式．
（2）试确定点的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值．
95. 如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数（，），的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为直线跑道，且，；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当矩形草坪的面积取最大值时的值．
96. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角形区域构成，其中，， 在一条直线上，．记该项设施平面图的面积为，，其中．
（1）．写出关于的函数关系式；
（2）如何设计，使得有最大值?
97. 已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点落在矩形的边上，且折痕的两端点分别位于边上，设．
（1）试将表示成的函数；
（2）求的最小值．
98. 下表是某地一年中天测量的白昼时间统计表（时间近似到，一年按天计算）：
（1）以日期在365天中的位置序号工为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标系中画出这些数据的散点图；
（2）试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于．
99. 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成， 米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．
（1）试将表示为的函数，并写出定义域；
（2）求时间最短时的值．
100. 如图，矩形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点， 分别在边与上），为切点．
（1）试求观光道路长度的最大值；
（2）公园计划在道路右侧种植草坪，试求草坪面积的最大值．
答案
第一部分
1. B
2. A 【解析】当时，；当时，．
3. C 【解析】相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期．
4. C 【解析】由于，故函数的周期，所以，即每分钟心跳的次数为．
5. D
6. A 【解析】对表中数据作近似处理，得下表：
可见，，且，
所以．
将， 代入选项检验即可．
7. C 【解析】由题意，知周期．
从最右边到最左边的时间是半个周期，为．
8. B
9. B
10. B
11. A
第二部分
12.
13.
【解析】，
所以当时，函数单调递增，
当时，；当时，，
所以第二个波峰对应的的值为，即的最小值为．
14.
15. ，
16.
【解析】将题图看成的图象．
由图象，知，，
所以，
将看成函数图象的第一特殊点，则，
所以．
所以函数关系式为．
17.
【解析】当时，．
18.
【解析】作出函数简图如图所示，
由题意，知，，，
所以．
将看成函数图象的第二个特殊点，则有．
所以．
故．
19.
20.
21.
【解析】据题意可设．
由已知周期为，可知当时到达最高点，即函数取最大值，
所以，即，
所以，得，
所以．
22.
【解析】由三角函数的定义可知，初始位置点的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为，针尖位置到坐标原点的距离为，故点的纵坐标与时间的函数关系可能为．
23.
【解析】由表格得的最大值为， 的最小值为，
所以，．易知，则，
所以．
24.
【解析】由最高价千元，最低价千元，可得，从而，
又因为，
所以，
所以，代入，可得，
所以．
25.
【解析】设，，当时，，当时，，
所以
所以．
26.
【解析】，．
27.
【解析】关于直线对称， 或，而，所以．
28.
29. ，
【解析】，
解得，解得．
30.
【解析】由已知及对称性知，，，
又，所以，
又由得：
31.
32.
33.
【解析】设，则从表中可以得到，，又由，可得，取，故，即．
34.
【解析】根据题意得，，
解得，，
所以，
令，
得．
35. 略
36.
【解析】令，
则，
根据题给条件，有，，
所以
当且仅当，
即时取“”．
又，
所以．
所以当时， 的值最小．
37. ①②④
38.
【解析】由题意得，平移之后的函数为，由于它是偶函数，所以，即，又，，从而．
39.
【解析】以摩天轮的中心为坐标原点、水平方向为轴、竖直防线为轴建立平面直角坐标系，设点距地面的高度和时间的关系式为．由题意得，，，，所以，再将点代入上式得， 由得，所以，即，当时，．
40.
【解析】将解析式可写为形式，由题意易知，当时，，得；当时，，可得，所以．
41. ，
【解析】提示：由三角函数定义可得，即；，即．
42.
【解析】依题意知，，，
所以，当时，．
43.
【解析】根据题意，
解得
即
解得
44.
【解析】由题意得所以
所以，
时，．
45.
【解析】由图象知，函数的最小值为，所以，得，所以这段时间水深的最大值为．
46.
【解析】化简函数的解析式，得
由题意，得
解得从而函数的解析式为
当时，
47. ，，（注；不写定义域不扣分）
48. ，，（答案不唯一）
49. ，
【解析】每秒点转过的角度为； 秒后， 转过的角度为．
以水轮中心为原点，以水平方向为轴建立坐标系，
所以水轮上任意一点．
其中为从水平位置逆时针转过的角度，即，
所以到水面的距离．
50. ③
【解析】因为函数在时单调递增，
所以，，
因为当时，，而，
所以③符合要求．
第三部分
51. 设需秒上升．则，
所以（秒）
答：需要秒钟才能把物体的位置向上提升．
52. （1） 所作图象如下．
将代入，得，
即小球开始振动时的位置在平衡位置上方处．
（2） 最高时，最低时．
（3）．
（4）．
53. （1） 因为，所以，．
（2） 若，则．
54. （1） 令，得，所以小球开始振动的位置为．
（2） 最高点为，最低点为．
（3），即每经过约秒小球往返振动一次．
（4），即每秒内小球往返振动约次．
55. （1） 由题意，，，
所以，
即，．
（2） 设，．
由，
令，得．
且当，；
当，，
所以， 在上单调递减；在上单调递增，
所以，当时， 取得极小值，即为最小值．
当时，，，
所以的最小值为，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为．
因为，
所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
56. 如图，由条件得商品的出厂价格函数为．
设该函数的周期为，
则，，
又振幅，而在一个周期内当时取最大值，
所以，
得，
所以商品出厂价格函数为．
同理，商品销售价格函数为．
利润函数为，所以当时， 取最大值，为，即月份盈利最大．
57. 路程为
面积为
58. （1）．
（2） 由于船的吃水深度为米，船底与海底的距离不少于米，
故在船舶航行时水深应大于等于（米）．
令，
故，
取，则；取，则；而取时，则（不合题意）．
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨点（点到点都可以）进港，而下午的点（即点到点之间）前离港，在港内停留的时间最长为小时．
59. ，，
所以，
所以，
所以超速了．
60. （1） 由图象可知，，周期，
所以，
又由，且，得，
所以．
（2） 由题意，即．
又，
所以．
故的最小正整数值是．
61. （1） 设振幅为，则，，设周期为，则，，．
（2） 振子在内通过的距离为，故在内通过的距离， 末物体处在点，所以它相对平衡位置的位移为．
62. （1） 由题图所示，这段时间的最大温差是：．
（2） 图中从时到时的图象是函数的半个周期的图象，
所以，解得．
由图示，，．
这时．
将， 代入上式，可取．
综上，所求的解析式为，．
63. （1） 从拟合的曲线可知，函数的一个周期为，因此．
又，，
所以，，
所以函数解析式为．
（2） 由题意，水深，
即，
所以，
所以，，
所以或，
所以该船在至或至能安全进港．
若欲当天安全离港，则它在港内停留的时间最多不能超过．
. （1） 由表中数据，知周期，
所以．
由，，得．
由，，得．
所以．
所以．
（2） 因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
又因为，
所以，即．
所以冲浪爱好者从上午到下午有可进行运动．
65. （1） 列表如下：
图象如图所示．
（2） 因为当时，，
所以此时离开平衡位置．
（3） 因为，
所以摆动到最右边时，离开平衡位置．
（4） 因为，
所以来回摆动一次所需的时间为．
66. （1） 以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以为始边， 为终边的角为，故点的坐标为，
所以．
（2） 点一秒钟在圆上转动的角度是，故秒转过的弧度数为，
所以，．
到达最高点时，，由，得，，
所以，
当时， 有最小值．
所以缆车到达最高点时，用的时间最少为秒．
67. （1） 如图，以为原点，过点的园得切线为轴建立直角坐标系，设点的坐标为，则．
设，则，．
又，即，所以，
．
（2） 函数的图象如图所示．
68. 2
【解析】由题意知，函数的周期为，所以．设函数解析式为．因为初始位置为，所以时，，所以，所以可取，所以函数解析式为．
69. 由得，
，
解得，故．
70. （1）．
（2），
所以，
所以取．
71. 或．
72. （1），，．
（2）．
当为增函数时，，
即，
所以的递增区间为．
（3） 延长线段交单位圆于点（如图），过作轴于点，则为， 对应的正弦线．
因为，
所以．
因为，
所以．
73. （1） 由题意知，，，故．
在中，，．
在矩形中，，，
故．
即所求函数关系是，，其中．
（2） 因为，，
所以．
在中，，
在矩形中，，，
故，
即所求函数关系是，．
74. （1） 因为
又，所以
从而
当时，
当时，
于是在上取得最大值，取得最小值．
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为．
（2） 依题意，当时实验室需要降温．
由（1）及题意得
即
又，因此
解得
故在时至时实验室需要降温．
75. （1）
故实验室上午时的温度为．
（2） 因为
又，所以
当时，
当时，
于是在上取得最大值，取得最小值．
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为．
76. （1） 连接，，
则四边形为梯形．
设，则，且此时，
四边形面积
所以， 取最大值．
（2） 设，
由可知，，
所以，
所以四边形面积，
所以当， 取最大值为．
77. （1） 略．
（2） 略．
78. （1） 由题意可知，，，，
则，即．
（2） 令，则，
又，所以．
则，它在单调递增．
所以，即或时， 取到最小值．
79. （1）；
由题意可得，，，，；
所以（， 为正整数）；
（， 为正整数）．
（2） 由，得．
所以
因为，所以
时，，；
时，，．
所以，故月份能盈利．
80. （1） 如图所示，过点作地面的平行线交于点，过点作的垂线交于．
当时，，
．
同理，当时，上面关系式也适合，
因此．
（2） 点在上逆时针运动的角速度是，
所以转过的弧度数为，
于是，．
当时，，
即经过后缆车距离地面．
81. （1） 由表中数据知周期，
∴．
由，，得．
由，得，
∴，
∴．
（2） ∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
∴冲浪爱好者从上午到下午有小时可进行运动．
82. （1） 如图，过作于，过作于．
，
，，
，
，．
（2）
，
，
当，即时， 取得最大值，且最大值为．
83. （1） 从拟合的曲线可知，函数的一个周期为小时，因此.
又，，
所以，
．
所以函数的解析式为．
（2） 由题意，水深，
即，
所以，
所以或，
所以，该船在至或至能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过小时．
84. （1） 如图所示建立直角坐标系，
设角是以为始边， 为终边的角．
每秒钟内所转过的角为．
由在时间内所转过的角为．
由题意可知水轮逆时针转动，
得．
当时，，得，即．
故所求的函数关系式为．
（2） 令，
得，
令，得，
故点第一次到达最高点大约需要．
85. （1） 将代入，得，
即小球开始振动时的位置在平衡位置上方处．
（2） 最高时，最低时．
（3）．
（4）．
86. （1） 以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以为始边， 为终边的角为，故点的坐标为，
所以．
（2） 点一秒钟在圆上转动的角度是，经过秒转过的弧度数为，
所以， ． 到达最高点时，，由，得，所以，
当时， 有最小值．
所以缆车到达最高点时，用的时间最小为秒．
87. （1） 设为十字形的面积，则
（2） 根据题意可得
其中．
当，即时， 最大，最大值为．
88. （1） 由已知，，，且，
所以，所以，
所以
所以，．
（2），
设，则，，
于是，
因为在单调递减，
所以当，即时， 最短，铺设管道的成本最低．
此时，管道的长度为 ．
. （1） 由表格知，，
，．
，所以，即．
当时，，解得，又，所以．
所以．
（2） 货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港.
令，得．
所以，
解得，
又，故时，； 时，，
即货船可以在时进港，早晨时出港；或在中午时进港，下午时出港，每次可以在港口停留小时左右．
90. （1） 过点作于，
所以；
又，，
所以
因为，
所以，
所以；
所以关于的函数关系式为，．
（2） 由，
所以，
设，，
则
因为，
所以，
所以，
所以，
所以在上是单调减函数；
所以当时取得最大值为，
此时；
所求的长度为．
91. （1） 因为所以在的垂直平分线上，取的中点
又是的中点，所以点在上．
因为，．
①在中，，，，
②因为，所以．
在中，
故．
（2） 若选择①，因为，
所以只需求函数的最小值．
那么
解得，取等号时， 有最小值，此时
即污水处理厂点的位置在的垂直平分线上距离边处．
若选择②，则得，两边平方，化简得
由得
化得
解得
当时，
92. 设，延长交于，则，，
所以，．
故
令，则．
所以．
由于，当时，，
故当时， 取得最小值；
当时， 取得最大值．
即矩形停车场的面积的最大值为，最小值为．
93. （1） 因为，，，所以，
于是在中，，，，，
从而由正弦定理得，
即
所以，，
因为，即，
所以，而，所以，
故．
（2） 由知，观赏道路长
即，
所以，
令，得，因，所以，
因为当时，，，
所以当时， 取得最大值，即观赏道路最长．
94. （1） ① 设，则，解得， 所以
② 设，则，，从而，解得，所以
（2） 法一：设，则
当且仅当，即，亦即时，．
法二：设，则
所以
因为当时为增函数．
所以当，即时，．
95. （1） 由条件得，．
，
，
曲线段的解析式为．
当时，．
又，
，
．
（2） 由（1）可知．又点在圆弧上，．
又，，
矩形草坪的面积为
，
，
当，即时， 取得最大值．
96. （1） 因为扇形的半径为，，
所以．
过点作边的垂线，垂足为，如图所示．
则，所以
由，得，于是
（2） 由，得，
则．
由，得，
即．
由，得，
所以，即．
根据实际意义知，当时，该函数取得最大值．
因此，设计时，能使得有最大值．
97. （1） 如图所示，，则，．由题设得： 从而得
即：．
由
得：． 表示成的函数为：．
（2） 设（）．则，．
令得．当时，， 为单调递增函数；当时，， 为单调递减函数．
所以当时， 取到最大值，．
所以的最小值为．
98. （1） 散点图：
（2） 由散点图可知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为，且从图中看出，函数的最大值为，最小值为，故，．由得．又，所以．
当时，，所以（等于，， 均可）．
所以可选用函数．
（3） 由得，所以，解得，
所以．因此，该地一年中大约有天（或天）白昼时间大于．
99. （1） 过作于，
则，，，，
所以，．
（2），
，
记，，
故当时，时间最短．
100. （1） 设，
因为点， 分别在边与上，
所以，则，
在中，，
在中，，，
因为，所以当时，，．
答：观光道路长度的最大值为．
（2） 在中，，
由（）可得，
，，
令，解得：．
因为在时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即的最大值．
所以当时，．
答：草坪面积的最大值为．下载本文
