数学试卷（文科）      

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共40分）

注意事项： 

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．已知是虚数单位，则复数

2．已知x、y满足约束条件则目标函数的最大值为        

0       3        4       6

3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的是

4．“”是“函数是奇函数”的

充分不必要条件      必要不充分条件 

充要条件            既不充分也不必要条件

5.设，，，则的大小关系是

6．函数为增函数的区间是

7．若抛物线的准线与双曲线的一条渐近线交点的纵坐标

为，则这个双曲线的离心率为

8．已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是   

或            或

2013天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

  数学试卷（文科）         

第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共3页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上。

2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上.

9．设全集是实数集，，，则图中阴影部分表示的集

合等于____________.（结果用区间形式作答）

10. 如图，是圆的切线，切点为，，是圆的直径，

与圆交于点，，则圆的半径等于________． 

11.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为        ．

12．已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.  

13．在矩形中，. 若分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_________.                       

14．定义：表示大于或等于的最小整数（是实数）．若函数，则函数的值域为____. 

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （本题满分13分）

某市有三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查．

（Ⅰ）求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．

16．（本题满分13分）

中角所对的边之长依次为，且， 

（Ⅰ）求和角的值；      

（Ⅱ）若求的面积．

17.（本题满分13分）

在如图的多面体中，⊥平面，,，

，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值； 

（Ⅲ）求证：．

18．(本题满分13分）

已知数列的前项和为，且，数列满足，

且.

（Ⅰ）求数列、的通项公式，并求数列的前项的和；

（Ⅱ）设，求数列的前项的和．

19. (本题满分14分) 

已知函数，，是实数.

（Ⅰ）若在处取得极大值，求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数有三个零点，求的取值范围．

20. (本题满分14分) 

已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；

（Ⅲ）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，

试证明：无论取何值时，恒为定值.

答案详解

1. 【答案】A    ，选A.

2. 【答案】C

由得。做出可行域，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由，解得，即,代入直线得，所以目标函数的最大值为4，选C.

3. 【答案】D

第一次循环，;第二次循环，;

第三次循环，;第四次循环，不满足条件，输出，选D.

4. 【答案】A因为函数的定义域为所以，即，解得，所以“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件，选A.

5. 【答案】B, , ,所以，选B.

6. 【答案】C,由，得，因为，所以当时，得函数的增区间为，选C.

7. 【答案】D

抛物线的准线方程为，双曲线的一条渐近线为，当，，即，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为，选D.

8. 【答案】D当时，函数，做出函数的图象如图设，由图象可知要使方程在区间内有个不等实根，则直线经过点或时，有3个交点。过时，有2个交点。所以实数的取值范围是或，即选D.

9. 【答案】，，阴影部分表示的集合为,所以，所以。

10. 【答案】由切割线定理可得,，即,所以,因为是圆的直径，所以，所以,所以，即，所以,即。

11. 【答案】

由三视图可知，该几何体时底面是直角梯形侧棱垂直底面的一个四棱锥。四棱锥的高为2，底面梯形的上底是1，下底为2，梯形的高是2，所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。

12. 【答案】因为，，所以，，因为，，成等比数列，所以，所以。因为，即，当且仅当，即取等号，所以的最小值是。

13. 【答案】将矩形放入坐标系如图，则。设，,，因为,所以，即，所以,即，，所以，因为，所以，即的范围是。

14. 【答案】因为，。

若，则，，此时，即。

若，则，，，所以，。此时，，所以。

若，则，，，所以，。此时，，所以。综上或，所以的值域为。

15. （本题满分13分）

某市有三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查．

(Ⅰ)求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

(Ⅱ)若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．

15．解：（I）抽样比为                      ………………2分

故应从这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1    ………………4分

（II）在抽取到的6名干事中，来自高校的3名分别记为1、2、3；

来自高校的2名分别记为a、b；来自高校的1名记为c   ……………5分

则选出2名干事的所有可能结果为：

{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，c}；{2，3}， {2，a}，

{2，b}，{2，c}； {3，a}，{3，b}，{3，c}；{a，b}，{a，c}；{b，c}，  …8分

共15种                                             ………………9分

设A={所选2名干事来自同一高校}，

事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}， {2，3}，{a，b}   ………………10分

共4种，                                              ………………11分

                                              ………………13分

16．（本小题满分13分）中，角A，B，C所对的边之长依次为，且

()求和角的值；

()若求的面积．

16．解：()由，，得    ………………1分

由得，            ………………3分

，，，………………5分

∴………………7分

∴，             ………………8分

∴，∴．                   ………………9分

()应用正弦定理，得，    ………………10分

由条件得           ………………12分

．            ………………13分

17．（本题满分13分）在如图的多面体中，⊥平面，,，，

，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正切值． 

（Ⅲ）求证：．

17．解：（Ⅰ）证明：∵，

∴．           ………………1分

又∵,是的中点，

∴，           ………………2分

∴四边形是平行四边形，

∴．              ………………3分

∵平面，平面，

∴平面．           ………4分

（Ⅱ）证明：∵平面，平面，      

∴，             ……5分

又，平面，

∴平面．                             …………6分

过作交于，连接，则平面， 

是在平面内的射影，

故直线与平面所成的角.         …………7分

∵，∴四边形平行四边形，∴，

在中，，

在中，       

所以，直线与平面所成的角的正切值是．……………9分

（Ⅲ） 解法1

∵平面，平面， ∴．…………10分

，

∴四边形为正方形，∴，       …………………11分

又平面，平面，

∴⊥平面．                          …………………12分

∵平面，

∴．                             ………………………13分

解法2

∵平面，平面，平面，∴，，

又，∴两两垂直．

以点E为坐标原点，分别为

轴建立如图的空间直角坐标系．

由已知得（2，0，0），（2，4，0），

（0，2，2），（2，2，0）．

∴，．

∴．∴．       …………………13分

18．（本题满分13分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.

（Ⅰ）求数列、的通项公式，并求数列的前项的和；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．解：（Ⅰ）当，；                …………………………1分

当时， ，∴，   ……………2分

       ∴是等比数列，公比为2，首项， ∴  ………3分

    由，得是等差数列，公差为2.   ……………………4分

又首项，∴             ………………………………5分

∴

∴         ①

①×2得  ②…6分

①—②得：

………7分

                   ……8分

，                                 ……9分

                              ………10分

 （Ⅱ）                       ………11分

．       ………12分

                            ………13分

19．（本题满分14分）已知函数，，是实数.

()若在处取得极大值，求的值；

()若在区间为增函数，求的取值范围；

()在()的条件下，函数有三个零点，求的取值范围．

19．()解：                      ……………1分

由在处取得极大值，得，…………………2分

所以（适合题意）.                            …………………3分

()，因为在区间为增函数，所以在区间恒成立，  …………………5分

所以恒成立，即恒成立．      ………………6分

由于，得．的取值范围是．    …………………7分

()  ， 

故，得或．……………8分

当时，，在上是增函数，显然不合题意．…………9分

当时，、随的变化情况如下表：

要使有三个零点，故需，    …………………13分

解得．所以的取值范围是．         …………………14分

20．（本题满分14分）已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；

（Ⅲ）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，

试证明：无论取何值时，恒为定值。

20．解：（Ⅰ）∵  ，  ……1分, 

   ∴      …………3分

∴椭圆的标准方程为.               …………………4分

(Ⅱ)联立方程得                      

消得，解得   ……………6分

设所求圆的方程为：      

依题有  ………………8分

解得所以所求圆的方程为：.  ………9分

（Ⅲ）证明：设，联立方程组

消得                        ---------------10分

在椭圆内，恒成立。设，

则，             -----------11分

， 

                     ---------12分

                               -------------13分

为定值。         ---------14分下载本文