数 学

本试卷共题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟。

每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分.

1.（2012安徽，1,4分）下面的数中，与－3的和为0的是 ………………………….（      ）

A.3     B.－3      C.    D. 

考点解剖：本题考查了有理数的运算，解题的关键掌握有理数的加法法则。

解题思路：方法一：根据有理数的加法法则，互为相反的两个数的和为0，可以做出正确的选择。方法二：也可以根据有理数的加法与减法互为逆运算来求解。

解答过程：（1）∵互为相反数的两个数的和为0，而－3的相反数是3,，∴这个数是3，故选A.（2）∵所求的数与－3的和为0，∴这个数是0－（－3）=0+3=3，故选A.

答案：A.

规律总结：有理数加法运算可以根据其法则先确定结果的符号，再确定结果的绝对值；也可以依据有理数加减法互为逆运算，先列出符合题意得算式，再运算。

关键词：相反数  有理数的加法  有理数的减法 

2. （2012安徽，2,4分）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（     ）

A.                B.                  C.                    D.

考点解剖：本题考查了三视图的概念，正确理解主视图（正视图）的概念是解题的关键。

解题思路：根据三视图（主视图）的概念，找到各选项的主视图，从而正确选择主视图是三角形的选项。

解答过程：选项A、B、D图形的主视图是矩形，只有选项C图形的主视图是三角形，故选C.

答案：C.

规律总结：我们从不同的方向观察同一个物体，可能看到不同的图形，其中把从正面看到的平面图形叫做主视图。

关键词：画三视图

3.（2012安徽，3,4分）计算(－2x2)3的结果是（     ）

A.－2x5          B.－8x6       C.－2x6        D.－8x5

考点解剖：本题考查了幂的运算性质中的积的乘方和幂的乘方的运算性质，正确掌握幂的运算性质是解题的关键。

解题思路：先根据积的运算性质，分别把－2和x2乘3次方，再根据乘方的意义求（－2）3和根据幂的乘方运算性质（x2）3的结果。

解答过程：∵（－2x2)3=(－2)3·(x2)3=－8x6,∴选B.

答案：B.

规律总结：（1）积的乘方等于积中各因式分别乘方，系数是积的一个因数也要乘方；（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，注意不要与同底数的乘法法则相混淆。

关键词：幂的乘方  积的乘方

4. （2012安徽，4,4分）下面的多项式中，能因式分解的是（   ）

A.m2+n          B.m2－m+1          C.m2－n        D.m2－2m+1

考点解剖：本题考查了因式分解的方法，掌握因式分解的方法是解答本题的关键。

解题思路：因式分解的方法有两种：提公因式法和公式法，把选项中能用提公因式法或公式法分解因式的多项式找出来即可。

解答过程：选项A中的两项没有公因式，更不符合公式法的形式，不能因式分解；选项B有一点象完全平方公式，但一次项系数缺少了2倍，也不能因式分解，选项C没有公因式，用平方差公式第二项由缺少了平方，因此不能因式分解，只有选项D能用完全平方公式进行因式分解。故选D

答案：D.

规律总结：1.能用提公因式法分解因式的多项式，各项必须存在公因式，这个公因式可以是单项式，也可以是多项式；2.能用平方差公式分解因式的多项式应满足条件是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能用完全平方公式分解因式的多项式应符合a2±2ab+b2=(a±b)2,左边是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。

关键词：因式分解 提取公因式法  运用公式法

5. （2012安徽，5,4分）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（    ）

A.（a－10％）（a+15％）万元     B. a（1－10％）（1+15％）万元    

C.（a－10％+15％）万元          D. a（1－10％+15％）万元

考点解剖：本题考查了列代数式的知识。解答增长率问题的关键是正确理解正增长和负增长的意义，以及增长率问题之间的数量关系。

解题思路：先根据负增长的意义求出4月份的产量，再根据正增长的意义求出5月份的产量。

解答过程：因为3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10％，所以4月份的产量为a（1－10％）万元，又5月份比4月份增加了15％，所以5月份的产量为 a（1－10％）（1+15％）万元。故选B.

答案：B.

规律总结：增长率问题首先找出基数a，若平均降低率是x%，则每降低一次后，变为前一次的（1－x%）倍；若平均增长率率是x，则每增长一次后，变为前一次的（1+x%）倍；

关键词：列代数式 

6. （2012安徽，6,4分）化简的结果是（      ）

A.x+1    B. x－1    C.—x      D. x

考点解剖：本题考查了分式的运算，解答分式加减运算的关键是先化成同分母，再根据同分母分式加减法法则进行运算。

解题思路：根据1－x=－(x－1)，把异分母分式的加减化为同分母分式的加减，并把结果化为最简分式。

解答过程： ==。故选D.

答案：D.

规律总结：分式的加减是代数式运算的重要内容之一，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减关键是通分，依据是分式的基本性质，注意最终要化为最简分式.

关键词：异分母分式加减法

7. （2012安徽，7,4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（     ）

A.2a2          B. 3a2        C. 4a2          D.5a2

考点解剖：本题考查了正八边形、正方形的性质及图形的拼接与面积计算等知识。

解题思路：图中阴影部分的面积由一个正方形和四个等腰直角三角形组成，根据正八边形的边长相等知四个等腰直角三角形可拼接成边长为a的正方形，从而得到阴影部分的面积等于2个边长为a的正方形的面积。

解答过程：由正方形和正八边形的性质知四个三角形为全等的等腰直角三角形，正好拼接成一个边长为a的正方形，又根据正方形的面积等于边长的平方，所以阴影部分的面积是2a2。故选A.

答案：A.

规律总结：正多边形（正方形、正八边形）的各个边相等，各个内角也相等，能帮助我们找到全等的图形，并重新拼接成特殊的图形以方便计算。

关键词：正多边形的性质 正方形的面积  图形的拼接

8. （2012安徽，8,4分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（   ）

A.      B.          C.         D. 

考点解剖：本题考查了等可能条件下的概率计算，掌握概率的定义是解决概率问题的有效方法。

解题思路：先确定有多少种等可能的结果，再确定所要研究的事件包含的可能结果，由概率的计算公式即可求解。

解答过程：因为打电话的顺序是任意的，所以一共有3种等可能的结果，而第一个打给甲的结果只有1种，所以第一个打电话给甲的概率为。故选B.

答案：B.

规律总结：运用公式P(A)=求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上，关键是求事件所有可能的结果种数n和使事件A发生的结果种数m.

关键词：概率的计算公式  求概率的方法

9. （2012安徽，9,4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于的函数图像大致是（      ）

考点解剖：本题考查了圆的切线的性质、解直接三角形、二次函数的图像及性质等知识，解题的关键是建立△PAB的面积y关于的函数关系式。

解题思路：由切线的性质得到Rt△PAB，根据直角三角形的边角关系，分别用x的代数式表示PA和AB，运用直角三角形的面积公式建立△PAB的面积y关于的函数关系式，从而做出正确的选择。

解答过程：∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB=900,在Rt△PAB中，PA=2－x,AB=PA·tan600= (2－x),∴y= (2－x)2(0≤x＜2),函数的图像是抛物线，且开口向上，对称轴是x=2,只有选项D符合题意，故选D.

答案：D.

规律总结：判断函数大致图像的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图像及性质做出合理的判断。

关键词：二次函数的图像  解直角三角形  切线的性质

10. （2012安徽，10,4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（    ）

A.10    B.    C. 10或   D.10或

考点解剖：本题考查了三角形的中位线、勾股定理等知识，解答本题的关键是画出所有符合题意得图形。

解题思路：先画出符合题意得图形，根据三角形的中位线性质先求出一条直角边为8，另一条直角边长为4或6，在直角三角形中根据勾股定理可求出斜边的长。

解答过程：∵AC⊥BC,FD⊥BC,∴FD∥AC,∵AF=BF,∴CD=BD,∴AC=2FD.

分两种情况：（1）BC=8，AC=4，由勾股定理得AB=;(2)）BC=8，AC=6，由勾股定理得AB=.故选C.

答案：C.

规律总结：根据勾股定理a2+b2=c2,若已知其中两边的就能求出第三边的长度。本题要求斜边的长，应先求出两直角边的长，注意不要漏解。

关键词：勾股定理  三角形的中位线 分类讨论思想

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. （2012安徽，11,5分）2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________.

考点解剖：本题考查了科学记数法，根据概念求解最重要。

解题思路：用科学记数法表示378000，先确定a=3.78,再确定10的指数。

解答过程：378000=3.78×105。故答案为3.78×105。

规律总结：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种计数的方法叫做科学记数法。其方法是：（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含整数数位上的零）。

关键词：科学记数法

12.（2012安徽，12,5分）甲乙丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2=36，S乙2=25，S丙2=16，则数据波动最小的一组是___________________.

考点解剖：本题考查了用方差对统计结果作出合理的判断。

解题思路：先判断各组成员体重数据的方差大小，再对数据的波动大小作出合理的判断。

解答过程：因为16＜25＜36，所以S丙2＜S乙2＜S甲2，所以数据波动最小的一组是丙组。故答案为丙组。

规律总结：方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小。在平均数相等的情况下，方差越大，则它与其平均值的离散程度越大，稳定性越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。

关键词：方差

13. （2012安徽，13,5分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______________°.

考点解剖：本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质。

解题思路：先由平行四边形的性质得到∠ABC=∠AOC,由圆周角定理得∠ADC=∠AOC,再根据圆内接四边形的对角互补求四边形OABC各内角的度数，最后把∠OAD+∠OCD看作整体来求解。

解答过程：∵四边形OABC为平行四边形，∴∠ABC=∠AOC,∠OAB=∠OCB,∵∠ADC=∠AOC,∠ADC+∠ABC=1800,∴∠ABC=∠AOC=1200,∵OA∥BC,∴∠OAB=∠OCB=600,∵(∠OAB+∠OAD)+(∠OCB+∠OCD)－1800,∴∠OAD+∠OCD=600. 故答案为600.

规律总结：求两个角的和的问题可以先分别求出每一个角的度数，再求和；也可以把这两个角的和看作整体，通过寻找已知量与未知量之间的关系来解决问题。

关键词：圆周角定理  平行四边形的性质  整体思想

14. （2012安徽，14,5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：

①S1+S2=S3+S4； ② S2+S4= S1+ S3；③若S3=2 S1，则S4=2 S2；④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上。其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

考点解剖：本题考查了矩形的性质和三角形的面积公式。

解题思路：过点P分别作△PAD、△PAB、△PBC、△PCD的高，分别记作h1，h2，h3，h4，由于矩形的对边相等，这样我们可以通过研究高线h1，h2，h3，h4之间的关系来研究S1、S2、S3、S4之间的关系。

解答过程：过点P分别作△PAD、△PAB、△PBC、△PCD的高，分别记作h1，h2，h3，h4，由矩形的性质知AB=CD,AD=BC,所以S1+S2=AD·h1+AB·h2,S3+S4=AD·h3+AB·h4,显然不一定成立；S1+S3=AD·h1+AD·h3=AD(h1+h3)=AD·AB,S2+S4=AB·h2+AB·h4=AB(h2+h4)=AB·AD,显然一定成立；由S3=2S1，AD=BC,所以h3=2h1，点P在AB的三等分点的左侧，且与AD平行的线段上的动点，因此不一定成立；由S1= S2，△PAD、△PAB有一条公共边PA,分别过点B、D作PA所在直线的垂线段BM、DN，易得到BM=DN,令直线AP与BD相交于点O，通过证三角形全等，可得BO=DO,所以点P在对角线AC上，因此是正确的。故答案为

规律总结：由于三角形的面积等于底与高乘积的一半，要研究三角形面积之间的关系，可以作出三角形高线，把研究三角形面积的问题转化为研究线段之间的关系问题。

关键词：矩形  三角形的面积

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. （2012安徽，15,8分）计算：（a+3)(a－1)+a(a－2)

考点解剖：本题考查了整式的运算，解答本题的关键是掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式和整式加减的法则。

解题思路：先运算（a+3)(a－1)=a2－a+3a－3,a(a－2)=a2－2a，再合并同类项。

解答过程：（a+3)(a－1)+a(a－2)=a2－a+3a－3+a2－2a=2a2－3.

规律总结：整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减。整式加减的实质就是合并同类项。

关键词：单项式与多项式相乘  多项式与多项式相乘  整式的加减

16. （2012安徽，16,8分）解方程：x2－2x=2x+1

考点解剖：本题考查了一元二次方程的解法中的公式法，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键。

解题思路：先把方程化为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解。

解答过程：x2－4x－1=0,a=1,b=－4,c=－1,

∵b2－4ac=(－4)2－4×1×(－1)=20,∴x=,∴x1=2+,x2=2－.

规律总结：用公式法解一元二次方程应先把方程化为一般形式，并判断b2－4ac的大小，当b2－4ac≥0时，可代入求根公式求解；若b2－4ac＜0，由于负数没有平方根，可判断方程无解，不用求解。

关键词：求根公式法

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. （2012安徽，17,8分）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，

猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）。

（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，

考点解剖：这是一道规律探索题，主要考查了学生实验观察、分析、归纳、猜想、画图论证等能力。

解题思路：（1）先通过观察图形，当m、n互质时，填写表格并找到其规律，归纳出f与m、n的关系式；（2）采用类比、画图等方法验证当m、n不互质时，（1）小题的猜想不能成立了。

解答过程：（1）表格中依次填6,6；由于表格中的每一行都存在这样的关系f=m+n－1,于是我们可以猜测一般情况下，当m、n互质时，f与m、n的关系式是f=m+n－1。

（2）如图，若m、n不互质，当m=2,n=2时，f=2，f=m+n－2；当m=2,n=4时，f=4，f=m+n－2.（1）小题的猜想都不能成立。

规律总结：规律探索题一般从特例出发，经历实验操作、观察分析、归纳猜想得出一般性的结论，并采用合适的方法证明你的结论，本题采用了画图验证法。

关键词：规律探索型问题

18. （2012安徽，18,8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.

（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；

（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.

考点解剖：本题考查了学生对图形的平移、轴对称和旋转知识的理解以及动手画图操作的能力，第（1）小题属于开放题，结论并不唯一。

解题思路：（1）要画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点，根据全等三角形的判定定理SSS，只需以A1为顶点画一个与△ABC三边都相等的格点三角形，当然画△ABC的平移图形最简单；（2）先画出△ABC关于AC的轴对称图形，并通过观察得出结论。

解答过程：（1）如下图，

(2)作出图形，AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转900而得到。

规律总结：这是一道利用网格的作图题，解题关键是正确理解平移、轴对称和旋转的意义，作出正确的图形，并作出合理的判断。

关键词：全等三角形  图形的平移  图形的旋转  图形的轴对称

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. （2012安徽，19,10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长，

考点解剖：本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形。

解题思路：过点C作△ABC的高线，把线段AB分成两个部分，运用解直角三角形的知识来求解。

解答过程：点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵∠A=300，∴CD=AC=，由勾股定理得AD=，在Rt△ACD中，∵tan45°=，∴BD=CD=,∴AB=AD+BD=.

规律总结：在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作高线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题。

关键词：解直角三角形  在其它三角形中的应用

20. （2012安徽，20,10分）九（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，

（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；

（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？

考点解剖：本题考查了频数、频率的概念，频数分布表和频数直方图以及用样本估计总体等知识。

解题思路：（1）先根据频率=求出被调查家庭的数量，再填写频数分布表和频数直方图；（2）先确定该小区用水量不超过15t的家庭数量，再根据频率公式求占被调查家庭总数的百分比；（3）先计算样本中月均用水量超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比，再根据用样本估计总体的思想求解。

解答过程：（1）由频数分布表知频数为10时，频率为0.20，所以被调查家庭的数量为=50（户），表中依次填12,0.08；补全的频数分布直方图如下

（2）由频数分布表可知用水量不超过15t的家庭有34户，占被调查家庭总数的百分比为；

（3）因为样本中月均用水量超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比为，所以1000×12%=120（户）。

规律总结：统计是生活中经常应用的数学知识，它与实际生活联系密切，因此也成为中考的热点，但这类问题并不难．只要把握好概念间的相互联系以及概念的灵活应用，这样的问题会迎刃而解。本题把频数分布表与频数分布直方图结合起来考查学生的识图能力，以及对图中数据的处理能力。

关键词：频数与频率  频数分布表  频数分布直方图  用样本估计总体

六、（本题满分12分）

21. （2012安徽，21,12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。

（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。

考点解剖：本题考查了一次函数、反比例函数的知识，以及利用一次函数解决实际问题。

解题思路：（1）这是分段函数，读懂题意可求应付的钱数；（2）根据优惠率的计算公式，写出p与x之间的函数关系式，并根据反比例函数的性质作答；（3）先建立应付钱数与购买商品总金额之间的函数关系式，再分类讨论。

解答过程：（1）510－200=310（元）；（2）p= (400≤x＜600),p随x的增大而减小；（3）当200≤x＜400时在甲商场购买商品应付款y1=x－100,在乙商场购买商品应付款y2=0.6x。

分三种情况：当x－100＞0.6x时，即250＜x＜400，在乙商场购买商品花钱较少； x－100＝0.6x时，即x＝250，在两家商场购买商品花钱一样；当x－100＜0.6x时，即200≤x＜250，在甲商场购买商品花钱较少。

规律总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意。第（3）小题是利用函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，再分类讨论来确定设计方案。

关键词：一次函数  反比例函数  方案设计问题

七、（本题满分12分）

22. （2012安徽，22,12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；

（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

考点解剖：本题是一道综合性考题，主要考查了几何图形的周长、三角形的中位线、等腰三角形、相似三角形以及直角三角形等知识。

解题思路：（1）由线段的中点得到线段之间的一半关系，再根据周长相等建立等式来求解；（2）先证明FD=FG得到∠FDG=∠FGD，再根据三角形中位线性质得到平行线进而得到∠FGD=∠GDE，进而证出角平分线；（3）由相似三角形得到角相等，通过等角的转换，得到∠B=∠FGD，根据“等角对等边”得DG=BD=CD，点B、C、G在以BC为直径的圆上，由直径所对的圆周角是直角得到△BCG是直角三角形。

解答过程：（1）∵在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，∴AF=BF=AB，AE=CE=AC，BD=CD=BC，∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AG+AC+CD+DG，∴BG=b+c；

（2）∵AF=BF，BD=CD，∴DF=AC=b，由（1）得BG=b+c=BF+FG=c+FG，∴FG=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵AE=CE,BD=CD，∴DE∥AB，∴∠FGD=∠GDE，∴∠FDG=∠GDE，即DG平分∠EDF；

（3）∵△BDG与△DFG相似，∴∠B=∠FDG,∵∠FDG=∠FGD，∴∠B=∠FGD，∴BD=DG=CD,∴点B、C、G在以BC为直径的圆上，∴BG⊥CG.

规律总结：（1）根据图形的周长计算方法建立线段之间的等式，从而用图形的边长表示所要求的线段的长；（2）证明角平分线通常是证明角的相等，而证明角相等可以证三角形全等，也可以运用“等边对等角”和平行线的性质来完成；（3）证明垂直的方法很多，可以证明有一个交角是90°，也可以证明这个角所在的三角形是直角三角形。

关键词：三角形的中位线  相似三角形的性质  等腰三角形的性质和判定  圆周角定理

八、（本题满分14分）

23. （2012安徽，23,14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

考点解剖：这是一道二次函数的综合性压轴题，主要考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、函数值的求法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图像及应用。

解题思路：（1）根据h=2.6和函数图像经过点（0,2），可用待定系数法确定二次函数的解析式；（2）要判断求是否过球网，就是求x=9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是球抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x=18时对应的函数值，并与0相比较。（3）先根据函数图像过点（0,2），建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图像，就是要同时考虑当x=9时对应的函数y的值大于2.43，且当x=18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围。

解答过程：(1)当h=2.6时，y=a(x－6)2+2.6，∵点（0,2）在该抛物线上，∴2=a（0－6）2+2.6，解得a=－，所以y与x的关系式是y=－(x－6)2+2.6；

（2）球能越过球网，求会出界。

理由：当x=9时，y=－×（9－6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；

当y=0时，－ (x－6)2+2.6=0，解得：x1=6+2＞18，x2=6－2（舍去），故球会出界。

或当x=18时，y=－×（18－6）2+2.6=0.2＞0，所以球会出界。

（3）∵点（0,2）在y=a(x－6)2+h的图像上，∴2=a(0－6)2+h，a=，函数可写成y= (x－6)2+h。

由球能越过球网，得x=9时，y=＞2.43， 

由球不出边界，得x=18时，y=8－3h≤0， 

解得h≥，所以h的取值范围是h≥。

规律总结：第（1）小题是基础题，易于求解；第（2）小题是结论探究题，解答此类问题可求当x=9时对应的函数值，并与网高2.43比较，判断球能否过球网，求x=18时对应的函数值，并与0比较，判断求能否会出界，或求y=0时对应的x的值，并与18相比较；第（3）小题是条件探究题，我们可以从结论球一定能越过球网，又不出边界，结合函数的图像，正确理解球过球网和球不出边界的意义，建立不等式组，从而确定h的取值范围。

关键词：二次函数的图像  二次函数的性质  二次函数的应用下载本文