教学内容

人教版义务教育教科书数学六年级上册第69～70页例3及相关练习

教学目标 

1.让学生结合具体情境,认识圆外切正方形、圆内接正方形组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。

2.在自主合作学习中,养成与多角度思维的能力。

3.渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。

    教学重点

使学生在解决问题的过程中积累圆与外切正方形、内接正方形组合图形一般性的问题解决经验。

教学难点

1.圆内接正方形面积的计算。

2.特殊结论一般化的理解和应用。

教材分析

外方内圆和外圆内方是六年级上册第五单元学习了圆的面积后安排的一节探索正方形和圆形组合图形阴影部分面积问题解决，旨在引导学生经历圆的内接正方形和外切正方形与圆之间部分的面积这一问题解决的全过程，从解决问题的基础上从特殊、列举中发现一般的数学规律，引导学生思考，克服思维定式，适时渗透中国传统文化的教育，培养学生灵活应用的意识。

学情分析 

本节课的内容是学生在学习圆的面积计算方法的基础上进行学习的,学生对前面知识的掌握程度对本课的学习至关重要。学生具备了计算圆的面积和正方形面积计算的能力，学生要经历解决一个问题的所有步骤:理解现实的问题情境,转化成要解决的数学问题,分析问题,从而找到解决问题的方案并解决之, 也已经完全具备以上的能力。但在学习中外方内圆和外圆内方一般化结论的建模与直观想象应用还存在一定的困难，尤其是外圆内方中学生无法直接求出圆内接正方形边长时，利用圆的直径和半径添加辅助线的方法将正方形的面积转化为两个三角形的面积和或四个小三角形的面积和学生并不是一下子就能找到，需要适时引导学生多位思考找到解题的线索。

设计思考

1.如何更好的帮助学生建构外方内圆和外圆内方阴影面积一般规律的模型，本课我利用从生活实物抽象几何图形，在动手操作画、折等操作活动的基础上通过合作、交流、展示充分的挖掘正方形与圆形的关系的基础上放手让学生在如何求出阴影面积问题解决中，收集数据、方法、抽象、概括中完成外方内圆和外圆内方阴影面积一般规律建构与灵活应用。

2.如何以学生学习的起点进行深度解读并创造性的使用教材，培养数学核心素养。本节课基于学情分析，外方内圆和外圆内方一般化结论的建模与直观想象应用还存在一定的困难，于是，将难点分散在各个环节中埋伏突破，在课前学讲稿中设计了学生画、折两个图形，在画图中给学生直径的支撑，在引入中如何求正方形与圆的面积追问要想计算它们面积必须知道什么条件，在实物抽象出几何图形时，充分的交流正方形和圆间的关系，在收集学生思考中求面积的方法中罗列中构建外方内圆和外圆内方阴影面积计算一般规律的模型，并利用正方形和圆间的关系发现圆的直径和半径辅助将正方形的面积转化为两个三角形的面积和或四个小三角形的面积，从而培养学生模型、运算、直观想象的核心素养以及渗透运用假设、列举、代入、转化的数学思想方法。

教学方法

自主探究、动手操作。

教学用具

手提电脑、卡纸图形模型、课件（ppt和希沃交叉应用）

教学过程

活动一：创境引入

1. 智慧的人们巧用已学过的正方形和圆形组合构出了一幅幅精美的器物的图案，有吃的，用的，处处皆是。在中国古代的建筑中就有这样的设计，

2. 追问，

（1）你能用学具组合这两个图形吗？指名学生组合张贴黑板上。

（2）这样的几何图形是什么图形，学生回答

（3）出示课件并动画抽出几何图形，那就让我们一起研究并“外圆内方”和“外方内圆”并板书课题。

【设计意图】从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。

活动二：探究新知

1.出示下图 

                   --------

提问：要想计算它们的面积必须借助什么条件？学生回答

2.小对子合作交流学习。

   出示学习要求指名学生读， 

（1）同桌说说每个图形正方形和圆有什么关系，你发现了什么？

（2）请计算它们间阴影部分的面积，并梳理出不同的方法。

后同桌合作学习。

3. 汇报展示汇报交流，指名学生同桌汇报，其他组员进行补充。

（1）哪个小组愿意分享你们的想法和做法,

预设一：外方内圆：正方形的边长=圆的直径，

          正方形由四个小正方形组成，

          正方形的面积-圆的面积=阴影部分的面积

外圆内方：圆的直径=正方形的对角线

          正方形有两个三角形或四个小三角形组成

          圆的面积-正方形的面积=阴影部分的面积

（2）谁还愿意分享不同的做法和想法？

预设二：计算阴影部分面积。

 展示汇报同桌交流梳理不同的计算方法，学生提问：我们小组汇报完毕，你们有什么补充或疑问？

预设外方内圆计算方法：

正方形的面积-圆的面积=阴影部分的面积

长方形的面积-半圆的面积=上面阴影部分的面积

    1/4正方形的面积-1/4圆的面积=1个阴影的面积×4=阴影部分的面积

预设外圆内方的计算方法：

圆的面积-正方形的面积

1/2圆的面积-三角形的面积

圆的面积-4个小三角形的面积

过渡：你们汇报的太精彩了，谁愿意把你们的计算梳理在表格中，

4.梳理填表，观察数据，得出结论

（1）其中选取半径是1、r进行假设举例外方内圆的面积计算，收集下表中，观察数据，得出结论。

(2)追问：它们的面积比呢？此时填表得出面积比始终是4：π

(3) 梳理外圆内方半径是1、r假设举例计算于下表  

追问：在外圆内方中，你们怎么计算正方形的面积，还有别的方法吗？     

（4）追问：它们的面积比？此时填表得出面积比始终是π：2

（5）用代入法进行验证。将你们用测量方法计算的带入规律中，验证规律。

5.请四人小组在AP上操作并想一想当半径是r时。

（1）S外正：S圆：S内正= ？

（2）S大正方形：S小正方=？并说出为什么？

【设计意图】在学生课前的自主思考预习基础上，课堂进行同桌合作交流学习，互相学习借鉴彼此的方法后，分层次的汇报每个组合图形两个图形间的关系、求阴影面积的方法，在学生汇报中梳理数据填入统计表中，将学生的想法在表格中呈现，学生很容易的在观察中发现规律，得出结论。培养学生抽象、模型、运算、直观想象的核心素养以及渗透运用假设、列举、代入的数学思想方法。

6.小结：同学们真了不起，在思考、合作交流中解决问题并运用了假设法、转化法和代入法的数学思想方法解决问题，可是不知你们是否能学以致用。

活动三：巩固应用  

    1. 半径是10分米，黄色部分面积是多少？

2.下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是

24 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？        

后追问：是不是只有已知半径和直径才能计算它们的面积？

（拓宽学生思路，还可以已知圆的周长，正方形的边长等）

3.(1)你能很快计算下面图形阴影部分的面积吗？

如果有好办法的直接进行计算，没有好办法的借助平板中的图形动动手在计算。

A展示转化图形

B说出计算方法

C下面图形阴影部分的面积和它们一样大吗？为什么？

引导学生明白以上5种不同类型的组合图形通过平移或旋转都可以转化成外方内圆直接利用规律进行计算，丰富学生的图形的直观想象。 

（2）正方形的边长都是12dm.下图每一个图形的阴影面积一样吗？为什么？  

指明学生说出理由。

活动四：课后延伸

4.正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积   

5. 正方形的边长为4cm,求阴影部分面积。

活动五：视频总结

外圆内方和外方内圆不仅在数学中有学问，在生活中处处有学问。中国自古就有天圆地方之说，外圆内方，是前人流传下来的大智慧，隐含着低调做人、高调做事的准则。“智圆行方”被古人当做境界极高的人生道德和智慧。教育学家黄炎培老先生赠给其子一句话，“和若春风，肃若秋霜；取象于钱，外圆内方”。同时也告诉我们大家做人要“外圆内方”。即内要方正，方为做人之本；外要圆通，圆为处世之。这是人生哲学，可奉为圭臬。在人的品质培养、气质修养、人性、处事技巧、交际技巧等方面，如果能够恰当的把握“方”与“圆”，就能使人生更快乐，事业更成功。

【设计意图】分层次设计练习，引导学生在练习中灵活的应用所学规律，并通过丰富的题型训练学生思维的宽度和广度及培养学生应用意识。并应用教育学家的话语，引导学生学会为人处世。

板书设计

                 外方内圆   外圆内方

           圆的直径=正方形的边长    圆的直径=正方形的对角线        假设法

             4r2-3.14r2=                                     3.14r2- 2r2                   转化法 

=0.86 r2                                         =1.14 r2                         代入法