一、选择题《本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）

1．一元二次方程x2﹣25＝0的解为（　　）

A．x1＝x2＝5    B．x1＝5，x2＝﹣5    C．x1＝x2＝﹣5    D．x1＝x2＝25

2．已知点P在半径为8的⊙O外，则（　　）

A．OP＞8    B．OP＝8    C．OP＜8    D．OP≠8

3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    

B．对称轴是x＝1    

C．顶点坐标是（﹣1，2）    

D．当x≥1时，y随x增大而减小

4．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（　　）

A．∠D＝∠B    B．∠E＝∠C    C．    D．

5．已知x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值等于（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣    D．

6．如图，在⊙O中＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数（　　）

A．20°    B．40°    C．50°    D．60°

7．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（　　）

A．众数是11    B．平均数是12    C．中位数是13    D．方差是

8．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）

A．（﹣2，2）    B．（﹣1，1）    C．（0，6）    D．（1，﹣3）

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题纸相应位直上）

9．甲、乙两地的实际距离是30千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是 　   　厘米．

10．已知关于x的二次函数y＝（x﹣3）2+5，则函数值y的最小值是 　   　．

11．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 　   　．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O中，若∠B＝130°，则∠AOC＝　   　．

13．圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝　   　cm．

14．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 　   　米．

15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 　   　．

16．如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（4，0），B（0，2），反比例函数的图象经过点C，则k的值为 　   　．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）

17．用适当的方法解下列方程．

（1）x2﹣2x﹣2＝0；

（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．

18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'．

（1）在第一象限内画出△OA'B'；

（2）求△OA'B'的面积．

19．如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D在x轴上．

（1）求点A的坐标；

（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．

20．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：

【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：

甲：40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60

乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80

【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：

【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：

（1）【分析数据】中，乙学校的众数a＝　   　．

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 　   　校的学生；（填“甲”或“乙”）

（3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数；

（4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性）

21．小美家将于周末进行自驾游，由于交通便利，准备将行程分为周六和周日两天进行．周六的备选地点为：A﹣盐城大洋湾、B﹣常州淹城春秋乐园、C﹣苏州乐园，周日的备选地点为：D﹣常州恐龙园、E﹣盐城荷兰花海．

（1）请用画树状图或列表的方法分析并写出小美家所有可能的游玩方式（用字母表示即可）；

（2）求小美家周六和周日恰好在同一城市游玩的概率．

22．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到次．

（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？

23．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED∥AC，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝12，OP：AP＝1：2，求PC的长．

24．某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）

（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

25．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）当a＝3，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；

（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．

27．九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时，发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即：如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．梁梁思索片刻，通过连接AC、BD，很快就证明出来了．

【结论证明】

（1）请在图1中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程；

【灵活运用】

（2）如图2，⊙O的弦AB＝10cm，点P是AB上一点，BP＝6cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为 　   　cm．

（3）如图3，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则AB长为 　   　．

【问题解决】

（4）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图4，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

参

一、选择题《本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）

1．一元二次方程x2﹣25＝0的解为（　　）

A．x1＝x2＝5    B．x1＝5，x2＝﹣5    C．x1＝x2＝﹣5    D．x1＝x2＝25

【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．

解：x2﹣25＝0，

则x2＝25，

解得：x1＝5，x2＝﹣5．

故选：B．

2．已知点P在半径为8的⊙O外，则（　　）

A．OP＞8    B．OP＝8    C．OP＜8    D．OP≠8

【分析】根据点P与圆O的位置关系即可确定OP的范围．

解：∵点P在圆O的外部，

∴点P到圆心O的距离大于8，

故选：A．

3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    

B．对称轴是x＝1    

C．顶点坐标是（﹣1，2）    

D．当x≥1时，y随x增大而减小

【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．

解：∵y＝（x﹣1）2+2，

∴抛物线开口向上，故A不正确；

对称轴为直线x＝1，故B正确；

顶点坐标为（1，2），故C不正确；

对称轴为直线x＝1，当x≥1时，y随x的增大而增大，故D不正确；

故选：B．

4．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（　　）

A．∠D＝∠B    B．∠E＝∠C    C．    D．

【分析】根据∠DAB＝∠CAE，可以得到∠DAE＝∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．

解：∵∠DAB＝∠CAE，

∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，

∴∠DAE＝∠BAC，

∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；

当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；

当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；

当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；

故选：D．

5．已知x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值等于（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣    D．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解．

解：∵x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根，

x1+x2＝﹣2．

故选：A．

6．如图，在⊙O中＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数（　　）

A．20°    B．40°    C．50°    D．60°

【分析】首先得到＝，进而得到∠AOB＝∠COD，即可选择正确选项．

解：∵＝，

∴＝，

∴∠AOB＝∠COD，

∵∠AOB＝40°，

∴∠COD＝40°，

故选：B．

7．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（　　）

A．众数是11    B．平均数是12    C．中位数是13    D．方差是

【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．

解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；

＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；

将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是C符合题意；

S2＝×[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项D不符合题意；

故选：C．

8．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）

A．（﹣2，2）    B．（﹣1，1）    C．（0，6）    D．（1，﹣3）

【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．

解：y＝﹣x2﹣2x+3

＝﹣（x2+2x）+3

＝﹣[（x+1）2﹣1]+3

＝﹣（x+1）2+4，

∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，

当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；

当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；

当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；

当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；

故选：B．

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题纸相应位直上）

9．甲、乙两地的实际距离是30千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是 　6　厘米．

【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．

解：设地图上，甲乙两地的距离是x cm，

根据题意，得：

＝

解得：x＝6，

即地图上，甲乙两地的距离是6cm，

故答案为：6．

10．已知关于x的二次函数y＝（x﹣3）2+5，则函数值y的最小值是 　5　．

【分析】根据二次函数的性质即可求解．

解：∵y＝（x﹣3）2+5，

∴当x＝3时，函数值y有最小值，最小值为5，

故答案为：5．

11．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 　10　．

【分析】设白色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．

解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：

＝，

解得：x＝10，

经检验x＝10是原方程的解，

答：白色棋子的个数为10个；

故答案为：10．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O中，若∠B＝130°，则∠AOC＝　100°　．

【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D，再根据圆周角定理计算即可．

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝130°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝50°，

由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝100°，

故答案为：

13．圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝　3　cm．

【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到×2π×r×7＝21π，然后解方程即可．

解：根据题意得×2π×r×7＝21π，

即得r＝3，

所以圆锥的底面圆半径r为3cm．

故答案为3．

14．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 　112　米．

【分析】根据题意，可知Rt△AEM∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．

解：设正方形的边长为x步，

∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，

∴AM＝AD，AN＝AB，

∴AM＝AN，

由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，

∴＝，

即AM2＝80×245＝19600，

解得：AM＝140，

∴AD＝2AM＝280步＝280×40＝11200厘米＝112米；

故答案为：112．

15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜2　．

【分析】将ax2﹣kx+c＜b化为ax2+c＜kx+b，根据图象求解．

解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，

∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，

故答案为：﹣1＜x＜2．

16．如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（4，0），B（0，2），反比例函数的图象经过点C，则k的值为 　9　．

【分析】过点C作CE⊥CA，垂足为E，交AB于点D，连接CF，证△BOA∽△DFC，推＝＝，求出CD，DF，再根据CE∥BO，△ADE∽△ABO，推＝＝＝，进而求出C点坐标．

解：过点C作CE⊥CA，垂足为E，交AB于点D，连接CF，

∴∠CEA＝90°，

∵C为半圆的中点，

∴∠CFE＝90°，

∵A（4，0），B（0，2），

∴OA＝4，OB＝2，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝2，

∵∠FCE+∠CDF＝∠BAO+∠ADE＝90°，

∠CDE＝∠EDA，

∴∠FCE＝∠BA0，

∵∠BOA＝∠CFD，

∴△BOA∽△DFC，

∴＝＝，

∴CD＝2.5，DF＝，

∴DA＝，

∵∠BOA＝∠CEA＝90°，

∴CE∥BO，

∴△ADE∽△ABO，

∴＝＝＝，

∴DE＝0.5AE＝1，

∴OE＝3，CE＝3，

∴C（3，3），

∵反比例函数的图象经过点C，

∴k＝9，

故答案为：9．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）

17．用适当的方法解下列方程．

（1）x2﹣2x﹣2＝0；

（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．

【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；

（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得，

解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，

∴x2﹣2x＝2，

∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，

∴x﹣1＝±，

∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，

∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，

则x﹣2＝0或3x﹣1＝0，

解得x1＝2，x2＝．

18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'．

（1）在第一象限内画出△OA'B'；

（2）求△OA'B'的面积．

【分析】（1）根据原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，即可在第一象限内画出△OA'B'；

（2）根据网格利用割补法即可求△OA'B'的面积．

解：（1）如图，△OA'B'即为所求；

（2）△OA'B'的面积为：4×6﹣2×4﹣2×4﹣2×6＝10．

19．如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D在x轴上．

（1）求点A的坐标；

（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．

【分析】（1）根据题意设A（a，2a），则B（﹣a，2a），代入抛物线的解析式即可求得a＝1，得到A（1，2）；

（2）根据待定系数法求得直线BD的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标．

解：（1）由题意可设A（a，2a），则B（﹣a，2a），

∵点A在抛物线y＝2x2上，

∴2a＝2a2，

∴a＝1或a＝0（舍去），

∴A（1，2）；

（2）设直线BD的解析式y＝kx+b，

∵B（﹣1，2），D（1，0），

∴，解得，

∴直线BD为y＝﹣x+1，

由解得或，

∴P点的坐标为（，）．

20．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：

【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：

甲：40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60

乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80

【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：

【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：

（1）【分析数据】中，乙学校的众数a＝　70　．

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 　甲　校的学生；（填“甲”或“乙”）

（3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数；

（4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性）

【分析】（1）根据众数的定义即可得出答案；

（2）根据两个学校竞赛成绩的中位数进行判断即可；

（3）根据乙学校成绩在80分及以上的人数所占的百分比，估计总体的优秀所占的百分比，进而计算相应的人数即可；

（4）比较两个学校的平均数、中位数的大小，进而得出结论．

解：（1）乙学校竞赛得分出现次数最多的是70分，共出现6次，因此众数是70，即a＝70；

故答案为：70；

（2）甲学校的中位数是60，而乙学校的中位数是70，

由于小明的竞赛是70分，在学校排名属中游略偏上，所以小明是甲学校的学生，

故答案为：甲；

（3）400×＝140（人），

答：乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的大约有140人；

（4）乙校，理由如下：

乙校的平均分高于甲校的平均分．

21．小美家将于周末进行自驾游，由于交通便利，准备将行程分为周六和周日两天进行．周六的备选地点为：A﹣盐城大洋湾、B﹣常州淹城春秋乐园、C﹣苏州乐园，周日的备选地点为：D﹣常州恐龙园、E﹣盐城荷兰花海．

（1）请用画树状图或列表的方法分析并写出小美家所有可能的游玩方式（用字母表示即可）；

（2）求小美家周六和周日恰好在同一城市游玩的概率．

【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；

（2）根据（1）求得所有情况与符合条件的情况，求其比值即可．

解：（1）根据题意列表如下：

（2）小美家周六和周日恰好在同一城市游玩的有（A，E），（B，D）两种，

则小美家恰好在同一城市游玩的概率＝＝．

22．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到次．

（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？

【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）2，又知五月份的全天包车数为：次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；

（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量＝8800列出方程，求解即可．

解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，

根据题意可得：25（1+x）2＝，

解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意舍去），

答：全天包车数的月平均增长率为60%；

（2）根据题意可得：（120﹣a）（+1.6a）＝8800，

化简得：a2﹣80a+700＝0，

解得：a1＝10，a2＝70．

答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．

23．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED∥AC，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝12，OP：AP＝1：2，求PC的长．

【分析】（1）连接OC，证明△BOD≌△COD，可得∠OCD＝∠OBD＝90°，进而可得CD是⊙O的切线；

（2）根据AB＝12，OP：AP＝1：2，可得OP＝2，AP＝4，再根据勾股定理即可求PC的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵BD切⊙O于点B，

∴∠OBD＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵ED∥AC，

∴∠BOD＝∠OAC，∠COD＝∠OCA，

∴∠BOD＝∠COD，

在△BOD和△COD中，

，

∴△BOD≌△COD（SAS），

∴∠OCD＝∠OBD＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝12，AB是⊙O的直径，

∴OB＝OA＝6，

∵OP：AP＝1：2，

∴OP＝2，AP＝4，

∵∠APC＝90°，OC＝6，

∴PC＝＝＝4．

24．某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）

（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；

（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），

将（60，600），（80，400）代入，得：

解得：，

∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；

（2）由题意得：

w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）

＝﹣10x2+1700x﹣60000

＝﹣10（x﹣85）2+12250，

∵﹣10＜0，

∴当x≤85时，w随x的增大而增大，

∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，

∴x≤50×（1+30%），即x≤65，

∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）2+12250＝8250．

∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．

25．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出AB∥EO，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．

解：∵EO⊥BF，

∴∠FOE＝90°，

∵AB⊥BF，CO⊥BF，

∴AB∥EO，

∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，

∴，＝，

∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，

∴＝，＝

解得：AB＝3．

答：围墙AB的高度是3m．

26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）当a＝3，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；

（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据题意得出a＝3，b＝4，c＝5，然后得出“勾系一元二次方程”即可；

（2）根据题意得出方程的Δ值≥0即可；

（3）根据题意得出ab的值，再根据面积公式求值即可．

解：（1）当a＝3，b＝4，c＝5时，

则“勾系一元二次方程”为：3x2+5x+4＝0；

（2）根据题意得Δ＝（c）2﹣4ac＝2c2﹣4ab，

∵a2+b2＝c2，

∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，

即Δ≥0，

∴“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；

（3）当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，

即a+b＝c，

∵2a+2b+c＝6，

即2（a+b）+c＝6，

∴3c＝6，

∴c＝2，

∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，

∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，

∴ab＝2，

∴S△ABC＝ab＝1．

27．九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时，发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即：如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．梁梁思索片刻，通过连接AC、BD，很快就证明出来了．

【结论证明】

（1）请在图1中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程；

【灵活运用】

（2）如图2，⊙O的弦AB＝10cm，点P是AB上一点，BP＝6cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为 　7　cm．

（3）如图3，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则AB长为 　4　．

【问题解决】

（4）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图4，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

【分析】（1）连接AC，BD，证明△APC∽△DPB，即可求解；

（2）连接OA，过点O作OE⊥AB交于E点，在Rt△OEP中，OE＝2cm，在Rt△OAE中，OA＝7cm，OA即为半径；

（3）过点O作OG⊥CD交于G，连接OC，由垂径定理可得，CG＝DG，则有（CG+GP）2+（CG﹣GP）2＝8，求出CO＝2，即可求AB＝4；

（4）设P（m，m2﹣m﹣4），求出D（m，0），由相交弦定理可得PD•DE＝AD•DB，即可求DE＝2，所以DE为定值．

【解答】证明：（1）连接AC，BD，如图1，

由同弧所对的圆周角相等，

∴∠C＝∠B，∠A＝∠D，

∴△APC∽△DPB，

∴AP：DP＝CP：BP，

∴AP•BP＝CP•DP；

（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AB交于E点，

∵AB＝10cm，

∴AE＝5cm，

∵BP＝6cm，

∴AP＝4cm，

∴EP＝1cm，

∵OP＝5cm，

在Rt△OEP中，OE＝＝＝2cm，

在Rt△OAE中，OA＝＝＝7cm，

∴⊙O的半径为7cm，

故答案为：7；

（3）如图3，过点O作OG⊥CD交于G，连接OC，

∵∠APC＝45°，

∴OG＝PG，

由垂径定理可得，CG＝DG，

∴PC＝CG+GP，DP＝CG﹣GP，

∵PC2+PD2＝8，

∴（CG+GP）2+（CG﹣GP）2＝8，

∴2CG2+2GP2＝8，

∴CG2+GO2＝4，

∴CO2＝4，

∴CO＝2，

∴AB＝4，

故答案为：4；

（4）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：

令y＝0，则x2﹣x﹣4＝0，

∴x＝4或x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

令x＝0，则y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

设P（m，m2﹣m﹣4），

∵PE⊥x轴，

∴D（m，0），

∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝m2+m+4，

∵PD•DE＝AD•DB，

∴DE＝＝＝2，

∴DE是定值2，

∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．

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