一、角平分线

1、角平分线的定义：

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形三个角平分线的交点叫做内心（仅作了解）。 

2、角平分线的性质

　　1）角平分线上的一点到角的两边距离相等。 

　　2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（逆运用） 

　　三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。  

　　三角形的三条角平分线相交于一点，该点为三角形的内心，且内心到三条边的距离相等。 

已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E求证：PD=PE

    证明:   ∵∠1=∠2 ,  OP=OP

∠PDO=∠PEO=90°

∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)    

∴PD=PE  (全等三角形的对应边相等)   

结论：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.  求证：点P在∠AOB的平分线上

证明:  在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,

∵∠ODP=∠OEP=90°

又OP=OP,  PD=PE

∴Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE   (HL)

      ∴∠1=∠2  即点P在∠AOB的平分线上

结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

3、角平分线做法

　　在角AOB中，画角平分线 

　　3.1以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N． 

　　3.2分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P 

3.3作射线OP

二、垂直平分线

1.定义：

　　经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。 

　　1）垂直平分线垂直且平分其所在线段。 

　　2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 

3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（仅作了解），并且这一点到三个顶点的距离相等。

2.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

3.逆运用：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 

　　通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 可以通过全等三角形证明。 

　　4.用圆规作垂直平分线 

　　4.1在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 

　　4.2分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。 

　　4.3连接这两个交点。  

证明垂直平分线的性质：

已知：MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上。求证：PA=PB

证明：∵MN⊥AB（已知）

∴∠PCA=∠PCB（垂直定义）

在△PCA和△PCB中：

AC=CB（已知）PCA=PCB（已证）PC=PC（公共边）

∴△PCA≌△PCB（SAS）

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

三、角平分线与垂直平分线的比较

四、拔高训练

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