数学（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．不等式的解集是（    ）

A．        B．        C．        D． 

2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（    ）

A．            B．    

C．            D． 

3．设（），关于的方程（）有实数，则是的（    ）

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充分必要条件                D．既不充分又不必要条件

4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（    ）

A．        B．        C．        D． 

5．在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则（    ）

A．8        B．9        C．10        D．11

6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（    ）

A．与垂直        B．与垂直

C．与异面        D．与异面

7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（    ）

A．48米            B．49米        C．50米         D．51米

8．函数的图象和函数的图象的交点个数是（    ）

A．1            B．2            C．3            D．4

9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（    ）

A．            B．            C．            D． 

10．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（    ）

A．10        B．11        C．12        D．13

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11．圆心为且与直线相切的圆的方程是        ．

12．在中，角所对的边分别为，若，，，则        ．

13．若，，则        ．

14．设集合，，，

（1）的取值范围是        ；

（2）若，且的最大值为9，则的值是         ．

15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是        ；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为        ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数．求：

（I）函数的最小正周期；

（II）函数的单调增区间．

17．（本小题满分12分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．

18．（本小题满分12分）

如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

19．（本小题满分13分）

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．

（I）证明，为常数；

（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

20．（本小题满分13分）

设是数列（）的前项和，，且，，．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

21．（本小题满分13分）

已知函数在区间，内各有一个极值点．

（I）求的最大值；

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）参

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D   2．B   3．A   4．B   5．C   6．D   7．C  8．C   9．D   10．B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11． 

12． 

13．3

14．（1）（2）

15．， 

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解： 

．

（I）函数的最小正周期是；

（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．

17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互，且，．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

．

3人都参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

．

3人都没有参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

18．解：（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，，所以，

又因为，所以．

而，所以，，从而，又，

所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设，则，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小为．

解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，，

所以．

则相关各点的坐标分别是

，，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

易知是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．

19．解：由条件知，设，．

（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

此时．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入，有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

综上所述，为常数．

（II）解法一：设，则，，

，，由得：

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

20．解：（I）当时，由已知得．

因为，所以． …………………………①

于是． …………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即数列（）是常数数列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，

而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．

所以，，．

由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．

若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得， ，从而是数列中的第项．

（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）

21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故．下载本文