双基达标 限时20分钟
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是 ( )．
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
答案 B
2．下列各函数中，最小值为2的是 ( )．
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝
D．y＝＋
解析 对于A：不能保证x>0，
对于B：不能保证sin x＝，
对于C：不能保证＝，
对于D：y＝＋≥2.
答案 D
3．若0 C．2ab D．a 解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝. a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. ∵0 答案 B 4．设a>2，则a＋的最小值是________． 解析 ∵a>2，∴a－2>0. ∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4. 当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立． 答案 4 5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 解析 ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴≥3，即ab≥9. 答案 [9，＋∞) 6．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值． 解 法一 由已知条件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10. 则＋＝≥＝2， 所以min＝2，当且仅当即时等号成立． 法二 由已知条件lg x＋lg y＝1可得： x>0，y>0，且xy＝10， ＋≥2＝2＝2(当且仅当即时取等号)． 综合提高 限时25分钟 7．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ( )． A．8 B．4 C．1 D. 解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1， ＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2 ＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B. 答案 B 8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )． A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C 9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________． 解析 设两数为x，y，即4x＋9y＝60， 又＋＝＝≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立． 答案 6 4 10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________． 解析 函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0， 2m＋n＝1，m，n>0， ＋＝·(2m＋n) ＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当，即时等号成立． 答案 8 11．求函数y＝的值域． 解 函数的定义域为R， y＝＝1＋. (1)当x＝0时，y＝1； (2)当x>0时，y＝1＋≤1＋＝4. 当且仅当x＝时，即x＝1时，ymax＝4； (3)当x<0时，y＝1＋ ＝1－≥1－＝－2. 当且仅当－x＝－时，即x＝－1时，ymin＝－2. 综上所述：－2≤y≤4，即函数的值域是[－2,4]． 12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得 f(x)＝Q(x)＋ ＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)， f(x)＝50x＋＋3 000 ≥2＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝” 因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)． 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．下载本文
