一、单选题

1.（2021·攸县模拟）如图，点A所表示的数的倒数是（   ）  

A. 3                               B. ﹣3                               C.                                D. 

2.（2021·菏泽）下列等式成立的是（    ）            

A.          B.          C.          D. 

3.（2021·菏泽）如果不等式组  的解集为  ，那么  的取值范围是（    ）            

A.                          B.                          C.                          D. 

4.（2021·菏泽）一副三角板按如图方式放置，含  角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则  的度数是（    ）  

A.                            B.                            C.                            D. 

5.（2021·菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（    ）  

A.                             B.                             C.                             D. 

6.（2021·菏泽）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：  

A. 中位数是10.5            B. 平均数是10.3            C. 众数是10            D. 方差是0.81

7.（2021·菏泽）关于  的方程  有实数根，则k的取值范围是（    ）            

A.  且                B.  且                C.                D. 

8.（2021·菏泽）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形  在第一象限，且  轴，直线  沿  轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形  截得的线段长为  ，直线在  轴上平移的距离为  ，  、  间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形  的面积为（    ）  

A.                                B.                                C. 8                               D. 10

二、填空题

9.（2021·菏泽）2021年5月11日，国家统计局、第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记数法表示为________．    

10.（2021·菏泽）因式分解：  ________．    

11.（2021·菏泽）如图，在  中，  ，  ，  分别为  、  的中点，  ，过点  作  ，交  的延长线于点  ，则四边形  的面积为________．  

12.（2021·菏泽）如图，在  中，  ，垂足为  ，  ，  ，四边形  和四边形  均为正方形，且点  、  、  、  、  、  都在  的边上，那么  与四边形  的面积比为________．  

13.（2021·菏泽）定义：  为二次函数  （  ）的特征数，下面给出特征数为  的二次函数的一些结论：①当  时，函数图象的对称轴是  轴；②当  时，函数图象过原点；③当  时，函数有最小值；④如果  ，当  时，  随  的增大而减小，其中所有正确结论的序号是________．    

14.（2021·菏泽）如图，一次函数  与反比例函数  （  ）的图象交于点  ，过点  作  ，交  轴于点  ；作  ，交反比例函数图象于点  ；过点  作  交  轴于点  ；再作  ，交反比例函数图象于点  ，依次进行下去，……，则点  的横坐标为________．  

三、解答题

15.（2021·菏泽）计算：  ．    

16.（2021·菏泽）先化简，再求值：  ，其中  ，  满足  ．    

17.（2021·菏泽）如图，在菱形  中，点  、  分别在  、  上，且  ，求证：  ．  

18.（2021·菏泽）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于  处的济南舰突然发现北偏西  方向上的  处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里  处的西安舰，西安舰测得  处位于其北偏西  方向上，请问此时两舰距  处的距离分别是多少？  

19.（2021·菏泽）列方程（组）解应用题  

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润30元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

20.（2021·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形  的两边  、  分别在坐标轴上，且  ，  ，连接  ．反比例函数  （  ）的图象经过线段  的中点  ，并与  、  分别交于点  、  ．一次函数  的图象经过  、  两点．  

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；    

（2）点  是  轴上一动点，当  的值最小时，点  的坐标为________．    

21.（2021·菏泽）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：  

（1）请把条形统计图补充完整；    

（2）合格等级所占百分比为________%；不合格等级所对应的扇形圆心角为________度；    

（3）从所抽取的优秀等级的学生  、  、  ……中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到  、  两位同学的概率．    

22.（2021·菏泽）如图，在  中，  是直径，弦  ，垂足为  ，  上一点，  为弦  延长线上一点，连接  并延长交直径  的延长线于点  ，连接  交  于点  ，若  ．  

（1）求证：  是  的切线；    

（2）若  的半径为8，  ，求  的长．    

23.（2021·菏泽）在矩形  中，  ，点  ，  分别是边  、  上的动点，且  ，连接  ，将矩形  沿  折叠，点  落在点  处，点  落在点  处．  

（1）如图1，当  与线段  交于点  时，求证：  ；    

（2）如图2，当点  在线段  的延长线上时，  交  于点  ，求证：点  在线段  的垂直平分线上；    

（3）当  时，在点  由点  移动到  中点的过程中，计算出点  运动的路线长．    

24.（2021·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线  交  轴于  ，  两点，交  轴于点  ． 

（1）求该抛物线的表达式；    

（2）点  为第四象限内抛物线上一点，连接  ，过点  作  交  轴于点  ，连接  ，求  面积的最大值及此时点  的坐标；    

（3）在（2）的条件下，将抛物线  向右平移经过点  时，得到新抛物线  ，点  在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点  ，使得以  、  、  、  为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点  的坐标；若不存在，请说明理由． 

参考：若点  、  ，则线段  的中点  的坐标为  ．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 D   

【考点】数轴及有理数在数轴上的表示    

【解析】【解答】解：由数轴可知，点A表示  ， 

∴  的倒数是  ；

故答案为：D.

【分析】由数轴和倒数的定义，即可得到答案.

2.【答案】 D   

【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方    

【解析】【解答】解：A、  ，故A选项不符合题意； 

B、  ，故B选项不符合题意；

C、  ，故C选项不符合题意；

D、  ，故D选项符合题意，

故答案为：D．

 【分析】熟练掌握合并同类项、同底数幂、完全平方式、积的乘方运算法则。

3.【答案】 A   

【考点】不等式的解及解集，解一元一次不等式组    

【解析】【解答】∵  ， 

解①得x＞2，解②得x＞m，

∵不等式组  的解集为  ，根据大大取大的原则，

∴  ，

故答案为：A.

 【分析】解题关键：掌握解一元一次不等式，再根据不等式组的解集来确定m的值。

4.【答案】 B   

【考点】角的运算，平行线的性质    

【解析】【解答】如图，∵AB∥DE， 

∴∠BAE=∠E=30°，

∴  =∠CAB-∠BAE= 45°-30°=15°，

故答案为：B

 【分析】两直线平行，内错角相等。解题关键：熟记平行线的性质和三角板各个角的度数。

5.【答案】 B   

【考点】圆柱的计算，由三视图判断几何体    

【解析】【解答】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6． 

空心圆柱体的体积为π×  2×6-π×  2×6=18π．

故答案为：B．

 【分析】圆柱的体积=底面积×高 ，解题关键：掌握观察三视图。

6.【答案】 A   

【考点】分析数据的集中趋势    

【解析】【解答】解：将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12； 

位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数是10，

所以该组数据中位数是10，故A选项符合题意；

该组数据平均数为：  ，故B选项不符合题意；

该组数据10出现次数最多，因此众数是10，故C选项不符合题意；

该组数据方差为：  ，故D选项不符合题意；

故答案为：A．

 【分析】解题关键：熟记中位数、平均数、众数、方差的计算方法或公式。

7.【答案】 D   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：分类讨论：当方程为一元二次方程时

 ∵关于  的方程  有实数根， 

∴  ，且  ，

解得，  且  ，

 当方程为一元一次方程时，k-1=0，故k=1.故方程为：3x+1=0有实数根：x=-

 综上可得， 

故答案为：D．

 【分析】注意没有说明方程是一元次方程，还是一元一次方程，一定要分类讨论。根据根判别式判别一元二次方程有根的情况。解题关键：注意分类讨论，熟练掌握一元二次方程的根的情况的判别。

8.【答案】 C   

【考点】通过函数图象获取信息并解决问题，动点问题的函数图象    

【解析】【解答】如图：根据平移的距离  在4至7的时候线段长度不变， 

可知图中  ,

根据图像的对称性，  ，

由图（2）知线段最大值为  ，即 

根据勾股定理 

 矩形  的面积为 

故答案为：C

 【分析】直线经过A点时a的值为0，直线过B点时a的值达到最大值.直线平移的矩离为1.根据解直角三形可得AB的长为2.从直线过B点到经D点，a的值不变。这时平移的矩离为3.故直线从经A点到D点平移的矩离就是AD的长度4.故可求矩形面积。

二、填空题

9.【答案】 1.41×109 ．   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：将1410000000用科学记数法表示为：1.41×109 ．  

故答案是：1.41×109 ． 

 【分析】大数的科学记数法：a×10n  ， 其中1＜|a|＜10，n=这个大数的总位数-1，解题关键：如何确定a，n的值。

10.【答案】    

【考点】提公因式法与公式法的综合运用    

【解析】【解答】∵  

=-a 

= 

故答案为:  ．

 【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。

11.【答案】    

【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质    

【解析】【解答】解：∵  ，  分别为  、  的中点，  ， 

∴AB＝2DE＝4，  ，

∵在  中，  ，

∴AC＝2AB＝8，

∴BC＝  ＝  ＝  ，

又∵点E为BC中点，

∴BE＝  BC＝  ，

∵  ，  ，

∴四边形ABFD为平行四边形，

∴四边形  的面积＝AB×BE＝4×  ＝  ，

故答案为：  ．

 【分析】三角形的中位线平行且等于第三边的一半，30度所对的直角边等于斜边的一半。

12.【答案】 1∶3   

【考点】相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：∵四边形  和四边形  均为正方形， 

∴设四边形  和四边形  的边长为x，

则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，

∵AD⊥BC，

∴PD＝EF＝x，

∵AD＝5，

∴AP＝AD－PD＝5－x，

∵EM  BC，

∴  AEM∽  ABC，

∴  ，

∴  ，

解得：x＝2.5，

∴AP＝2.5，EM＝5，

∴S△AEM＝  ＝  ，

又∵S△ABC＝  ＝25，

∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM

＝25－ 

＝  ，

∴S△AEM∶S四边形BCME＝  ∶  ＝1∶3，

故答案为：1∶3．

 【分析】易证 AEM∽  ABC，可得 ，可求EF的长。再求得S△AEM，S△ABC，从而得S四边形BCME。即可求解结果。解题关键：利用相似三角形的性质求出正方形的边长的长度。

13.【答案】 ①②③．   

【考点】定义新运算    

【解析】【解答】解：当  时， 

把  代入  ，可得特征数为 

∴  ，  ，  ，

∴函数解析式为  ，函数图象的对称轴是  轴，故①符合题意；

当  时，

把  代入  ，可得特征数为 

∴  ，  ，  ，

∴函数解析式为  ，

当  时，  ，函数图象过原点，故②符合题意；

函数 

当  时，函数  图像开口向上，有最小值，故③符合题意；

当  时，函数  图像开口向下，

对称轴为： 

∴  时，  可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④不符合题意；

综上所述，正确的是①②③，

故答案是：①②③．

 【分析】每一结论，根据题意，得出二次函数的解析式，再验证。抛物线开方向向上有最小值，向下有最大值。抛物线向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。解题关键：熟记和理解二次函数最值，开口方向，对称轴，增减性规律的判别方法。

14.【答案】    

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，探索图形规律    

【解析】【解答】解：过  作  轴于点  

 点A是直线  与双曲线  的交点

 解得 

  是等腰直角三角形

  是等腰直角三角形

设  的纵坐标为  ，则  的横坐标为 1

 点  在双曲线上

解得 

设  的纵坐标为  ，则  的横坐标为 

解得 

同理可得 

由以上规律知： 

 即  的纵坐标为 

  的横坐标为 

故答案是：  ．

 【分析】先求出A（1，1），易得 是等腰直角三角形，AB=2，设A1的纵坐标为m1  ， 故A（2+m1  ， m1），再代入反比例函数解析式，即可求出A的坐标。同理可A2  ， A3的坐标。再根据A1  ， A2  ， A3的横坐标的特点总结规律可得结果。

三、解答题

15.【答案】    

=1+3  

=0.

【考点】实数的运算    

【解析】【分析】非零数的0次幂为1.解题关键：熟记0次幂，绝对值、特殊三角函数值，负整数幂等运算法则。

16.【答案】 ∵    

=  

=  

=  ,

∵  ,

∴  ,

∴原式=  = -6．

【考点】利用分式运算化简求值    

【解析】【分析】a2-b2=（a+b)(a-b)，a2-2ab+b2=(a-b)2  ， 解题关键：掌握分式的混合运算和运算法则。

17.【答案】  四边形  是菱形  

在  和  中

       (ASA)

即  ．

【考点】菱形的性质，三角形全等的判定（ASA）    

【解析】【分析】菱形的四条边相等，对角相等。全等三角形证明方法之一：ASA

 解题关键：熟记菱形的性质及掌握全等三角形的判定与性质。

18.【答案】 如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， 

根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=30°，

∵∠CAD=∠CBA+∠ACB

∠CBA=∠ACB=30°，

∴AB=AC=200（海里），

在Rt△ADC中，

CD=ACsin60°=200×  =100  ，

在Rt△BDC中，

BC=CD÷sin30°=200  （海里）.

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题    

【解析】【分析】易得∠B=∠C=30  ， 从而得AC=BA=200，解RT△ADC可求CD=100  ， 再解RT△ADB可得BC=200.解题关键：熟练掌握解直角三角形。

19.【答案】 解：设这种水果每千克降价  元， 

则每千克的利润为：  元，销售量为：  千克，

整理得，

 或  ，

 要尽可能让顾客得到实惠，

即售价为  （元）

答：这种水果的销售价为每千克29元．

【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题    

【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量

 解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。

20.【答案】 （1）  四边形  是矩形，  ，    

   为线段  的中点

将  代入  ，得  

将  ，代入  ，得：

  ，解得   

（2）如图：作  关于  轴的对称点  ，连接  交  轴于点P   当  三点共线时，  有最小值    ， 设直线  的解析式为  将  ，代入  ，得  ，解得   令  ，得     

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的应用-最短距离问题    

【解析】【分析】(1)易得B（4，2），再根据中点坐标公式可得D（2，1）从而可得反比例函数的解析式，从而求得E，F的坐标。根据待定系数法可求一次函数的解析式。

 （2）作F的对称点F‘，连结EF‘，与x轴交点P为所求。根据待定系数法可求EF‘一次函数的解析式，从而可求P的坐标。 

解题关键：掌握利用待定系数法求函数的解析式、将军饮马模型解题。

21.【答案】 （1）总人数为：  （人）；  

优秀人数为：  （人）．

（2）30；

（3）用列表法如图： 

  恰好抽到  、  两位同学的概率为   ．

【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法    

【解析】【解答】（2）合格等级：  ． 

不合格等级对应的扇形圆心角：  ．

【分析】部分数量÷其所占百分比=总数  ，部分数量=总数×其所占百分比。

 解题关键：学会观看统计图，知道其中的数量关系。掌握树状图法或列表法列出所有可能，根据概率公式求解。

22.【答案】 （1）解：证明：连接OE，如图， 

∵OA=OE

∴∠OAE=∠OEA．

∵EF=PF，

∴∠EPF=∠PEF

∵∠APH=∠EPF，

∴∠APH=∠EPF，

∴∠AEF=∠APH．

∵CD⊥AB，

∴∠AHC=90°．

∴∠OAE+∠APH=90°．

∴∠OEA+∠AEF=90°

∴∠OEF=90°

∴OE⊥EF．

∵OE是  的半径

∴EF是圆的切线，

（2）∵CD⊥AB 

∴  是直角三角形

∵  

∴   

设  ，则   

由勾股定理得，   

由（1）得，  是直角三角形

∴   

∴  ，即  

∵   

∴  

解得，  

【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质    

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠FEP=∠FPE，∠A=∠AEO，对顶角相等，∠FPE=∠APH。根据等量代换可求∠FEP+∠AEO=90  ， 从而求得结果。

 （2）由已知条件可设GH=3x，FG=5x，由勾股定理可得FH=4x，根据相似三角形性质得

 在RT△OEG中，  ， 从而求得结果。 

23.【答案】 （1）明：∵在矩形ABCD中， 

∴AD  BC，AB＝CD；

∴∠DEF＝∠EFB，

∵折叠，

∴∠DEF＝∠HEF，

∴∠HEF＝∠EFB，

∴PE＝PF；

（2）证明：连接PM，ME，MF， 

∵在矩形ABCD中，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即：DE＝BF，

∵折叠，

∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，

∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，

又∵由（1）得：PE＝PF，

∴PE－HE＝PF－BF，

即：PH＝PB，

在Rt  PHM与Rt  PBM中，

 ，

∴Rt  PHM≌Rt  PBM（HL），

∴∠EPM＝∠FPM，

在  EPM与  FPM中，

 ，

∴  EPM≌  FPM（SAS），

∴ME＝MF，

∴点M在线段EF的垂直平分线上；

（3）解：如图，连接AC，交EF于点O，连接OG， 

∵AB＝CD＝5，  ，

∴BC＝  ，

∴在Rt  ABC中，AC＝  ＝  ，

∵AD  BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在  EAO与  FCO中，

 ，

∴  EAO≌  FCO（AAS），

∴OA＝OC＝  AC＝5，

又∵折叠，

∴OG＝OC＝5，

当点E与点A重合时，如图所示，此时点F，点G均与点C重合，

当点E与AD的中点重合时，如图所示，此时点G与点B重合，

∵O为定点，OG＝5为定值，

∴点G的运动路线为以点O为圆心，5为半径的圆弧，且圆心角为∠BOC，

在Rt  ABC中，tan∠BAC＝  ＝  ，

∴∠BAC＝60°，

∵OA＝OB＝OC＝OG，

∴点A、B、C、G在以点O为圆心，5为半径的圆上，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

 的长为  ＝  ，

∴点  运动的路线长为  ．

【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题），四边形的综合    

【解析】【分析】（1）只要证∠HEF=∠EFB便可得结果

 （2）先证PH=PB，再证△PHM≌△PBM，后证△PME≌△PMF，即可得MF=ME，故可得结果 

（3）分析可得G点运动轨迹是以OC为半径的弧BC，根据弧长公式可求。

24.【答案】 （1）解：将A（-1,0），B（4,0）代入抛物线  可得： 

 ，

解得：  ，

∴该抛物线的表达式为：  ；

（2）设  且  ，  ， 

∴  ，

∵  ，

∴  ，

得：  ，化简得：  ①

  ②

将①代入②可得：  ③

∵点  在抛物线上，

∴  ④

将④代入③化简得：  ， 

根据抛物线的基本性质：对称轴为  在  内，

∴  在  取得最大值，代入得：  ，

当  时，  ，

∴  面积的最大值为8，此时点P的坐标为：  ．

（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为  ，将抛物线向右平移经过点  ，可知抛物线向右平移了  个单位长度， 

 ∴可得：  ，

化简得平移后的抛物线：  ，

对称轴为：  ，

由（2）得：A（-1，0），  ，点E在对称轴上，

∴设E（3，e），点F（m，n），矩形AEPF，

则AP的中点坐标为：  ，

EF的中点坐标为：  ，

根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：

解得： 

∵矩形AEPF，

∴  为直角三角形，

∴  ，③

 ，

 ，

 ，

代入③化简可得：  ，④

 将②代入④可得：  ，

化简得：  ，

根据判别式得：  ，

∴  ， 

∴  ，或者  ．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用    

【解析】【分析】（1）先求出 ，再求函数表达式即可；

 （2）先求出 ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；

 （3）先求出    ，  再求出 EF的中点坐标为：    ，  最后利用勾股定理和根的判别式求解即可。下载本文