1、已知抛物线．

（1）求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；

（2）过点作轴的垂线交该抛物线于点和点（点在点的左边），是否存在实数，使得？若存在，则求出满足的条件；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）证法1：，当时，抛物线顶点的纵坐标为，顶点总在轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与轴有两个不同的交点．

（或者，当时，抛物线与轴的交点在轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与轴有两个不同的交点．）

证法2 ：，当时，，该抛物线与轴有两个不同的交点．

（2）存在实数，使得．设点的坐标为，由知，

①当点在点的右边时，，点的坐标为，

且是关于的方程的两个实数根．

，即．

且（I），（II）

由（I）得，，即．将代入（II）得，．当且时，有．

②当点在点的左边时，，点的坐标为，且是关于的方程的两个实数根．，即    ．

且（I），（II）

由（I）得，，即．将代入（II）得，且满足．

当且时，有

2、人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（　　）

Ａ．24米        Ｂ．12米        

Ｃ．米        Ｄ．6米

答案：Ｂ

3、我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．

（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；

（2）求出图（2）中表示的种植成本单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？

（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

（2）由题目已知条件可设．图象过点，．

  ．

（3）设纯收益单价为元，则=销售单价成本单价．

故

化简得

当时，有时，最大，最大值为100；

当时，由图象知，有时，最大，最大值为；

当时，有时，最大，最大值为56．

综上所述，在时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．

4、如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）

答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为 

由已知：当时即表达式为（或）

（2）（3分）令（舍去）．足球第一次落地距守门员约13米．

（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为

根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）解得

（米）．

解法二：令解得（舍），点坐标为（13，0）．

设抛物线为将点坐标代入得： 

解得：（舍去），

令（舍去），（米）．

解法三：由解法二知，所以所以

答：他应再向前跑17米．

5、荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元．每公顷蔬菜年均可卖万元．

（1）基地的菜农共修建大棚（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为（万元），写出关于的函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施年内不需增加投资仍可继续使用．如果按年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

答案：（1）． 

（2）当时，即，， 

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚． 

（3）设年内每年的平均收益为（万元）

（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为公顷时可以得到最大收益． 

建议：①在大棚面积不超过公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．

②大棚面积超过公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当时，，．大棚面积超过公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）

6、一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为元，按定价元出售，每月可销售万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价元，月销售量可增加万件．

（1）求出月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式（不必写的取值范围）；

（2）求出月销售利润（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价（元）之间的函数关系式（不必写的取值范围）；

（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于万元．

答案：略． 

7、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的且距地面，建立如图所示的坐标系

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

答案：（1）由题意可知抛物线经过点　

设抛物线的方程为　　将三点的坐标代入抛物线方程．

解得抛物线方程为　　

（2）令，则有　　解得　　

　　货车可以通过．　　

（3）由（2）可知　　货车可以通过．　　

8、如图，在矩形中，，线段．在上取一点，分别以为一边作矩形、矩形，使矩形矩形．令，当为何值时，矩形的面积有最大值？最大值是多少？

答案：解：矩形矩形，．

，．．

　 ．

当时，有最大值为．

9、某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

答案：解：（1）当时，，，当时，；当时，．解得．

（2）设投资种商品万元，则投资种商品万元，获得利润万元，根据题意可得

当投资种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资种商品7万元，种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．

10、如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱，5根支柱之间的距离均为15m，，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．

（1）直接写出图（2）中点的坐标；

（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；

（3）求图（1）中支柱的长度．

答案：（1），，；　 （2）设抛物线的表达式为，　 把代入得．　．　所求抛物线的表达式为：．

 　（3）点的横坐标为15，　的纵坐标．

　，拱高为30，　立柱．　 由对称性知：。

11、某商场购进一种单价为元的篮球，如果以单价元售出，那么每月可售出个．根据销售经验，售价每提高元．销售量相应减少个．

（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含的代数式表示）（4分）

（2）元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）

答案：（1），； （2）设月销售利润为元，由题意， 

整理，得． 当时，的最大值为，．