21实际是知识经济和信息时代，也是人才和科学技术激烈竞争的时代。为使人才和科学技术在激烈的竞争中立于不败之地，随着科学技术的发展和社会的不断进步，数学这一重要的基础科学迅速地向自然科学和社会科学的各个领域渗透，并在工程技术、经济建设及金融管理、生物医学等方面发挥出愈来愈明显的作用。特别是数学与计算机技术相结合，一经形成一种重要的、可以实现的技术。要充分发挥数学的作用，首先要将所考查的现实世界中的现实问题归结为一个相应的数学模型，即建立该问题的数学模型。

数学模型即就是将某一领域或部门的某个实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参量，并依据某种“规律”建立变量和参量间的明确关系（数学模型），然后求解该问题，并对结果进行解释和验证，如果正确则可以投入使用，否则将重新对问题的假设进行改进，多次循环，直到正确。完成“实践—理论—实践”这一循环。

这里所说的数学建模步骤只是大体上的规范，实际操作中应针对问题具体分析，灵活运用。建立数学模型的一半步骤如下：

1.模型准备：

对问题（事件或系统）进行观察，想象其运动变化情况，掌握研究对象各种信息，用非形式语言（自然语言）进行描述。

2.模型假设：

分析处理数据、资料，确定现实原型的主要因素，抛弃次要的因素，对问题进行必要的简化，用精确的语言找出必要的假设，这是非常关键的一步。

3.模型建立：

根据主要因素及所作假设，利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系，并建立相应的数学模型（如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等）。在建模时，数学工具的采用要根据实际问题的特征、建模的目的和要求以及建模者的数学特长而定。因此，采用的数学方法不同，建立的模型也可能不同，但应遵循一条原则，及尽量采用简单的数学工具，以使模型得到更广泛的应用。

4.模型求解

使用已知数据，观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。利用数学工具，对模型进行求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等，以找出数学上的结果。要求建模者掌握相关技巧和计算技术。

5.模型分析：

对模型求解的结果进行数学上的分析，有时需要根据问题的性质分析各变量之间的依赖关系或性态，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。

6.模型检验：

把模型分析的结果返回到实际应用中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。通常，一个成功的模型不仅能够解释已知现象，而且还能预言一些未知现象。

7.模型应用：

如果检验结果与实际不符或与部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出在模型假设上，此时应该修改或是补充假设。如果检验结果与实际相符，并满足问题所需要的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用。

数学模型介绍：

线性模型

例1 （汽车租价问题）一个汽车租赁公司有150辆小汽车，每辆小汽车租价相等，最高租价为198元，最低租价为88元。经过一段时间的经营实践，店长得到了一些数据：每辆小汽车租价为198元时，租车率为55%；每辆小汽车租价为168元时，租车率为65%；每辆小汽车租价为138元时，租车率为75%；每辆小汽车租价为108元时，租车率为85%.预使汽车租赁公司每天收入最高，每辆小汽车应如何定价？

分析与思考：

据店长提供的数据，小汽车租价每下降30元，租车率即提高10个百分点。相当于平均每下降1元，租车率提高个百分点。因此，可假设随着租车价格的下降，租车率呈线性增长。

解：设y表示汽车租赁公司一天的总收入，X表示与最高价198元相比每辆小汽车降低的租价，

可建立数学模型：

Y=150(198-x)(0.55+x)

解得，当x=16.5时，y取最大值171.125元，即最大收入对应的租车价格为181.5元。如果为了方便管理，租价为180元/(辆.天)月也是可以的，因为总收入y=170元，与理论上的最高收入只差仅为1.125元。

本题建模的关键在于：根据小汽车租费的降幅与租车率的升幅关系，假设两者存在着线性关系。

不等式模型

例3（住房问题）一个星级旅馆有30间客房，其中豪华房20间，标准房10间。现将这30间房间分给A、B两地的游客，其中20间分给A地的游客，10间分给B地的游客，两地游客与旅馆经理商定每天价格如表1：

表1

若要使旅馆这30间房间一天所获得的总金额不低于26800元，请说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来。

解：（1）y=1000（20-x）+900x+800x+600（10-x）=26000+100x

方案1：A地派甲型车12辆，乙型车8辆；B地派甲型车8辆，乙型车2辆；

方案2: A地派甲型车11辆，乙型车9辆；B地派甲型车9辆，乙型车1辆；

方案3: A地派甲型车10辆，乙型车10辆；B地派甲型车10辆。

金融与经济

现在经济生活中，人与金融的关系日益密切。金融的题目注重了针对性，典型性，新颖性，生活性和全面性，因而对数学能力和数学素质的要求也在力求  。

涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题，证券问题，住房问题，分期付款问题等。一般就是通过数学建模把现实问题转换成初等数学中的常见只是来解决，如数列问题，幂函数问题，不等式问题等。

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