(100分，60分钟)

一、选择题(每题6分，共36分)

1.已知正方体-中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(   )

A. A1，M，O三点共线              B. M，O，A1，A四点共面

C. A，O，C，M四点共面            D. B，B1，O，M四点共面

2.圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为(   )

A.π      B.π       C.π        D.π 

3.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(   )

A.若m   β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

4.〈山东省青岛一模〉一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是(   )

A．16π       B．14π       C．12π        D．8π

图1                   图2

5.如图2，在正四棱柱-中，AB=1，AA1=，E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为(   )

A.        B.         C.         D.

6.〈吉林春市第四次调研〉已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为(    )

A.         B.        C.         D.

二、填空题(每题5分，共20分)

7.某几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为            .

图3

8.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角为60°，则该截面的面积为            .

9.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是            .

10. 给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若某四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是            ．

三、解答题(11题14分，其余每题15分，共44分)

11.〈杭州模拟〉如图4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．

图4

12.〈厦门〉 如图5，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分别是线段BC，PD的中点.

(1)若AP=AB=AC=2，BC=，求三棱锥P-ABC的体积；

(2)若点F在线段AB上，且AF=AB，证明：直线EF∥平面PAC．  

图5

13. 如图6，在直四棱柱-中，DB＝BC，DB⊥AC，M是棱BB1上一点．

(1)求证：B1D1∥平面A1BD；

(2)求证：MD⊥AC；

(3)当M在BB1上的何处时，有平面DMC1⊥平面CC1D1D.

图6

参及点拨

一、1.D        点拨：因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1，M，O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B，C正确．

2.D        点拨：由题意，圆台的上底面半径r=1，下底面半径R=2，∵

S侧=6π，设母线长为l，则π·(1+2)l=6π，∴l=2，∴高h==.∴V=×π×(12+1×2+22)=π.

3.C        点拨：对于C，由m∥得，在平面内必存在直线l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l  ，故⊥β.

4.A        点拨：由三视图可知，该几何体是挖去一个球的而得到的.其中两个半圆的面积为π×22=4π. 球面的面积为×4π×22=12π，所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.

5.B        点拨：将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内，成为正方形ABC2D2（如答图1)，在矩形C1D1D2C2中连接D1C2，与AB的交点即为取得最小值时的点E，此时D1E+CE=D1C2.因为对角线AD1=2，∴D1D2=3，故D1C2===.

答图1                   答图2                答图3 

6.A        点拨：由题意可知，连接4个球的球心组成了正四面体，小球球心O为正四面体的中心，到顶点的距离为，从而所求小球的半径r=－2.

 二、7.      点拨：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥（如答图2)，则V=V1+V2=×2×2×4+××2×2×2=.

8.π        点拨：如答图3，依题意，截面圆的半径r=O′A=OA·cos60°=1.

9.8        点拨：如答图4①为棱长为1的正方体形礼品盒，先把正方体的表面按答图4②方式展成平面图形，再把平面图形补成面积尽可能小的正方形，则正方形的边长为，其面积为8.

      答图4                              答图5 

10.①⑤        点拨：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形-中的四面体A-CB1D1；②错误，如答图5所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形（非正方形）时，此说法不成立，所以应填①⑤.

三、11.解：作CE⊥AD，交AD延长线于E.由已知得：CE=2，DE=2，CB=5，S表=S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧

=π(2＋5)×5＋π×52＋π×2×

＝(60＋)π，

V=V圆台－V圆锥

= (π·22＋π·52＋)×4－π×22×2

=π.

12.解：(1)在△ABC中，AB=AC=2，BC=，D是线段BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，易求得AD=1.

 ∴S△ABC=××1=.∵PA⊥底面ABC，

 ∴VP-ABC=××2=．

（2）如答图6，取CD的中点H，连接FH，EH.∵E为线段PD的中点，∴在△PDC中，EH∥PC.∵EH 平面PAC，PC 平面PAC，∴EH∥平面PAC.∵AF=14AB，∴在△ABC中，FH∥AC，∵FH 平面PAC.AC 平面PAC，∴FH∥平面PAC，∵ FH∩EH=H，∴平面EHF∥平面PAC.∵EF 平面EHF，∴EF∥平面PAC.

   答图6                     答图7

13.(1)证明：由直四棱柱得BB1∥DD1，BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD 平面A1BD，B1D1 平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.

(2)证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD 平面BB1D，∴MD⊥AC.

(3) 解：当M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如答图7所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即四边形BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM 平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.下载本文