第六讲 圆的方程
（一）热点透析
考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．
达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．
（二）知识回顾
1． 圆的定义
在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫圆．
2． 确定一个圆最基本的要素是 和
3． 圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中( )为圆心， 为半径．
4． 圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为，半径r＝.
5． 确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
6． 点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上： ；
(2)点在圆外： ；
(3)点在圆内： .
[难点正本 疑点清源]
1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
2． 圆的一般方程的特征
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若化为标准式，即为2＋2＝.由于r2相当于.
所以①当D2＋E2－4F>0时，圆心为，半径r＝.
②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点.
③当D2＋E2－4F<0时，这样的圆不存在．
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1． 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．
2． (2011·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．
3． (2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
4． (2012·辽宁)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 ( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
5． (2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
二、高频考点专题链接
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为
____________________．
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
反思总结
利用方程思想求解圆的问题
典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．
(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．
方法与技巧
1． 确定一个圆的方程，需要三个条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
2． 解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
失误与防范
1． 求圆的方程需要三个条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个方程．
2． 过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 ( )
A．－1 3． (2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( ) A．－1 B．1 C．3 D．－3 4． 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 ( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________． 6． 以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________． 7． 已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)根据下列条件求圆的方程： (1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 9． (12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程． 拓展训练(时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ( ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 2． 已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 ( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 3． 已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是 ( ) A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是 ________． 5． 若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________． 6． 已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形 ABCD的面积的最大值为________． 三、解答题 7． (13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．下载本文
