温县第一高级中学数学组 任利民
问题1：平面上一动点
与两点的连线的斜率之积是，求
(,)P x y (2,0),(2,0)A B -3
4-
点的轨迹方程 .
P 22
1(2)43x y x +=≠±问题2：椭圆上任一点与两点的连线的斜率之积是 22
1
43x y +=P (2,0),(2,0)A B - .
123
4k k =-
探究：（1）已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的22
221x y a b +=(,0),(,0)A a B a -点与A 、B 连线的斜率之积是 .
P 2
2
b a -（2）已知椭圆上两点,椭圆上任意异于A 、B 的点与A 、22
221x y a b +=(0,),(0,)A b B b -P B 连线的斜率之积是 .
2
2
b a -（3）已知椭圆上两定点，椭圆上任意异于A 、B 22
221x y a b +=0000(,),(,)A x y B x y --的点与A 、B 连线的斜率之积是 .
P 2
2
b a -结论1.设 A 、B 是椭圆上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则
．2
122
b k k a =-探究：（3）设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点P 是
22
2
21(0)x y a b a b -=>>该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．
结论2.设 A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点P 是该22
221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则
．2
122
b k k a =应用拓展：
1.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为，点
,A B P 在椭圆上且异于两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为，
,A B 12-则椭圆的离心率为
.
解析：利用k AP ·k BP ＝，可以得到.
22b a
-c e a ====2.椭圆C:的左、右顶点分别为，点在C 上且直线斜率的取值
22
143x y +=12,A A P 2PA 范围是 ，那么直线斜率的取值范围是
[2,1]--1PA A.
B.
C.
D. 13
[,24
33[,]84
1[,1]2
3[,1]
4
解析：因为，所以 ,∵
122
234
PA PA b k k a ⋅=-=-123
4PA PA k k -
=
2
[2,1]PA k ∈--∴,故选B.
133[,84
PA k ∈3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝，7
25
则直线CD 的斜率为
．
解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125
F BF OBF ∠=∠-=
，所以，所以，又因为，且，
24cos 5b OBF a ∠==35c a =BD b
k c =-BD CD k k ⋅=2
2b a
-所以，即．
22CD
b b
k c a -⋅=-4312
5525
CD b c k a a =⋅=⋅=
3.已知椭圆，点为其长轴的6等分点，分别过这五点
2
2:12
x C y +=125,,,M M M AB 作斜率为的一组平行线，交椭圆于点,则这10条直线,(0)k k ≠C 1210,,,P P P 1AP 210,,AP AP 的斜率的乘积为.
1
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