高中数学教学过程中解题反思能力的培养与实践
摘要: 本文简述了数学反思内涵和培养学生解题反思能力的重要意义，数学解题教学现状和教学实践表明，引导反思是必要和可行的,在一定程度上提高了效率。笔者根据教育学理论，结合教学实际，总结了在过程解题教学中培养学生反思能力的成功方法和途径,主要有1尝试错误，反思纠正2 挖掘内涵，反思发现3.展示常规,反思本质4. 设计变式,反思归纳5 引导多解,反思角度6 鼓励质疑, 反思批判7指导小结，反思脉络等等,以起到抛砖引玉的作用.
关键词:反思能力,新教材,思维发展，过程解题教学
1 数学反思的基本内涵
顾名思义,“思”是指“心”上有块“田”，那么，“反思”就是指“田”上有颗“心”。不断地“反思”就是指在“心田”上长出更多的“心”。这样，“心心”之火就会燃为燎原之势，创新的实质就是要不断地创“心”（反思）。
“扪心自问”、“反求诸己”,这些耳熟能详的成语都反映了古人的“反思”意识。费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。波利亚说，“如果没有了反思，他们就遗漏了解题中一个重要而且有效的阶段，通过回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力”。曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。
《普通高中数学课程标准》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”。标准的这一提出,要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力.而这恰是我们所要提倡和引导的.
解题反思能力是对解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思及解题失误的反思。从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解。
2培养解题反思能力的重要性
学期初，我对我校高三理科班学生进行了调查。调查结果表明，绝大多数学生没有经常回顾学习的习惯，多数只能做到偶尔回顾当天所学的内容，约14%的学生从不回顾学习情况。90%以上学生只限于通过考试或解题来了解自己的学习水平，途径单一，而表示不清楚自己学习水平的学生比例高达56%。在学习或解题过程中，60%的学生没有做小结的习惯，只有16%的学生有在做完一题后进行归纳的习惯。而对于解题后作进一步的思考，会想一想题目有哪些变化的学生则更少。由此看来，多数学生没有养成反思习惯，在数学解题教学中，我发现学生存在着两大弊端：
一是只管做题目，像猴子摘玉米，过一段时间又不知其所以然。这类学生往往比较刻苦，只注重做题的数量，而不重视做题的质量；只注重做题结果，而不重视解题的过程及解题后的反思。
二是遗忘快，学了后面忘了前面。这类学生往往只注重知识个体而忽略整体，没有系统性，数学学习靠记忆的成分多；只注重知识学习、注重当前效果，只顾“勇往直前”，却缺乏“回头看”。
我认为在要求学生解题时，应鼓励学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印象，避免重蹈覆辙。因此，学生在解题中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施。
3 培养解题反思能力的途径
目前数学教学最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动中的最要的环节，由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了高中生必须要经过多次反复思考，深入研究，自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。笔者在新教材的教学实践中觉得有以下途径可以实施反思。
3.1尝试错误，反思纠正
现代心理学表明：好奇心、求知欲和创造力是紧密相连的。笔者在平时的解题教学过程中，采用正误对比,设置陷阱的方法，引导学生参与，让他们自己发现暴露出的问题，诱发学生的好奇心，引导学生去反思问题的根源，看清问题的实质，寻求解决问题的方法。
案例1：试计算：
同学甲：先除下来，再拆成和的形式就行了。
即：原式=++=0+0+0=0
这一回答并没有引起任何争议，大家表现的很平静，问题似乎的完成了，平静的湖面没有泛起一点涟漪，此时，我突然提出“既然甲同学先除再求和，要是先求和再除，结果一样吗？”看到同学一个个很狐疑,很快同学乙回答道:
原式===
一石激起千层浪,大家发现上述两个同学的解法中,甲同学用的是“和的极限等于极限的和”的运算法则，而乙同学是对已知数列进行求和再求极限，似乎都没什么问题，但结果不同,说明两种解法中至少有一种解法是错误的，这一对比势必引起学生的好奇，反思，认识上产生了巨大落差,经过一番激烈讨论后,很自然地探寻得出法则的实质。
3.2 挖掘内涵，反思发现
爱因斯坦说过“发现一个问题比解决一个问题更重要”通过挖掘题目内涵找出新问题。
案例2：[数列例题]一个等差数列的第6项是5，第3项和第的和也是5，求这个等差数列前9项的和?
此题要学生解出答案并不难，若仅仅解出答案，则学生的能力没有得到提高，我在讲评时，点击思维，引导学生进入反思 。
师：“这里的数字5重要吗？”，“S9=0的根本原因是什么？”
经过思考，学生甲：“5”并不重要，重要的是“阿a6=a3+a8”，S9=0根本原因是a5=0.
于是学生联想到等差数列的性质，有如下巧解: 因, 得所以.
师：“能推广吗？”
很快地，不少学生便地给出了下面的简单推广：为等差数列，若则， .
为了让学生对知识有一个横向的反思, 再问:“等比数列有类似的结论吗?”基础好一点的学生便能得出:为等比数列，为其前n的积,若 ,则.
通过以上教学,由特殊到一般,由等差数列到等比数列,由单一到综合,一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合,提供了学生思维发展的良好素材,同时也培养了学生的解题反思能力.
3.3 展示常规,反思本质
在平时解题教学中,对例题,习题,作业的学习应引导学生深入探究,展示通性,通法,从建构学的角度可以使学生做一个题,明白一类题,抓住一串题,培养学生的解题反思能力,达到举一反三目的.
案例3：（1）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。（选修2－1P44例3）
（2）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。（选修2－1 P59探究）
学生很容易求出轨迹方程,若教师点评到此为止,则失去了课本两题的典型性和示范性,其实老师可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。
改为1：:动点M到两点A(a,0)和B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值k(k0), 求动点M的轨迹?
解：设动点M的坐标为(x,y)，则,所以 即() 有：
①当k<-1时, 点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且以AB为其短轴（A,B两点除外，下同不予重复）
②当k=-1时, 点M的轨迹为以AB为直径的圆
③当-1 改为2：:动点M到两点A(0，a)和B(0，-a), （ a>0）的连线斜率的乘积为定值k(k0), 求点M的轨迹? 改为3：:动点M到两点A(m,t)和B(n,t)的连线斜率的乘积为定值k(k0), 求点M的轨迹? 通过对习题的归类、改造，揭示两题的本质，展示通性、通法，培养学生的反思能力，使学生的解题能力得到螺旋式上升。这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。 3.4 设计变式,反思归纳 变式思维的认识依据是事物间有相似性，进行变式的训练，使学生参与到教学中，能使学生抓住知识的联系与区别，促使学生进行思考，总结，激发学习动力。 解题教学中若能改变原题的结构或其他方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓展思路，提高应变能力，防止定势思维的负面影响，并要思考与该题同类的问题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法。解题后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线，“并联”成知识网，有利于提高分析和归纳的思维能力。 案例4：（选修2－3.P58.例4）某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，恰好8次击中目标的概率？ 分析：为了使学生深入理解，使学生处理这类重复试验问题不进入程式化硬套公式，我进行以下变式教学，引起学生反思，使学生对知识的深度有更细更好的理解。 变一：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且恰有2次连续命中目标的概率？ 变二：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且不连续命中目标的概率？ 分析：这是附带条件的重复试验问题，三题比较，反思本质，总结重复试验概率公式P（n=k）中，n次重复试验中这个事件恰好发生哪k次呢？它有几种可能的情况，由以上变式，使学生能通过反思，理解，在解决这类概率问题时，要注意k次有无条件，切忌硬套公式。 通过以上一系列的变式题组,可以通过反思,进行分析归纳汇总,有哪些同类型的问题?常见的有哪些形式?应分别采用哪些不同的处理方法?注意的关键点又是什么? 3.5引导多解,反思角度 我们在提问、举例、讲评数学问题时，要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，并根据所教对象和内容的特点，精心创设一个符合学生认知规律，激发学生求知欲的由浅入深、多层次、多变化的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。 案例5： 当ｘ＝１时，二次函数f(x)有最小值１；若把f(x)的图象向下移动３个单位，此时函数的图象与ｘ轴相交，并截得ｘ轴上一段线段长为４个单位；求函数f(x)的解析式。 首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f(x)、g(x)之间的关系为f(x)＝g(x)+3。其次引导学生具体分析函数g(x)所满足的三个条件，并从中探索解题的方法。 方法一，如果三个条件理解为图象过三点(1,-2)，(-1,0)，(3,0)，由y＝g(x)＝ax2+bx+c，求出a，b，c； 方法二，如果理解为图象是抛物线，其顶点是(1,-2)，且过点(-1,0)，由y＝g(x)＝a(x-1)2-2， 求出a。 方法三，如果理解为方程g(x)＝0的两个根为-1，3，且函数y=g(x)的图像过点(1,-2)，由y=g(x)＝a(x+1)(x-3)，求出a。最后可解得f(x)=0.5x2-x+1.5。 从二次函数g(x) 解析式的三种形式入手，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，而不停留在单纯的解题上。 在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，鼓励他们进一步思考其他解法。通过讨论与交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。我有时宁可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。 通过此法，教学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同角度，不同方面去思考问题，寻求变异。 3.6 鼓励质疑, 反思批判 思维的批判性指思维活动中分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡思考能力的培养。 案例6 ：<三角作业>:⊿ABC中，，，求 发现大部分学生如此解：由可得；由可得，进而可求或。在作业讲评中,先把上述解法拿出来展示,显然大家都认为错了,但不知错在何处? 那好,检验不如计算,用计算器分别验算两组A,B,C的大小,几分钟后,不少同学开始恍然,但还没大悟,既然有增根,非得用计算器,能用估算法来判断吗? 继续讨论,有个别同学开始面露微笑,一学生提出观点： 由可知：，同理可知。 由知：不可能！即取不到。故只有一解 通过作业的分析、讨论、讲评,鼓励学生对结论的可靠程度进行怀疑，以严谨的学术观点审视,在分析的基础上，灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。 3.7指导小结，反思脉络 一个数学问题的解决，并不等于这个问题思维活动的结束，而是对这个问题进行深入研究的开始，如果此时停止了这个问题的思维活动，将错过反思的大好良机，只解决了“怎样做？”等问题，而没有解决“是否解中有错？”“为什么这样解？”“还能怎样解？”等问题，这些问题只有在不失时机的解后反思才能得到解决，更重要的是学生通过对自己的思维过程的再验证、再认识，使自己对数学概念、定理、方法等各个方面从感性认识上升到理性认识，极大的提高思维水平。 对数学解题反思可以思虑从以下几个方面小结： ①对解题过程的反思：即解题过程中，自己是否很好地理解了题意？是否弄清了题干与设问之间的内在联系？是否能较快地找到了解题的突破口？在解题过程中曾走过哪些弯路？犯过哪些错误？这些问题后来又是怎样改正的？ ②对解题方法与技能的反思：即解题所使用的方法、技能是否有广泛应用的价值？如果适当地改变题目的条件和结论，问题将会出现怎样的变化？有什么规律？解决这个问题还可以用哪些方法等等。 ③题目立意的反思：即所解决的问题有什么意义？还有哪些问题需要进一步解决？ 4 两点说明 1、数学反思能力的培养要与数学能力（思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等）的培养有机结合起来，两者相互配合、协调发展，才能提高数学学习的效率，取得好的效果。 2、反思只是手段，而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”。在这种意义上，反思不是越多越好，而是恰到好处才好。同时反思的程度也是以解决问题为标准，也就是说，问题解决了，一次反思相应结束，而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问题，而不是缺乏应有价值的问题。 参考文献： [1]郑君文、张恩华.数学学习论．广西教育出版社，1996第35页. [2]熊川武。反思性教学。华东师范大学出版社，1999第页. [3]徐永忠．剖析错因,反思教学．数学通报，2003第12页. [4]龙朝.数学中“悟”的教学策略探索.中学数学，2003年5期第36页. [5]王长沛.数学教育与素质教育.2003第66页.下载本文
