一、二次函数
1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .
（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；
（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最
，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或
332t ≤<或72t =. 【解析】
【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a 12a
--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩
，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．
【详解】
解：（1）∵2a x 12a
-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.
∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，
∴抛物线过点()1,4.
得a 2a 34-+=，
解得a 1=-.
∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.
D 的坐标为()1,4.
（2）①∵PC PD CD -≤，
∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.
连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===
∴PC PD -
.
易得直线CD 的方程为y x 3=+.
把()P t,0代入，得t 3=-.
∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.
②2
y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.
（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2
y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ12t 3288t =--=-.
令288t 0-=，解得7t 2
=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2
=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．
2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=
13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=
32
． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=
32列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=，从而
可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．
又∵PE=3PF ，
∴PC PB PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ，
∴OF=20﹣3a ．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形，
∴22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18，
∴OF=3a ﹣20．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形， ∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
3．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-
72）或（0，32
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】
【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，
∴y ＝2x ﹣6，
令y ＝0，解得：x ＝3，
∴B 的坐标是（3，0）．
∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，
解得a ＝1，
∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．
（2）存在．
∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，
∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，
此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．
设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1-132（m ＝1+132＞0，舍）， ∴P （1-132，13-12
）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，
∴1DQ AD OD DB =，即56=135
DQ ，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝
72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ，
∴2OQ OB OD OB =，即2363
OQ =， ∴OQ 2＝
32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，
则△BOQ 3∽△Q 3EA ，
∴33OQ OB Q E AE =，即33341
OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，
即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．
综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
4．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可； （2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函
数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可.
【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，
2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；
（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，
2080160x -<≤≤，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．
解得：12100140x x ，．
== ∵想卖得快， 2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
5．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1（113
2
+
，0）、N1131）；M2（
113
2
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3
（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
20
3
a a c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
3
a
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=3B′D=3m ，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：
24043m k k m
⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231
m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；
（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ ≌△PQN ，
如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ ≌△PQN ，
∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，
∴∠MOQ=∠HQN ，
∴△OQM ≌△QNH （AAS ），
∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，
解得：x=1132
±
当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132
+，0）， ∴点N 坐标为（
1132++1312-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（1132+﹣1312
-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113+0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
6．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；
（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。
【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）214
y x x =-++
；（Ⅲ）317b = 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，
有10930
b c b c --+=⎧⎨-++=⎩。解得2,3b c == 2223(1)4y x x x ∴=-++=--+
(0,3),(1,4)A E ∴
（Ⅱ）由222
424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∵点E 在直线y x =上，2424
b c b +∴= 221111(1)4244
c b b b ∴=-+=--+ 2110,(1)44A b ⎛⎫∴--+ ⎪⎝
⎭ 当1b =时，点A 是最高点此时，214
y x x =-++ （Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)2
4b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2(2),,(0,1)2
4b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭ ∴E 关于x 轴的对称点E '为2(2),2
4b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),24b b E '⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.
得2(2)(1)142b b b +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
，即2680b b --=
解得，3b =
0,3b b >∴=.
3b ∴=+【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
7．函数()2110,>02
y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .
（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；
（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；
（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当
0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =
；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；
（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可
（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可；
【详解】
解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2
= （Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 令2
m 112
-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=
（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点
∴203m y 1922
≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1
∴32
≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9．
∴32≤4m-99≤，解得94m 2
<≤. 综上所述，91m 2≤≤
即为所求. 【点睛】
本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
8．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点A （1，﹣1），且与直线y ＝kx +2相交于B （2，0）和C 两点
（1）求抛物线和直线BC 的解析式；
（2）求证：△ABC 是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E （点E 不与点A 重合），使∠BCE ＝∠ACB ，求出点E 的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （5524
,）；（4）符合条件的点F 的坐标（17171，71，27
【解析】
【分析】
（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；
（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；
（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 时，2122m +=，②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，然后代入即可．
【详解】
（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，
将B （2，0）代入，
0＝a （2﹣1）2﹣1，
∴a ＝1，
抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，
将B （2，0）代入y ＝kx +2，
0＝2k +2，
k ＝﹣1，
∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；
（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩
， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，22
20x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），
∵A （1，﹣1），B （2，0），
∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴AB 2+BC 2＝AC 2，
∴△ABC 是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．
∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，
∴点A 与A '关于直线BC 对称，
AB ＝A 'B ，
可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），
∵A （1，﹣1），B （2，0）
∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，
∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，
∴A '（3，1），
∵C （﹣1，3），
∴直线A 'C ：1522
y x =-+， 联立：215222y x y x x
⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，
解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴E （52，54
）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，
∴设F （1，m ），
直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；
∴D （0，2）
∵B （2，0），
∴BD ＝12
x x
BF ==
DF ==
①当BF ＝BD
=
m ＝
∴F 坐标（1
1
②当DF ＝BD
=，
m ＝
∴F 坐标（1，
1，2
③当BF ＝DF
，
m ＝1，
F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．
综上，符合条件的点F 的坐标（1
1
1，
1，2
﹣
【点睛】
考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).
(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；
(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；
(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34
m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11
b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】
【分析】
（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；
（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得
22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；
（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m
=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )
由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩
(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上
22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②
①－②得，2am b b +=-，∴b am =-
把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=
0a <，22141,4am am a m m
∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥- 34m ≤-，314
m ∴-≤≤-
224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大
2393416m m ∴-≤+≤-
216113943
m m ∴-≤≤-+ 即161393
a -≤≤- 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.
10．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；
（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37
-
，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）．
【解析】 试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；
（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质
结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．
试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，
2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．
当2
23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）．
∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．
∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3
k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-
，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37
-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3
a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
11．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-1
2
x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.
【解析】
【分析】
（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；
（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．
【详解】
（1）如图，在AB上取AG=EC，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC ，
在△AGE 和△ECF 中，
AGE ECF AG EC
GAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AGE ≌△ECF ，
∴AE=EF ；
(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ，
∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE ≌△ENF ，
∴FN=BE=x ，
∴S △ECF =
12 (BC-BE)·FN ， 即y=12
x(4-x ）， ∴y=-
12x 2+2x （0＜x ＜4)， ②()
()222111y x 2x x 4x x 22222
=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2.
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：
21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则
()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+，
将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，
则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，
过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2,28D x x x -++，点(),21H x x -， ∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5），
故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++，
①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，
解得：6s =或﹣4，
故点()6,16P -或()4,16--；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =± 故点()17,2P 或()17,2；
综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()
17,2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ; (2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()
2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;
②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】
【分析】 （1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，
注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125
MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值
【详解】
(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm
(2)①解：在C 点相遇得到方程
57.5v = 在B 点相遇得到方程15 2.5v
= ∴5=7.515=2.5v v ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩ ∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴2/6/3
cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形
()()5152525751022x x ⨯-⨯-=--
-
=15
过M 点做MH ⊥AC ，则125
MH CM == ∴112152
S MH AP x =⋅=-+ ∴22S x =
()122152S S x x ⋅=-+⋅
=2430x x -+
=2
15225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254
. 【点睛】
本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 2
14．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；
（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．
【答案】（1）243y x x =
-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4．
【解析】
【分析】
（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得： 309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14
a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．
（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：
()2
24321y x x x =-+=--，
∴顶点D 的坐标为()2,1-．
当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．
点B 的坐标为()3,0， ()()22300332BC ∴=
-+-=， ()()22
23102BD =-+--=，
CD ==
22220BC BD CD +==，
90CBD ∴∠=︒，
BCD ∴∆为直角三角形．
（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，
将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：
303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343
y x t y x x =-++⎧⎨=-+
⎩，
解得：11322x t y ⎧=⎪⎪⎨+-⎪
=⎪⎩
，22322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，
∴点M 的坐标为
，点N 的坐标为
，． 点A 的坐标为()
1,0，
(222210571AM t t t ⎫⎫∴=+-=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
(222210571AN t t t ⎫⎫=-+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，22
2188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭．
AMN ∆为直角三角形，
∴分三种情况考虑：
①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN
+=，即
(
(22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，
整理，得：220t t +-=，
解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；
②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t ++-++++=+++++，
整理，得：2280t t --=，
解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；
③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++，
整理，得：()
941940t t t ++++=． 0t >，
∴该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．
15．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D ．
①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．
【答案】（1）点C （2，）；（2）①y ＝x 2－x ； ②y ＝－x 2＋2x ＋．
【解析】
试题分析：（1）求得二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 对称轴为直线x ＝2，把x ＝2代入y ＝x 求
并且求得CD的长，设A（m，m），根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达
式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.
试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝2．
当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.
设A（m，m）（m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.
∴y＝x2－x.
②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝＝（2－m），
∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.
由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．
∴A（－2，－），CD＝5.
若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），
由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.
若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），
由A（－2，－）、D（2，）得解得
∴y＝－x2＋2x＋.
考点：二次函数与一次函数的综合题.下载本文
