学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（ ）

A． ． ． ．

2．函数的定义域是（ ）

A． ． ． ．R

3．已知等差数列的首项，公差，则（ ）

A． ． ． ．

4．已知直线与平行，则实数a的值是（ ）

A． ．2 ． ．-2

5．双曲线的焦点坐标是（ ）

A．、 ．、

C．、 ．、

6．已知空间向量，满足，则实数的值是（ ）

A． ． ． ．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． ． ． ．

8．已知正实数、满足，则的最小值是（ ）

A． ． ． ．

9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）

A．2 ． ． ．

10．已知函数，，则的图象不可能是（ ）

A． ．

C． ．

11．若实数x，y满足约束条件则的最大值是（ ）

A．5 ．9 ．11 ．15

12．“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件

13．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）

A．向右平行移动个单位长度

B．向左平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度

D．向左平行移动个单位长度

14．如图，已知长方体，点E是棱的中点，平面，则（ ）

A． ．

C． ．

15．设，，函数，若恒成立，则（ ）

A．， ．，

C．， ．，

16．已知O是线段的中点，M，N分别是以，为直径的圆上的动点（异于点O），（ ）

A．若，则存在实数，使得

B．若，则存在实数，使得

C．若存在实数，使得，则

D．若存在实数，使得，则

17．如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）

A． ． ． ．

18．如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（ ）

A． ． ． ．

二、双空题

19．已知函数则________，________．

三、填空题

20．刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证，树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范．刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形（如图1），该圆的面积与等腰三角形的面积相等．即．运用这种积线成面的面积观，圆环面积也和一个等腰梯形的面积相等．若某圆环的内圆周长为，外圆周长为，半径差为d（如图2），则该圆环的面积________（用，，d表示）．

21．若函数的最大值是1，则实数a的值是________．

22．已知整数数列的前项和为，且，．若对任意给定的，存在正整数，使得对任意正整数成立，则的取值集合是________．

四、解答题

23．已知函数，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小正周期；

（Ⅲ）求使取得最大值的x的集合．

24．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求矩形的面积．

25．设，已知函数，的零点分别是，，且．

（Ⅰ）若，求a的取值范围；

（Ⅱ）若，证明：；

（Ⅲ）若，证明：．

参

1．B

【分析】

利用交集的定义可得结果.

【详解】

由题意可得.

故选：B.

2．B

【分析】

根据根式函数的定义域求法求解.

【详解】

因为函数，

所以，

所以函数的定义域是，

故选：B

3．D

【分析】

利用等差数列的通项公式可得结果.

【详解】

由题意可得.

故选：D.

4．C

【分析】

依题意根据两直线平行的充要条件得到，解得即可；

【详解】

解：因为直线与平行，

所以，解得

故选：C

5．A

【分析】

求出的值，结合双曲线的标准方程可得出双曲线的焦点坐标.

【详解】

在双曲线中，，，，

因此，双曲线的焦点坐标为、.

故选：A.

6．D

【分析】

由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.

【详解】

由已知条件得出，解得.

故选：D.

7．A

【分析】

作出几何体的直观图，结合三视图中的数据可求得几何体的体积.

【详解】

由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：

由三视图中的数据可知，该几何体是圆锥，该圆锥的底面半径为，高为，

因此，该几何体的体积为.

故选：A.

8．B

【分析】

利用基本不等式可求得结果.

【详解】

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值是.

故选：B.

9．B

【分析】

直接利用余弦定理，代入数值即可求解.

【详解】

由余弦定理可得，

，

所以.

故选：B.

10．D

【分析】

先分析出为偶函数.，其图像关于y轴对称，即可得到答案.

【详解】

定义域为R.

因为，所以为偶函数.，其图像关于y轴对称，

对照四个选项的图像，只能选D.

故选:D

11．C

【分析】

作出不等式组表示的平面区域；令作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过时，取得最大值．

【详解】

解：画出实数、满足约束条件表示的平面区域：

令，

目标函数变形为，则表示直线在轴上截距，截距越大，越大，

作出目标函数对应的直线，

由，解得，即．

目标函数线过时，

直线的纵截距最大，取得最大值为，即的最大值是；

故选：．

12．A

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】

解：若，则，即成立，故充分性成立；

显然时，即，故由推不出，故必要性不成立；

故“”是“”的充分不必要条件；

故选：A

13．C

【分析】

根据三角图象变换的法则即可求出．

【详解】

因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．

故选：C

14．C

【分析】

由线面垂直可得线线垂直，转化为向量表示，可得对应的向量数量积为零，建立空间直角坐标系，即可列方程组求解.

【详解】

由题意得，以点为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，设，在长方体中，点E是棱的中点，则，

从而

，，

，

又因为平面，平面，平面，

所以，

即，

所以，

即整理得，，即，

所以，

故，

故选：C.

15．B

【分析】

首先表示出，依题意可得恒成立，再对分类讨论，即可判断；

【详解】

解：因为，所以，因为恒成立，

即恒成立，

所以恒成立，

即恒成立，即恒成立，

当时显然恒成立，

当时，，则恒成立，因为且，所以，

当时，，显然恒成立，

综上可得，

故选：B

16．D

【分析】

建立坐标系，选项A，B中的条件均可转化为点关于轴对称或关于原点对称，分别就两种情况下命题是否成立讨论，通过举反例判断A，B选项错误；选项C的条件转化为，也是通过作图举反例，判断C选项错误；选项D的条件转化为关于原点对称，利用数量积的运算，则可判断D选项正确.

【详解】

以为坐标原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则两圆关于轴对称，

A选项，，

，

则或，

若，设点为中点，

则，点在轴上，

此时点关于轴对称，，

则存在实数，使得，

但若，即关于原点对称，

此时，且，

则不存在实数，使得，A选项错误

B选项，由可得，

与A选项同理可知点关于轴对称或关于原点对称，

当其关于轴对称时，不存在实数，使得，

则B选项错误；

C选项，若存在实数，使得，则，

，

当位于如图所示的位置时，上式不能成立，

则C选项错误；

D选项，存在实数，使得，

则三点共线，且由题可知关于原点对称，

则，，

即成立，则D选项正确.

故选：D.

17．D

【分析】

由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率

【详解】

解：由题意得，设，

因为，所以，得，

因为，所以，

所以，

因为在椭圆上，

所以，

化简得，，

因为，所以，

，得，

解得或（舍去）

故选：D

18．A

【分析】

如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出；

【详解】

解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值，

所以

，所以当时，又，所以

故选：A

19．0    1    

【分析】

根据分段函数的定义，结合函数的解析式和自变量的取值代入相应表达式即可求出答案.

【详解】

因为，所以，

又因为，所以，

所以.

故答案为：；.

20．

【分析】

先利用三角形相似，用，，d表示R，r，再由圆环的面积求解.

【详解】

如图所示：

设外圆半径为R，内圆半径为r，

，

解得，

因为该圆的面积与等腰三角形的面积相等．即，

所以外圆的面积为，

所以圆环的面积，

，

，

故答案为：

21．或2

【分析】

将函数写成分段函数形式，再分和讨论.当时，函数在单调递增，由此求出的最大值为；当时，又需要分，和三种情况分别讨论，分别求出的最大值，求解出的值即可.

分，，三种情况，分别研究分段函数的单调性，求出的最大值，列式求解的值即可．

【详解】

，

（1）当时，因为，则成立，

故，

对称轴为，则在上单调递增，

所以，与矛盾，故舍去；

（2）当时，的大致图像如下：

可求得

①当，即时，

在上单调递增， 

则，与矛盾，故舍去；

②当，即时，

在单调递增，单调递减，单调递增，

且，

则，

解得，与相符；

③当，即时，

，

解得，与相符.

综上所述，的值为或2．

故答案为：或2．

22．

【分析】

列举出数列，设，说明当、时且当时，不成立；然后说明当和时，存在正整数，使得对任意正整数成立，由此可得出的取值集合.

【详解】

（1）当时，由于的任意性，不妨取，则这个数列为、、、、，而代表的是这个数列中连续的个数.

①当为偶数时，，则，显然不成立；

②当为奇数时，由于存在，使得，

不妨取这连续的个数为、、、、、，

所以，，由于的任意性，故不成立；

（2）当时，由于的任意性，不妨设，则这个数列为、、、、、、，而代表的是这个数列中连续的个数.

①当为偶数时，，则，显然不成立；

②当为奇数时，由于存在，使得，

不妨取这连续的个数为、、、、、，

所以，，由于的任意性，故不成立；

（3）下面只需说明和成立即可.

（i）当时，这列数可能为、、、、、、①或、、、、、、②，

不难发现②中的、、项与①中的、、项相同，故到后面也相同，

而无论是趋于，或是，

一定存在某个时刻后，这列数就变为了、、、、、、，此时成立；

（ii）当时，同理，由于存在，使得，

故若，则，必有数与较为接近，此时有两种情况：

第一种：与并存，即、、、、、、、，会发现到后面就等同于（i）中的情况了；

第二种：与并存，即、、、、，由于存在，

当为偶数时，成立，

当为奇数时，成立.

综上可知，的取值集合为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于对的取值进行分类讨论，利用列举数列的方法找出数列的周期性，结合周期性求解.

23．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【分析】

（Ⅰ）由，令求解；

（Ⅱ）根据，利用周期公式求解；

（Ⅲ）根据，令求解.

【详解】

（Ⅰ）因为，

所以．

（Ⅱ）因为，

所以，，

所以，的最小正周期为．

（Ⅲ）因为，

所以的最大值为2．

当且仅当时，即时，取得最大值，

所以使取得最大值的x的集合为．

24．（Ⅰ）；（Ⅱ）8．

【分析】

（Ⅰ）根据抛物线的焦点是，由求解； 

（Ⅱ）设，，根据四边形是矩形，可得，且，进而得到，然后结合抛物线的定义，求解.

【详解】

（Ⅰ）因为抛物线的焦点是，

所以， 

解得，

所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）设，，

因为四边形是矩形，

所以，且，

即，，且．

所以，，且．

所以．

解得， ，

由抛物线的定义得：，

所以矩形的面积为：

，

．

所以矩形的面积为8．

25．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析．

【分析】

（Ⅰ）首先判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，求a的取值范围；（Ⅱ）不等式变形为对任意的恒成立，变形后即可证明；（Ⅲ）首先由条件可知，且

，，将替换后代入，变形后即可证明.

【详解】

解：（Ⅰ）因为在上单调递增，且，

所以，且．

所以，，且，

所以，．

所以实数a的取值范围．

（Ⅱ）当时，在上单调递增，且，

所以，．

因为在上单调递增，，

所以，．

所以，对任意的恒成立，

所以，，

所以，．

（Ⅲ）当时，在上单调递增，

且，

所以，，

因为在上单调递增．

所以，，

因为，

，

所以，

，

故，．下载本文