《数轴类综合问题》（三）

1．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

（1）求a、b、c的值；

（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；

（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后．再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由．

2．已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0；

（1）求a、b的值；

（2）点C是数轴上A、B之间的一个点，使得AC+OC＝BC，求出点C所对应的数；

（3）在（2）的条件下，点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以1个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．设它们的运动时间为t秒，当OP+BQ＝3PQ时，求t的值．

3．已知数轴上三点A、O、B表示的数分别为4、0、﹣2，动点P从A点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　   　．

（2）另一动点R从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多长时间追上点R？

（3）若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

4．已知，数轴上有两点A、B对应的数分别为﹣1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．

（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．

（3）点A、B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？

5．已知多项式2x4y2﹣3x2y﹣x﹣4，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．

（1）数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|．设点C在数轴上对应的数为x，当|CA|+|CB|＝12时，直接写出x的值．

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．

（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度/秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．

6．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．

如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．问：

（1）t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是　   　；点P到点Q的距离是　   　个单位长度；

（2）动点P从点A运动至C点需要　   　秒；

（3）P、Q两点相遇时，t＝　   　秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是　   　；

（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出 t 的值．

7．已知多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．

（1）a＝　   　，b＝　   　；

（2）若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米）

②当t为　   　时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案）

8．如图1，在一条可以折叠的数轴上，点A，B分别表示数﹣9和4．

（1）A，B两点之间的距离为　   　．

（2）如图2，如果以点C为折点，将这条数轴向右对折，此时点A落在点B的右边1个单位长度处，则点C表示的数是　   　

（3）如图1，若点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度也沿数轴向右运动，那么经过多少时间，A．B两点相距4个单位长度？

9．A，B两点在数轴上的位置如图，点A对应的数值为﹣5，点B对应的数值为11．

（1）现有两动点M和N，点M从A点出发以2个单位长度/秒的速度向左运动，点N从点B出发以6个单位长度/秒的速度同时向右运动，问：运动多长时间满足MN＝56？

（2）现有两动点C和D，点C从A点出发以1个单位长度/秒的速度向右运动，点D从点B出发以5个单位长度/秒的速度同时向左运动，问：运动多长时间满足AC+BD＝3CD？

10．如图，点A、点B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在原点O的左侧，且满足AB＝6，OB＝2OA．

（1）点A、B在数轴上对应的数分别为　   　和　   　．

（2）点A、B同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动．

①经过几秒后，OA＝3OB；

②点A、B在运动的同时，点P以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点？

参

1．解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，

∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，

解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；

（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，

①点P在AB之间，AP＝14×＝，

﹣24+＝﹣，

点P的对应的数是﹣；

②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，

﹣24+28＝4，

点P的对应的数是4；

（3）∵AB＝14，BC＝20，AC＝34，

∴tP＝20÷1＝20（s），即点P运动时间0≤t≤20，

点Q到点C的时间t1＝34÷2＝17（s），点C回到终点A时间t2＝68÷2＝34（s），

当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，2t+8＝14+t，解得t＝6；

当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，2t﹣8＝14+t，解得t＝22＞17（舍去）；

当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+8+2t﹣34＝34，t＝＜17（舍去）；

当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣8+2t﹣34＝34，解得t＝＞20（舍去），

当点P到达终点C时，点Q到达点D，点Q继续行驶（t﹣20）s后与点P的距离为8，此时2（t﹣20）+（2×20﹣34）＝8，

解得t＝21；

综上所述：当Q点开始运动后第6、21秒时，P、Q两点之间的距离为8．

2．解：（1）∵|a+3|+（b﹣9）2＝0，

∴a+3＝0，b﹣9＝0，

解得a＝﹣3，b＝9；

（2）设点C表示是数是x，

依题意得：x+3+x＝9﹣x，

解得x＝2．

答：点C表示的数是2；

（3）①当0＜t＜3时，

∵点P从A点以每秒1个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒2个单位的速度向左运动，

∴OP＝3﹣t，BQ＝2t，PQ＝12﹣3t．

∵OP+BQ＝3PQ，

∴3﹣t+2t＝3（12﹣3t），

解得t＝3.3，不合题意，舍去；

②当3≤t≤4时，

OP＝t﹣3，BQ＝2t，PQ＝12﹣3t．

∵OP+BQ＝3PQ，

∴t﹣3+2t＝3（12﹣3t），

解得t＝，

③当4＜t＜5时，

OP＝t﹣3，BQ＝2t，PQ＝3t﹣12，

方程变为t﹣3+2t＝3（3t﹣12），

解得t＝＞5．不合题意，舍去．

故时间t的值为．

3．解：（1）∵A，B表示的数分别为4，﹣2，

∴AB＝6，

∵PA＝PB，

∴点P表示的数是1，

故答案为：1；

（2）设P点运动x秒追上R点，由题意得：2x+6＝3x

解得：x＝6

答：P点运动6秒追上R点．

（3）MN的长度不变．

①当P点在线段AB上时，如图示：

∵M为PA的中点，N为PB的中点

∴

又∵MN＝MP+NP

∴

∵AP+BP＝AB，AB＝6

∴

②当P点在线段AB的延长线上时，如图示：

∵MN＝MP﹣NP，AB＝AP﹣BP＝6

∴＝．

4．解：（1）∵两点A、B对应的数分别为﹣1，5，

∴点A、B的距离为：5﹣（﹣1）＝6，

∵点P到点A、点B的距离相等，

∴x﹣（﹣1）＝5﹣x，

解得x＝2；

（2）当P点在A点左边时，PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB，

当P点在A与B点之间（包括A点和B点）时，PA+PB＝AB，

当P点在B点右边时，PA+PB＝AB+PB+PB＝AB+2PB，

∵2PA+AB＞AB，2PB+AB＞AB，

∴数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和最小，其最小值为AB＝6，

此时点P在线段AB上，

∴点P表示的数x的取值范围是﹣1≤x≤5，

∴x可以取的整数值为﹣1，0，1，2，3，4，5；

（3）设经过a秒钟点A与点B重合，根据题意得：

3a＝6+2a，

解得a＝6．

6×4＝24．

答：点P所经过的总路程为24个单位长度．

5．解：（1）由多项式的次数是6可知b＝6，又3a和b互为相反数，故a＝﹣2．

①当C在A左侧时，∵|CA|+|CB|＝12，

∴﹣2﹣x+6﹣x＝12，x＝﹣4；

②C在A和B之间时，∵|CA|+|CB|＝|AB|＝8≠12，

∴点C不存在；

③点C在B点右侧时，∵|CA|+|CB|＝12，

∴x+2+x﹣6＝12，

∴x＝8；

故答案为：﹣4或8．

（2）依题意得：﹣2﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+……+2018﹣2019＝﹣2+1009﹣2019＝﹣1012．

∴点P对应的有理数为﹣1012．

（3）①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤3时，此时OA1＝2+t，OB1＝6﹣2t，

∵OA1＝OB1，∴2+t＝6﹣2t

解得，t＝；

②甲向左运动，乙向右运动时，即t＞3时，

此时OA1＝2+t，OB1＝2t﹣6，

依题意得，2+t＝2t﹣6，

解得，t＝8．

答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒．

6．解：如图所示：

（1）设动点P从点A出发，运动2秒后的点对应数为x，

∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，

∴AP＝2×2＝4，

又∵x﹣（﹣10）＝4，

解得：x＝﹣6，

又∵同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，

∴QC＝2×1＝2，

又∵AC＝28，AC＝AO+OB+BC，

∴点P到点Q的距离＝28﹣4﹣2＝22；

故答案为﹣6，22；

（2）由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，

AO段时间为，OB段时间为＝10，BC段时间为＝4，

∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4＝19（秒），

故答案为19秒；

（3）设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，

依题意得：

3+y+2y＝10，

解得：y＝，

∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+＝（秒），

此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+＝；

故答案为，；

（4）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：

10﹣2t＝8﹣t，

解得：t＝2，

当点P、Q两点都在OB上运动时，

t﹣5＝2（t﹣8）

解得：t＝11，

当P在OB上，Q在BC上运动时，

8﹣t＝t﹣5，

解得：t＝；

当P在BC上，Q在OA上运动时，

t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10，

解得：t＝17；

即PO＝QB时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒．

7．解：（1）∵多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，

∴b＝8；

∵4a与b互为相反数，

∴4a+8＝0，

∴a＝﹣2．

故答案为：﹣2，8；

（2）分两种情况讨论：

①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA＝2+3t，OB＝8﹣4t；

∵OA＝OB，

∴2+3t＝8﹣4t，

解得：t＝；

②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA＝2+3t，OB＝4t﹣8；

∵OA＝OB，

∴2+3t＝4t﹣8，

解得：t＝10；

∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；

（3）①∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，

∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：

10×2+16×3+8×11＝156（mm），

∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，

∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，

∴甲乙之间的距离为：8﹣（﹣2）+10×2×2+16×（t﹣2）×2＝32t﹣14；

②设a秒时小蚂蚁甲和乙开始返程，由（3）①可知：

10×2+16×3+8（a﹣5）＝78，

解得：a＝；

以下分情况讨论：

当8﹣（﹣2）+10t×2＝42，

解得：t＝1.6；

当32t﹣14＝42时，解得：t＝；

当t＝时，小蚂蚁甲和乙还没有开始返程，故舍去t＝；

当t＞时，8﹣（﹣2）+78×2﹣8（t﹣）×2＝42，

解得：t＝14；

综上所述，当t＝1.6秒或14秒时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．

故答案为：1.6秒或14秒．

8．解：（1）4﹣（﹣9）＝13．

故答案为：13．

（2）设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣9），BC＝4﹣x，

依题意，得：x﹣（﹣9）＝4﹣x+1，

解得：x＝﹣2．

故答案为：﹣2．

（3）当运动时间为t秒时，点A表示的数为3t﹣9，点B表示的数为2t+4．

∵AB＝4，

∴3t﹣9﹣（2t+4）＝4或2t+4﹣（3t﹣9）＝4，

解得：t＝9或t＝17．

答：经过9秒或17秒时，A．B两点相距4个单位长度．

9．解：（1）设运动时间为x秒时，MN＝56．

依题意，得：（6x+11）﹣（﹣2x﹣5）＝56，

解得：x＝5．

答：运动时间为5秒时，MN＝56．

（2）当运动时间为t秒时，点C对应的数为t﹣5，点D对应的数为﹣5t+11，

∴AC＝t，BD＝5t，CD＝|t﹣5﹣（﹣5t+11）|＝|6t﹣16|．

∵AC+BD＝3CD，

∴t+5t＝3|6t﹣16|，即t+5t＝3（6t﹣16）或t+5t＝3（16﹣6t），

解得：t＝4或t＝2．

答：运动时间为2秒或4秒时，AC+BD＝3CD．

10．解：（1）设点A在数轴上对应的数为x，则点B在数轴上对应的数为﹣2x，

∵AB＝﹣2x﹣x＝6，

∴x＝﹣2，﹣2x＝4．

故答案为：﹣2；4．

（2）①设t秒后，OA＝3OB．

情况一：当点B在点O右侧时，

则2+t＝3（4﹣2t），

解得：；

情况二：当点B在点O左侧时，

则2+t＝3（2t﹣4），

解得：．

答：经过秒或秒，OA＝3OB．

②设经过t秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点．

当点P是AB的中点时，则PA＝PB，

∴t+2+t＝4﹣t﹣2t，

解得：；

当点B是AP的中点时，则AB＝BP，

∴（t+2）﹣（2t﹣4）＝（2t﹣4）+t，

解得：；

当点A是BP的中点时，则AB＝AP，

∴2t﹣4﹣（t+2）＝（t+2）+t，

解得：t＝﹣8（不合题意，舍去）．

答：设经过秒或秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点．下载本文