(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下面多面体中有12条棱的是()
A.四棱柱
B.四棱锥
C.五棱锥
D.五棱柱
2.棱锥的侧面和底面可以都是()
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是()
A.
2
2 B.1
C. 2
D.2 2
4.如图，正方形ABCD的边长为1，CE所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为()
A.5π
B.4π
C.3π
D.2π
5.以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为()
A.π cm2
B.36π cm2
C.π cm2或36π cm2
D.48π cm2
6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为()
A.6 3 cm
B.6 cm
C.2318 cm
D.3312 cm
7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C.△ABC 是等腰直角三角形
D.△ABC 是等边三角形
8.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.316 B.916 C.38 D.932
9.如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为h 1，且h 1＝13h ，若将圆锥形容器倒置，水面高为h 2，则
h 2等于( )
A.23h
B.1927h
C.3
63h D.3
193
h 10.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( ) A.23 B.16 C.56 D.13
11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A.3π B.6π C.18π
D.24π
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若一个圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r 1，r 2，且满足2l ＝r 1＋r 2，其侧面积为8π，则l ＝________. 14.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点.记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1
V 2
＝________.
15.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)
16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是32
3
π，那么这个三棱柱的体积是________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
18.(12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
19.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.求纸篓的表面积.
20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.
(1)求圆柱的体积；
(2)求溢出水的体积.
21.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
22.(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为29.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长.
高中数学必修一期末考试试卷(一)答案
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.答案 A
解析 ∵n 棱柱共有3n 条棱，n 棱锥共有2n 条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A. 2.答案 A
解析 三棱锥的侧面和底面均为三角形. 3.答案 D
解析 ∵Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′＝2， ∴直角三角形的直角边长是2， ∴直角三角形的面积是1
2×2×2＝1，
∴原平面图形的面积是1×22＝2 2.故选D. 4.答案 A
解析 由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱， ∵正方形ABCD 的边长为1，∠CDE ＝90°， ∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，
∴形成的几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×1＋1
2×4π×12＝5π.
5.答案 C
解析 分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C 选项正确. 6.答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知 13
πr 2
×3r ＝π×22×6， 得r ＝23，
∴水面的高度是3×23＝6(cm). 7.答案 C 8.答案 A
解析 设球的半径为R ，所得的截面为圆M ，圆M 的半径为r . 画图可知(图略)，R 2＝14R 2＋r 2，∴3
4R 2＝r 2.
∴S 球＝4πR 2，截面圆M 的面积为πr 2＝3
4
πR 2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR 24πR 2＝3
16.故选A.
9.答案 D
解析 设圆锥形容器的底面积为S ， 则未倒置前液面的面积为4
9
S ，
∴水的体积V ＝13Sh －13×49S (h －h 1)＝19
81Sh ，
设倒置后液面面积为S ′，则S ′S ＝⎝⎛⎭⎫h 2h 2
，
∴S ′＝Sh 22
h
2.
∴水的体积V ＝13S ′h 2＝Sh 32
3h 2，
∴1981Sh ＝Sh 32
3h
2， 解得h 2＝
3
19h
3
，故选D. 10.答案 C
解析 易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝5
6.
11.答案 B
解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝
6
2
，故S ＝4πR 2＝6π. 12.答案 B
解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积， 设圆锥底面半径为r ，则1
4×2πr ＝8，
得r ＝16π
，
所以米堆的体积为13×14πr 2×5≈320
9(立方尺)，
320
9
÷1.62≈22(斛). 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.答案 2
解析 S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2πl 2＝8π，所以l ＝2. 14.答案 1
4
解析 如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，则点E 到平面P AD 的距离为1
2
h .
∵S △DAB ＝1
2
S △P AB ，
∴
V1
V2＝
1
3S△DAB·
1
2h
1
3S△P
AB
·h
＝
1
3×
1
2S△P AB·
1
2h
1
3S△P AB·h
＝
1
4.
15.答案
15π
3
解析如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝
1
4×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝l2－r2＝15，所以圆锥的容积为
1
3
πr2h＝
15π
3.
16.答案48 3
解析设球的半径为r，
则
4
3
πr3＝
32
3
π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为43，
所以正三棱柱的体积V＝
3
4×(43)
2×4＝48 3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝
1
2×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝
1
2×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为
9
7(
7
9也正确)．
18.解如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝
HF ＝12.
所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32
， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24
， V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC
＝⎝⎛⎭
⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 19解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r ′＝15 cm ，上口的半径r ＝20 cm ，设母线长为l ， 则纸篓的表面积S ＝πr ′2＋
(2πr ′＋2πr )l 2
＝π(r ′2＋r ′l ＋rl )
＝π(152＋15×50＋20×50)＝1 975π(cm 2).
20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.
(1)求圆柱的体积；
(2)求溢出水的体积.
解 (1)∵内壁底面半径为5，高为2，∴圆柱体积V ＝π×52×2＝50π.
(2)溢出水的体积为43
×π×33＝36π. 21解 由题图可知半球的半径为4 cm ，
所以V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283
π(cm 3)， V 圆锥＝13πR 2h ＝13
π×42×12＝π(cm 3). 因为V 半球 所以对角线的长为42＋92＝97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如图所示. 设PC 的长为x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. 因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，所以x ＝2(负值舍去)，即PC 的长为2. 又因为NC ∥AM ，所以PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2，所以NC ＝45 .下载本文
