一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
2．（3分）的（ ）
| A． | 必要条件 | B． | 充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分又不必要的条件 |
3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（ ）
| A． | {0，1，2，6，8} | B． | {3，7，8} | C． | {1，3，7，8} | D． | {1，3，6，7，8} |
4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
| A． | y=x2（x∈R） | B． | y=|sinx|（x∈R） | C． | y=cos2x（x∈R） | D． | y=esin2x（x∈R） |
5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
| A． | 96个 | B． | 78个 | C． | 72个 | D． | 个 |
二、解答题（共11小题，满分90分）
6．（4分）求函数．
7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．
8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．
11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…
用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．
12．（13分）证明三角恒等式．
13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；
（2）解不等式
14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．
15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．
16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为Sn，又设Tn=，n=1，2，…．求．
1985年全国统一高考数学试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 棱柱、棱锥、棱台的体积． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 画出图形，直接求解即可． |
| 解答： | 解：如图四面体A′﹣ABD的体积是 V= 故选D． |
| 点评： | 本题考查棱锥的体积，是基础题． |
2．（3分）的（ ）
| A． | 必要条件 | B． | 充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分又不必要的条件 |
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系． |
| 解答： | 解： 由tanx=1 得， 当k=1时，x=， 固由前者可以推出后者， 所以tanx=1是的必要条件． 故选A． |
| 点评： | 此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单． |
3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（ ）
| A． | {0，1，2，6，8} | B． | {3，7，8} | C． | {1，3，7，8} | D． | {1，3，6，7，8} |
| 考点： | 交、并、补集的混合运算． |
| 分析： | 根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z． |
| 解答： | 解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}， 故选C |
| 点评： | 本题考查集合的基本运算，较简单． |
4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
| A． | y=x2（x∈R） | B． | y=|sinx|（x∈R） | C． | y=cos2x（x∈R） | D． | y=esin2x（x∈R） |
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法． |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可． |
| 解答： | 解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A． ∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数． 故选B． |
| 点评： | 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象． |
5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
| A． | 96个 | B． | 78个 | C． | 72个 | D． | 个 |
| 考点： | 排列、组合的实际应用． |
| 专题： | 计算题；压轴题；分类讨论． |
| 分析： | 根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案． |
| 解答： | 解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字， 分2种情况讨论， 当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况， 当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况， 综合可得，共有54+24=78个数字符合要求， 故选B． |
| 点评： | 本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求． |
二、解答题（共11小题，满分90分）
6．（4分）求函数．
| 考点： | 函数的定义域及其求法． |
| 分析： | 只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可． |
| 解答： | 解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}． |
| 点评： | 本题考查具体函数的定义域，属基本题． |
7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．
| 考点： | 圆锥曲线的共同特征． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得． |
| 解答： | 解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1， 即a=1，b= ∴c==2 ∴e==2 |
| 点评： | 本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题． |
8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
| 考点： | 利用导数求闭区间上函数的最值． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值． |
| 解答： | 解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2 结合函数的图象可得，当x=2时，ymax=2； 当x=0时，ymin=﹣2 故最大值是2，最小值是﹣2． |
| 点评： | 二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答． |
9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
| 考点： | 二项式系数的性质． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 对等式中的x赋值1求出各项系数和． |
| 解答： | 解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26 |
| 点评： | 本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法． |
10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．
| 考点： | 复数代数形式的乘除运算． |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可． |
| 解答： | 解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i |
| 点评： | 本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等． |
11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…
用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．
| 考点： | 数学归纳法． |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立． |
| 解答： | 证明：因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明 12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A） （Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立 （Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即 12+22+32+…+k2+…+32+22+12= 现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得 12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2， = = = =． 即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ）， （A）式对所有的正整数n都成立，即证得 |
| 点评： | 数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立． |
12．（13分）证明三角恒等式．
| 考点： | 三角函数恒等式的证明． |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可． |
| 解答： | 证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x =（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x =2sin2x+cos2x+3cos2x =2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边 |
| 点评： | 考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力． |
13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；
（2）解不等式
| 考点： | 对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根． （2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解． |
| 解答： | （1）解：由原对数方程得， 于是解这个方程，得x1=0，x2=7． 检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0． （2）解： 解得 |
| 点评： | 解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解． |
14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．
| 考点： | 棱锥的结构特征． |
| 专题： | 常规题型；计算题． |
| 分析： | 先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证． |
| 解答： | 解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O， 再过O分别作AB，BC，CA的垂线， 垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG 根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC 因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角， 由已知条件得 ∠VEO=∠VFO=∠VGO=β， 在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC， 所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO， ∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO 由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG 又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC， 所以点O是△ABC的内切圆的圆心 在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β， 因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ． |
| 点评： | 本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题． |
15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．
| 考点： | 关于点、直线对称的圆的方程． |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程． |
| 解答： | 解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6）， 半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b）， 则PP'的中点应在直线L上， 故有，即3a﹣4b﹣20=0（1） 又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2） 解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2 由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即： x2+y2﹣8x+4y+19=0． |
| 点评： | 本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记． |
16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为Sn，又设Tn=，n=1，2，…．求．
| 考点： | 极限及其运算；等比数列的前n项和． |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，Sn=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值． |
| 解答： | 解：当公比q满足0＜q＜1时， ，于是==． 当公比q=1时，Sn=1+1+…+1=n，于是=． 因此 当公比q＞1时， 于是． 因此． 综合以上讨论得到 |
| 点评： | 本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解． |
