1．甲、乙两人地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．斐波那契数列（Fibonacci sequence）又称黄金分割数列，因为数学家昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前10项中随机的抽取一项，则该数除以3余数为1的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

3．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相的，灯亮的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．设两个事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,则事件A发生的概率为(    )

A．    B．    C．    D．

5．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：

（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；

（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；

（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；

（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；

其中相互为对立事件的是（    ）

A．Ⅰ和Ⅱ    B．Ⅱ和Ⅲ    C．Ⅲ和Ⅳ    D．Ⅳ和Ⅰ

6．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ）

A．事件与互斥    B．事件与互斥

C．任何两个事件均互斥    D．任何两个事件均不互斥

7．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 (     )．

A．    B．

C．    D．

8．下列说法正确的是（   ）

A．天气预报说明天下雨的概率为，则明天一定会下雨

B．不可能事件不是确定事件

C．统计中用相关系数来衡量两个变量的线性关系的强弱，若则两个变量正相关很强

D．某种彩票的中奖率是，则买1000张这种彩票一定能中奖

9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是

A．    B．    C．    D．

10．有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

13．今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办－次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数．下表记录了5月1日至5日的实时观展人数：

A．    B．    C．    D．

二、解答题

14．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.

（1）记事件为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求；

（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：.

15．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.

16．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在类科目：物理、化学、生物和类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．

（1）求小明同学选类科目数的分布列．

（2）求小明同学从类和类科目中均至少选择1门科目的概率．

17．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：

（Ⅰ）两人都投中；

（Ⅱ）恰好有一人投中；

（Ⅲ）至少有一人投中.

18．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）

（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．

附：临界值表

19．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？  

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？

20．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在[50，100]内，按成绩分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；

（3）用分层抽样的方法从成绩在[80，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率.

21．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.

（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？

（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．

22．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：

（2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？

附：，.

（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；

（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？

24．某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同.每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球.

（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为，求分布列；

（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖.求一次游戏中，获奖的概率.

25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：

（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；

（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；

（3）从样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在之间的概率．

26．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）由频率分布直方图；

（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.

【详解】

根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,

则；

则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.

2．D

解析：D

【分析】

写出斐波那契数列的前10项，列举出被3除所得的余数，由概率公式可得答案.

【详解】

数列满足：，，

数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55

该数列被3除所得的余数为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1

所以10项有5项满足除以3余数为1，

故概率为.

故选：D

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法的应用，属于基础题.

3．C

解析：C

【分析】

灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互的，根据概率公式得到结果．

【详解】

由题意知，本题是一个相互事件同时发生的概率，

灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，

这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互的，

灯泡不亮的概率是，

灯亮和灯不亮是两个对立事件，

灯亮的概率是，

故选：．

【点睛】

本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．

4．C

解析：C

【分析】

利用A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，事件A和B同时不发生的概率是p，建立方程，即可求得事件A发生的概率．

【详解】

根据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，

则有

由②知，代入①得.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查相互事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.

5．B

解析：B

【分析】

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

【详解】

解：，，是三个事件，给出下列四个事件：

（Ⅰ），，中至少有一个发生；

（Ⅱ），，中最多有一个发生；

（Ⅲ），，中至少有两个发生

（Ⅳ），，最多有两个发生；

在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；

在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件；

在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；

在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件．

故选：．

【点睛】

本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

6．B

解析：B

【分析】

根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．

【详解】

为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，

为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件

由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．

【点睛】

本题主要考查互斥事件定义的应用．

7．C

解析：C

【分析】

先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．

【详解】

事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，

若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，

若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，

故选C．

【点睛】

本题考查重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．

8．C

解析：C

【分析】

运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可

【详解】

对于，天气预报说明天下雨的概率为，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误；

对于，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；

对于，统计中用相关系数来衡量两个变量的线性关系的强弱，若则两个变量正相关很强，故正确；

对于，某种彩票的中奖率是，每一次买彩票的中奖是的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误

故选

【点睛】

本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．

9．C

解析：C

【解析】

【分析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.

【详解】

先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.

再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，

由古典概型的概率公式得P=.

故答案为：C

【点睛】

本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

10．D

解析：D

【分析】

将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，

从这位同学中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中，事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，

因此，所求概率为.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）树状图法；

（4）排列、组合数的应用.

11．D

解析：D

【分析】

由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.

【详解】

由已知得甲拿到该技能证书的概率为，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：，

所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是，

故选：D.

【点睛】

方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.

12．D

解析：D

【分析】

先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．

【详解】

由题意小明每次投篮不中的概率是，再次投篮都不中的概率是，

∴他再次投篮至少投中一次的概率为．

故选：D．

【点睛】

本题考查相互事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．

13．C

解析：C

【分析】

5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是"舒适"包含的基本事件个数，由此能求出这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率.

【详解】

5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，分别为5月4日和5月5日，

从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数，

这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”包含的基本事件个数，

所以这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

二、解答题

14．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）列举出从袋中一次摸出2个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件有6个，即可求解；

（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件，即可计算出.

【详解】

解：（1）记这3个红球为，2个白球记为，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，其中满足事件的基本事件有6个，所以.

（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25个，满足事件的基本事件有12个，所以.

从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个，满足事件的基本事件有12个，所以.

因此：，

又，所以.

【点晴】

方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率.

15．（1）0.01；（2）77；（3）.

【分析】

（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；

（2）由平均数的公式直接求解即可；

（3）先计算满意度评分值在内有人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可.

【详解】

解：（1）由，解得；

（2）这组数据的平均数为；

（3）满意度评分值在内有人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，

从5人中抽取2人有：，，，，，，，，， ，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件：，，，，，，共6个，所以 .

【点睛】

结论点睛：

频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，

①直方图中各个小长方形的面积之和为1；

②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；

③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；

④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；

⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；

⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

16．（1）分布列见解析；（2）.

【分析】

（1）确定的所有取值为0，1，2，3，服从超几何分布，代入超几何分布的概率公式，计算每个的取值对应的概率，列出的分布列即可；

（2）即两门类科目一门类科目或者一门类科目两门类科目的概率，则概率，从而计算可得；

【详解】

解：（1）小明同学选类科目数可能的取值为0，1，2，3，

则服从超几何分布，，

，，．

的分布列为：

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的概率分布列，考查了超几何分布，古典概型的概率计算，计数原理．属于中档题．

17．（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.

【分析】

（Ⅰ）由相互事件概率的乘法公式即可得解；

（Ⅱ）由相互事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；

（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解.

【详解】

设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以与相互，与，与，与都相互，

由己知可得，，则，；

（Ⅰ）“两人都投中”，则；

（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，

则

；

（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，

所以

.

【点睛】

本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

18．（1）见解析；（2）0.4

【分析】

(1)根据性检验求出，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．

【详解】

（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，

∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关． 

（2）抽样比为，样本中喜爱的观众有40×=4名，

不喜爱的观众有6﹣4=2名． 

记喜爱该演讲的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则    基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．

其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个， 

故其概率为P（A）=

【点睛】

本题主要考查性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.

19．（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.

【分析】

（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.

【详解】

把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．

从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.

(1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）==0．05.

(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==0．45.

（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸奖，

由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．

则一天可赚，每月可赚1200元．

考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义

20．（1）0.016；（2）约为74.1；（3）．

【分析】

（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得；

（2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数；

（3）根据频率分布直方图求出成绩在和上的人数，然后利用对立事件的概率公式计算．

【详解】

（1）由题意，解得；

（2）在频率分布直方图中前两组频率和为，

第三组频率为，中位数在第三组，

设中位数为，则，解得；

（3）由频率分布直方图成绩在和和频率分别是和，共抽取6人，

∴成绩在上的有4人，成绩在上的有2人，

从6人中任意抽取2人共有种方法，2人成绩都在上的方法有种，

∴月考成绩在[90，100]内至少有1名学生被抽到的概率为．

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算中位数，考查分层抽样与古典概型，考查了学生的数据处理能力与运算求解能力，属于中档题．

21．（1）男30人，女45人（2）

【分析】

（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；

（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．

【详解】

（1）由题可得，男生优秀人数为人，

女生优秀人数为人；

（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，

所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．

设两名男生为，，三名女生为， ．

则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：

，，，，，，，，，共10个，

记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，

则事件包含的基本事件有：

，，，，，，共7个．

所以．

【点睛】

本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．

22．（1）；（2）在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异.

【分析】

（1）根据总人数解得，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案.

（2）计算，对比临界值表得到答案.

【详解】

（1）由已知，解得，

所以列联表如下：

所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为；

（2）由，

所以在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异.

【点睛】

本题考查了列联表，性检验，分层抽样，概率计算，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.

23．（1）；（2）甲与乙进行首场比赛时.

【分析】

（1）将情况按照第一场比赛甲胜乙、乙胜甲分类，由事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；

（2）由事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式分别计算出三种情况下甲获得冠军的概率，比较大小即可得解.

【详解】

（1）设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：

第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；

第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；

故所求概率，

所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为；

（2）设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军，

则；

；

；

因为，

所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.

【点睛】

本题考查了互斥事件概率加法公式及事件概率乘法公式的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.

24．（1）分布列见详解；（2） .

【分析】

(1)由题意知摸出红球的个数可能有0，1，2，3，按条件概率并结合分步计数方法可求出摸出红球的各种可能性的概率，即可得到分布列；(2)结合(1)中的分布列，可求得摸出的红球不少于2个的概率

【详解】

（1）可以为0，1，2，3

，，

，， 

【点睛】

本题考查了概率，利用条件概率及分步计数方法求各种可能性的概率，得到分布列；利用分布列计算概率

25．（1）300；200；（2）；（3）．

【分析】

（1）由频数统计表可得样本中选修物理人数为30，历史为20，因此可得总体中人数；

（2）求出物理历史中阅读时间在60分钟以上的总人数为22，样本问题为50，由此可得频率即概率；

（3）样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在分钟的共有3人，记为，，，另一类是阅读时间在分钟的共有2人，记为，．写出任取2人的所有基本事件，即事件空间，由此可求得对立事件“2人阅读时间都在之间”的概率，从而得所求概率．

【详解】

解：（1）因为以的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，所以该校高二年级选修物理的人数约为：，于是该校高二年级选修历史的人数约为：．

（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：，而样本总数为：，于是样本中阅读时间在60分钟以上的频率为．

利用样本的频率估计总体的概率，得该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率约为．

（3）样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在分钟的共有3人，记为，，，另一类是阅读时间在分钟的共有2人，记为，．

从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件：，，，，，，，，，．

分记事件为：“至少有1人阅读时间在之间”，则事件的对立事件：“2人阅读时间都在之间”，且包括3种基本事件：，，．

根据古典概型概率公式，得．

由对立事件概率公式，得．

答：至少有1人阅读时间在之间的概率约为．

【点睛】

本题考查频数分布表，考查用样本估计总体，古典概型，用列举法写出事件空间中所有基本事件是求解古典概型的常用方法．在含有至少、至多等词语的事件中可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．

26．（1）；（2）（i）（ii）（3）.

【分析】

（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；

（2）（i）根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为，根据即可解得结果；

（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；

（3）根据分层抽样可得从成绩在[220，240）的组中应抽取人，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.

【详解】

（1）由，得；

（2）（i）因为，，

所以中位数在，设中位数为，所以，解得，

所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为；

（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为

（3）物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组中应抽取人，记为，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，记为，

从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，，共有种，其中这2名学生来自不同组的共有种，

根据古典概型的概率公式可得所求概率为.

【点睛】

本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.下载本文