1、知识点总结1.抛物线的弦长公式

，其中k 是弦所在直线

2122122124)(11x x x x k x x k l -+∙+=-+=的斜率，是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。

21,x x ，其中弦长所在直线

2122122124)(11y y y y m y y m l -+∙+=-+=方程为，是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。

b my x +=21,y y 2.抛物线的焦点弦

对于抛物线，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 022

>=p px y ，两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：

①2

212

21,4

p y y p x x -==

由 得（＊）

，因此⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px

y 022

2=--p pmy y ⎪⎩

⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长

，焦点弦长p x x AB ++=21α

2sin 2P

AB =

，结合（＊）式与得：

ααsin 4)(sin 212212

1y y y y y y AB -+=-=α

tan 1

=m α

αααααααααsin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 44222222

222

22+=+=+=

+=p p p p p m p AB α

αα22sin 2sin sin 1

2p p ==

③

P

BF AF 211=+简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+α

αα④焦点三角形面积α

sin 22

P S =

简单证明如下：以

为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：

AB α

αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB

=⨯⨯==⑤焦点弦相关的几何关系：

a.以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切

b.以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.

c.

以CD 为直径的圆与AB 相切

d.A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒

=∠90CFD e.

以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线

，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。

3.经过x 轴上一点的直线与抛物线相交与两点，不论其斜率为何()o a ,()

()2211,:,,:y x B y x A 值，都有成立。

pa y y a x x 2,212

21-== 特别地，当时，此时。反p a 2=022

2121=-=+pa a y y x x OB OA OB OA ⊥=∙,0之结论亦能成立，当,AB 所在直线经过定点。,0,=∙⊥OB OA OB OA p a 2=()0,2p 2、相关题型总结

1、与焦点弦相关的求值问题

例1：过抛物线C ：的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若，则=（　　）2

4x y =5

||4

AF =

||BF A ．2B ．

C ．4

D ．552

例2：已知F 为抛物线的焦点，过F 作两条夹角为45°的直线，交抛物线于A ，B 2

1

2

y x =

1l 2l 1l 两点，交抛物线于C ，D 两点，则

的最大值为（　　）2l CD

AB 1

1+

A B C ． D.1+

2+

例3:已知直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点F 为抛物线的

1)y x =-24y x =焦点，那么

=（　　）

BF

AF A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

例4：已知抛物线的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物分

2

20y px p =>，别相交于A ，B 以及C ，D ，若

，则四边形ACBD 的面积的最小值为（　　）111=+BF

AF

例5：过抛物线

的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B 两点(A 在22,0y px p =>上方)，则||||

AF BF =

例6：已知F 是抛物线

的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,24y x =B 两点(A 在上方)，则||

||

AF BF =

例7：过抛物线抛物线的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B 两点，若,则

2

4y x =||3AF =三角形 AOB 的面积为

2、抛物线中与结论3相关的求值问题

例1：设抛物线C ：，过点M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，O 为

2

20y px p =>，(,0)p l 坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为，则（　　）12,k k 12=k k A ．-1

B ．2

C ．﹣2

D ．不确定例2：已知直线与抛物线交于两点A ，B 且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点2

4y x =32-（　） A ．（1，0）

B ．（2，0）

C ．（4，0）

D ．（8，0）例3:如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，

2

2x py =点D 的坐标为，则p 的值为（　　）

(2,

4) A ．2B ．4C ．

D ．

3

2

5

2

例4：设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线

2

4y x =F ()2,0,A B 交于点，若

，则（　　）C 2

5

ACF BCF S S =A A AF =(A)

(B) 4 (C) 3 (D) 2

2

3

2、抛物线综合问题

例1：直线l 与抛物线y 2=4x 相交与A ，B 两点，若OA ⊥OB （O 是坐标原点），则△AOB 面积

的最小值为（　　）

A ．32

B ．24

C ．16

D ．8例2：若抛物线y 2=4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AF|+2|BF|的最小值为

（　　） A ．6

B ．

C ．9

D ．

例3：已知A ，B 是过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足,则的值为（　　）AB S FB AB OAB 3

2

,3=

=∆AB A ．

B ．

C ．4

D ．2下载本文